Lista 5 - Geometria Analítica 2023-1

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESP´IRITO SANTO Lista avaliativa-Geometria Anal´ıtica Professor Antonio Marcos Ferreira da Silva 1. Determine as equa¸c˜oes cartesiana e param´etricas do plano (a) que cont´em o ponto A(−5, 1, 2) e ´e normal ao vetor v = (−2, −1, 7). (b) que ´e paralelo aos vetores v = (1, 1, 0), u = (−1, 2, 1) e passa pelo ponto Q(2, 2 √ 3, 3) (c) que cont´em os pontos A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) e C(0, 0, 1). 2. Encontre trˆes pontos que pertencem ao plano e esboce o plano de equa¸c˜oes: (a) x = 3 − 4t − s; y = −t + 2s; z = s (b) 2x + 4z = 8 + 2y 3. Encontre as equa¸c˜oes param´etricas da reta (a) que ´e paralela ao vetor u = (0, 1, 1) e passa no ponto P(1, −1, 2). (b) determinada pelos pontos A(2, 3, 0) e B(−1, 2, 3). (c) que ´e perpendicular ao plano γ e cont´em o ponto A(1, 1, 1). γ : x = −1 + 2α − β; y = α + 4β; z = α 4. Esboce graficamente os planos (a) 3x + 2y + 6z = 18 (b) x + y = 0 1 (c) z = 4 5. Encontre a interse¸c˜ao do plano 3x + 2y + 6z = 18 com os planos coor- denados xy, xz e yz. 6. Determine a equa¸c˜ao cartesiana do plano mediador do segmento de reta que une os pontos A(0, 2, 1) e B(1, 1, −4). 7. Encontre o centro e o raio da circunferˆencia determinada pela interse¸c˜ao do plano x + y + 2z = 4 com a esfera (x + 1)2 + (y − 2)2 + z2 = 9. 2 a) \vec{v} = (-2; 1; 7) \ \ \ A(-5; 1; 2) Eq. cartesiana: a x + b y + c z + d = 0 -2 x + y + 7 z + d = 0 Substituindo A: -2. (-5) + 1 . 1 + 7 . 2 + d = 0 \therefore d = -25 -2 x + y + 7z = 25 x = 0 y = 0: -2 . 0 + 0 + 7 z = 25 \therefore z = \frac{25}{7} Ponto B (0; 0; \frac{25}{7}) \vec{u} = \overrightarrow{AB} = B-A = (5; -1; \frac{11}{7}) \vec{w} = \overrightarrow{AC} = C-A = (6; 0; \frac{12}{7}) (x,y,z) = A + \lambda \vec{u} + \gamma \vec{w} \therefore (x,y,z) = (-5; 1; 2) + \lambda (5; -1; \frac{11}{7}) + \gamma (6; 0; \frac{12}{7}) \left\{\begin{matrix} x = -5 + 5\lambda + 6\gamma \ \ y = 1 - \lambda \ \ z = 2 + \frac{11\lambda}{7} + \frac{12\gamma}{7} \end{matrix}\right. b) Paralelo a: \vec{w} = (4, 2, 1) \ \ \ \ \ \vec{v} = (1, 1, 0) \rightarrow\ \ \text{Vetores diretores.} (x,y,z) = Q + \lambda \vec{w} + \gamma \vec{v} (x,y,z) = (2; 2\sqrt{3}; 3) + \lambda (-1, 2, 1) + \gamma (1, 1, 0) => \left\{\begin{matrix} x = 2 - \lambda + \gamma \ \ y = 2\sqrt{3} + 2\lambda + \gamma \ \ z = 3 + \lambda \end{matrix}\right. Vetor normal: \vec{n} = \left(\begin{matrix} 4 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}\right) = -i + j - 3k = (-1, 1, -3) Eq. cartesiana: -x + y - 3z + d = 0 Substituindo \text{Q}: -x + y\sqrt{3} - 3 .3 + d = 0 d = -11 - 2\sqrt{3} \therefore -x + y - 3z + 11 - 2\sqrt{3} = 0 c) A (1; 0; 0) \ \ \ \ B (0; 1; 0) \ \ \ \ C(0; 0; 1) \overrightarrow{AB} = B-A = (-1; 1; 0) \overrightarrow{AC} = C-A = (-1; 0; 1) \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right| = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} = (1; 1; 1) Eq: x + y + z + d = 0 Substituindo A: 1 + 0 + 0 + d = 0 d = -1 \therefore x + y + z - 1 = 0 (x, y, z) = A + \lambda \overrightarrow{AB} + \gamma \overrightarrow{AC} (x, y, z) = (1; 0; 0) + \lambda (-1, 1, 0) + \gamma (-1, 0, 1) \left\{\begin{matrix} x = 1 - \lambda - \gamma \ \ y = \lambda \ \ z = \gamma \end{matrix}\right. a) \left\{\begin{matrix} x = 3 - 4t - \lambda \ \ y = -t \ \ z = \lambda \end{matrix}\right. (II) e (III) em (I): x = 3 - 4y - z x + 4y + z = 3 x = 0 e y = 0: 0 + 0 + z = 3 \therefore z = 3 A (0; 0; 3) x = 0 e z = 0: 0 + 4y + 0 = 3 \therefore y = \frac{3}{4} B (0; \frac{3}{4}; 0) y = 0 e z = 0: x + 0 + 0 = 3 \therefore x = 3 C (3; 0; 0) b) 2x - 2y + 4z = 8 . y = 0 e z = 0 2x - 0 + 0 = 8 x = 4 A (4;0;0) . x = 0 e z = 0 0 - 2y + 0 = 8 y = -4 B (0;-4;0) . x = 0 e y = 0 0 - 0 + 4z = 8 z = 2 Eq. paramétricas: P(xp;yp;zp) → Ponto que pertence à reta \vec{u} = (xμ;yμ;zμ) → Vetor paralelo à reta {x = xP + λxμ y = yP + λyμ z = zP + λzμ a) P(1;-1;2) \vec{u} = (0;1;1) {x = 1 y = -1 + λ z = 2 + λ b) A(1,2,3,a) B(-1,2,3) \vec{AB} = B - A = (-3,-1,3) → vetor paralelo à reta {x = 2 - 3λ y = 3 - λ z = 3λ c) A(1,1,1) Uma reta perpendicular a um plano γ tem como vetor diretor o vetor normal de γ. γ: {x = -1 + 2α + β y = α + 4β z = α \vec{u} = (2,1,1) \vec{v} = (-1,4,0) Vetor normal de γ (\vec{n}) é \vec{u}×\vec{v} \vec{u} = (\hat{i} \hat{j} \hat{k}) ( 2 1 1) (-1 4 0) = -4\hat{i} - 9\hat{j} + 9\hat{k} = (-4; -9; 9) Logo, as equações paramétricas da reta são: {x = 1 - 4λ y = 1 - 9λ z = 1 + 9λ a) 3x + 2y + 6z = 18 . y = z = 0 3x = 18 x = 6 A (6,0,0) . x = z = 0 -y = 18 y = 9 B (0,9,0) . x = y = 0 6z = 18 z = 3 C (0,0,3) b) x + y = 0 c) z = 4 5) 3x + 2y + 6z = 18 . Plano xy (z=0): 3x + 2y = 18 . Plano xz (y=0): 3x + 6z = 18 (÷3) x + 2z = 6 . Plano yz (x=0): 2y + 6z = 18 (÷2) y + 3z = 9 6) A(0,2,1) B(1,1,-4) \vec{AB} = B - A = (1,-1,-5) \vec{AB} é vetor normal ao plano e o ponto médio M entre A e B é um ponto que pertence ao plano: M = ((0+1)/2,(2+1)/2,(1+(-4))/2) = (1/2,3/2,-3/2)