Lista 5 - Geometria Analítica 2023-1

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESP´IRITO SANTO Lista avaliativa-Geometria Anal´ıtica Professor Antonio Marcos Ferreira da Silva 1. Determine as equa¸c˜oes cartesiana e param´etricas do plano (a) que cont´em o ponto A(−5, 1, 2) e ´e normal ao vetor v = (−2, −1, 7). (b) que ´e paralelo aos vetores v = (1, 1, 0), u = (−1, 2, 1) e passa pelo ponto Q(2, 2 √ 3, 3) (c) que cont´em os pontos A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) e C(0, 0, 1). 2. Encontre trˆes pontos que pertencem ao plano e esboce o plano de equa¸c˜oes: (a) x = 3 − 4t − s; y = −t + 2s; z = s (b) 2x + 4z = 8 + 2y 3. Encontre as equa¸c˜oes param´etricas da reta (a) que ´e paralela ao vetor u = (0, 1, 1) e passa no ponto P(1, −1, 2). (b) determinada pelos pontos A(2, 3, 0) e B(−1, 2, 3). (c) que ´e perpendicular ao plano γ e cont´em o ponto A(1, 1, 1). γ : x = −1 + 2α − β; y = α + 4β; z = α 4. Esboce graficamente os planos (a) 3x + 2y + 6z = 18 (b) x + y = 0 1 (c) z = 4 5. Encontre a interse¸c˜ao do plano 3x + 2y + 6z = 18 com os planos coor- denados xy, xz e yz. 6. Determine a equa¸c˜ao cartesiana do plano mediador do segmento de reta que une os pontos A(0, 2, 1) e B(1, 1, −4). 7. Encontre o centro e o raio da circunferˆencia determinada pela interse¸c˜ao do plano x + y + 2z = 4 com a esfera (x + 1)2 + (y − 2)2 + z2 = 9. 2 a) \nu = (-2, 1, 7) A=(-5, 1, 2)\\\text{Eqs. cartesianas:}\\ ax + by + cz + d = 0\\ -2x + y + 7z + d = 0\\\text{Substituindo A:}\\ -2(-5) + 1 + 7 \cdot 2 + d = 0\\ d = -25\\\therefore -2x + y + 7z = 25\\ \cdot \ x = 0 \ y = 0:\\ -2 \cdot 0 + 0 + 7z = 25\\ z = \frac{25}{7}\\\text{Ponto } B(0, 0, \frac{25}{7})\\ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} = B - A = (5, -1, \frac{11}{7})\\ \overrightarrow{w} = \overrightarrow{AC} = C - A = (6, 0, \frac{12}{7})\\ (x, y, z) = A + \lambda \overrightarrow{u} + \gamma \overrightarrow{w}\\\therefore (x, y, z) = (-5, 1, 2) + \lambda (5, -1, \frac{11}{7}) + \gamma (6, 0, \frac{12}{7})\\\cdot x=1 \ y=1:\\ -2 \cdot 1 + 1 + 7z = 25\\ -2 + 1 + 7z = 25\\ 7z = 26\\ z = \frac{26}{7}\\ \text{Ponto } C(1, 1, \frac{26}{7})\\ b) \text{Paralelo a:}\\ \overrightarrow{w} = (-1, 2, 1)\\ \overrightarrow{\nu} = (1, 1, 0)\quad\text{Vetores diretores}\\ (x, y, z) = Q + \lambda \overrightarrow{w} + \delta \overrightarrow{\nu}\\ (x, y, z) = (2, \frac{2}{3}, 3) + \lambda (-1, 2, 1) + \delta (1, 1, 0) \\ \Rightarrow \\ \begin{cases} x = 2 - \lambda + \delta \\ y = \frac{2}{3} - 2\lambda + \delta \\ z = 3 + \lambda \end{cases}\\\text{Substituindo Q:}\\ -x + y - 3z + d = 0\\ -2 + \frac{2}{3} - 3 \cdot 3 + d = 0\\ d = -11 - 2\cdot \frac{1}{3}\\\therefore -x + y - 3z + 11 - 2\cdot \frac{1}{3} = 0 c) A(1, 0, 0) \ B(0, 1, 0) \ C(0, 0, 1)\\ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1, 1, 0)\\ \overrightarrow{AC} = C - A = (-1, 0, 1)\\ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} \\ = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} = (1, 1, 1)\\\text{Eq. cartesiana:}\\ x + y + z + d = 0\\\text{Substituindo A:}\\ 1 + 0 + 0 + d = 0\\ d = -1\\\therefore x + y + z - 1 = 0\\ (x, y, z) = A + \lambda \overrightarrow{AB} + \delta \overrightarrow{AC}\\ (x, y, z) = (1, 0, 0) + \lambda (-1, 1, 0) + \delta (-1, 0, 1)\\ \begin{cases} x = 1 - \lambda - \delta \\ y = \lambda \\ z = \delta \end{cases} b) x+y=0 c) z=4 5 3x+2y+6z=18 Plano xy (z=0): 3x+2y=18 Plano xz (y=0): 3x+6z=18 (÷3) x+2z=6 Plano yz (x=0): 2y+6z=18 (÷2) y+3z=9 6 A(0,2,1) B(1,1,-4) \overrightarrow{AB}=B-A=(1,-1,-5) \overrightarrow{AB} é vetor normal ao plano e o ponto médio M entre A e B é um ponto que pertence ao plano: M=(\frac{0+1}{2},\frac{2+1}{2},\frac{1+(-4)}{2})=(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-\frac{3}{2}) Como a intersecção é uma circunferência, todos os pontos dela são equidistantes do centro, e essa distância é o raio p_i: r^2 = (x_c - \frac{6\sqrt{5}}{5})^2 + (y_c - 0)^2 + (z_c - \frac{10 - 3\sqrt{5}}{5})^2 \ \ (I) p_2: r^2 = (x_c + \frac{6\sqrt{5}}{5})^2 + (y_c - 0)^2 + (z_c - \frac{10 + 3\sqrt{5}}{5})^2 \ \ (II) p_3: r^2 = (x_c - 0)^2 + (y_c - 6)^2 + (z_c + 1)^2 \ \ (III) p_4: r^2 = (x_c + \frac{6}{5})^2 + (y_c - 0)^2 + (z_c - \frac{13}{5})^2 \ \ (IV) (I) = (II):\n(x_c - \frac{6\sqrt{5}}{5})^2 + y_c^2 + (z_c - \frac{10 - 3\sqrt{5}}{5})^2 = (x_c + \frac{6\sqrt{5}}{5})^2 + y_c^2 + (z_c - \frac{10 + 3\sqrt{5}}{5})^2 x_c^2 - \frac{12\sqrt{5}}{5}x_c + \frac{36}{5} + (z_c - \frac{10 - 3\sqrt{5}}{5})^2 = x_c^2 + \frac{12\sqrt{5}}{5}x_c + \frac{36}{5} + (z_c - \frac{10 + 3\sqrt{5}}{5})^2 -\frac{24}{5}x_c + \frac{12\sqrt{5}}{5}z_c = \frac{1}{25}[(10 + 3\sqrt{5})^2 - (10 - 3\sqrt{5})^2] x_c = -\frac{5}{24} \left[\frac{1}{25}((10 + 3\sqrt{5})^2 - (10 - 3\sqrt{5})^2) - \frac{12\sqrt{5}}{5}z_c\right] Resolvendo o sistema:\nx_c = -0,5 \ y_c = 2,5 \ z_c = 1 \ r \approx 2,74 \ \text{u.c.}