Lista de Exercícios Resolvidos - Inferência Estatística e Testes de Hipóteses

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA Questão 2 O peso de uma determinada população de capivaras segue uma distribuição Normal com parâmetros µ 30 e σ 9 Uma amostra de 25 capivaras será selecionada Sabendo que X Normal 5025 calcule as seguintes probabilidades a Considerando a amostra calcule a probabilidade do peso médio das capivaras estar entre 29 e 31 quilos b Considerando uma capivara particular da amostra calcule a probabilidade do peso estar entre 29 e 31 quilos c Com as suas palavras explique a diferença dos cálculos realizados nos itens anteriores Questão 3 i Você está interessado em investigar numa população de tamanho N 80000 a proporção de indivíduos que estão no peso ideal Considere que os pesos dos indivíduos são independentes Uma amostra aleatória simples com reposição é retirada o tamanho n 256 e verificouse que 157 não estão no peso ideal Calcule a estimativa de máxima verossimilhança para a proporção de indivíduos que estão no seu peso ideal ii O peso dos indivíduos de uma certa população segue uma distribuição normal com esperança µ e desvio padrão σ Uma amostra de tamanho n 30 é retirada e verificouse os seguintes pesos kg 65 94 68 15 71 80 63 99 64 45 65 82 68 59 67 55 79 83 66 18 64 06 69 39 73 03 70 72 7483 6918 7767 6700 6263 7111 6755 7202 7028 6465 6857 6975 6795 7701 6182 6684 Calcule as estimativas de máxima verossimilhança os parâmetros µ e σ iii Quais são os parâmetros estimadores e estimativas dos itens i e ii Questão 4 Sabese que o comprimento de uma espécie de cachorros tem uma distribuição normal com variância 169cm2 Numa amostra de 10 cachorros encontrouse 401cm 410cm 414cm 421cm 433cm 403cm 400cm a Determine os intervalos de confianças para a média com níveis e significância α 010 005 001 b Testar a hipótese de que a média é diferente de 10cm com α 005 Questão 5 Desejase testar a hipótese que determinada população de capvaras o peso médio é igual a 40kg Uma amostra de tamanho 30 foi selecionada e verificouse que o peso médio amostra é igual a 45kg e desvio padrão amostral igual a 2kg Testar a hipótese desejada considerando que α 005 Questão 6 É esperado que o peso de uma pessoa diminua com a idade Para estudar essa relação um biólogo selecionou 18 mulheres com idades entre 40 e 79 anos observando a cada uma delas a idade x e o peso y os valores estão na tabela abaixo Peso Idade 62 71 71 64 80 43 48 67 67 56 53 73 58 68 60 56 45 76 64 65 96 45 56 58 77 45 80 53 85 49 57 78 53 73 58 68 a Construa o diagrama de dispersão e interpreteo b Ajuste uma reta de regressão para a relação entre as variáveis Ydependente e Xindependente c Considerando a reta estimada dada no item anterior estime o peso médio de mulheres com 50 anos a desvio padrão 9 25 1 8 Z29 29 30 18 056 Z31 31 30 18 056 b Z29 29 30 9 011 Z31 31 30 9 011 c No primeiro exercício calculamos com base em toda a população de capivaras apresentada no segundo exercício calculos a probabilidade de apenas uma capivara o que é uma observação da população 3 a população individuos peso ideal 99 99256 0613 b µ 6594 6815 7180 6399 6445 6582 6859 6755 7983 6618 6406 6939 7303 7072 7483 6918 7767 6700 6263 7111 6755 7202 7028 6465 6857 6975 6795 7701 6182 6684 30 6860Kg 6594 6860² 708 6815 6860² 020 7180 6860² 1024 6399 6860² 2129 6445 6860² 1723 6582 6860² 775 6859 6860² 000 6755 6860² 110 7983 6860² 12553 6618 6860² 586 6406 6860² 2061 6939 6860² 062 7303 6860² 1966 7072 6860² 450 7483 6860² 3873 6918 6860² 034 7767 6860² 8233 6700 6860² 256 6263 6860² 3553 7111 6860² 630 6755 6860² 110 7202 6860² 1177 7028 6860² 282 6465 6860² 1561 6857 6860² 000 6975 6860² 132 6795 6860² 042 7701 6860² 7057 6182 6860² 4579 6684 6860² 311 σ 1301 8496 8496 29 293 171 kg c item i proporção de indivíduos que não estão no peso ideal o estimador é a proporção na amostra estimativa 157256 0613 item ii parâmetro é o proporção real de indivíduos que estão no peso ideal na população estimador é a proporção na amostra de indivíduos que estão no peso ideal estimativa 99256 0387 4 a IC µ Z σn µ 2882cm 7 4117cm 401cm 4117cm² 114cm 410cm 4117cm² 003cm 414cm 4117cm² 005cm 421cm 4117cm² 087cm 433cm 4117cm² 454cm 403cm 4117cm² 076cm 400cm 4117cm² 137cm somamos os valores do quadrado da diferença entre a média e os valores da amostra e chegamos a 876cm calculando a variância s 876cm 6 146cm desvio padrão 146cm 13cm Para α 010 IC 4117cm 1645 13cm7 4117cm 081cm 4036cm 4198cm Para α 005 IC 4117cm 196 13cm7 4117cm 096cm 4021cm 4213cm Para α 001 IC 4117cm 2576 13cm7 4117cm 134cm 3983cm 4251cm b H0 e H1 H0 µ 10cm H1 µ 10cm estatística do teste µ µ0 σn 137cm 10cm 13cm10 2098 A hipotese nula é rejeitada porque o valor crítico t para um teste de duas caudas com α 005 e df 9 é aproximadamente 2262 olhando pela tabela de distribuição t 5 H0 µ 40kg H1 µ 40kg nível de significância 005 teste t é calculado usando µ µ0 σn assim como no exercício passado 45kg 40kg 2kg30 1225 Olhando pela tabela t o valor crítico é 2045 O resultado do teste t deu maior que esse valor então a hipótese se dá como nula 6 a A aproximação dos pontos indica uma relação linear entre idade e peso a idade cresce e a média de peso diminui b c y 06818x 10588 y 068185010588 y 7179Kg PHYSICAL LIMITS OF GRID CELLS Recent recordings have characterized local firing fields of grid cells These fields provide a quantitative definition of a cells gridlocation metric But what metric properties are represented across the population of grid cells And what geometric constraints limit the configuration of grid fields One way of addressing these questions relates to a mathematical theory of spatial representations in the brain involving discrete neural fields and elementary forms of topological space Interpretation a grid cell can fire in multiple locations yet those locations are not randomly arranged but registrar a triangular lattice When considering such grid cells collectively the population activity reflects coordinates in a metric space Rigorous analyses demonstrate that the spatial decomposition of grid fields reflects a twodimensional metric of the environment and that the geometry of grid fields is strongly constrained a constraining metric can in principle be inferred from a sampling of cells This also implies that the entire population of such cells can only realize a certain simple class of topological spaces such as flat tori or higher genus surfaces This geometric and topological perspective offers predictions and constraints on the manner in which the brain implements spatial representations in the parahippocampal region Discrete geometry of neuronal spatial maps E Urdapilleta et al PLoS Computational Biology 11 e1004772 2015 PMID256712192