Resolução de Formulas e Derivada

Critério utilizado para encontrar α e β é minimizar a soma dos erros dados por SQE i1n ei2 i1n yi α βxi2 3 Encontrar o mínimo de uma função de 2 variáveis Derivando em relação a α e β e depois igualando a zero SQEα 2 i1n yi α βxi1 4 SQEβ 2 i1n yi α βxixi 5 De 4 e 5 obtemse as equações normais dadas por nα β i1n xi i1n yi α i1n xi β i1n xi2 i1n yi xi 6 Resolvendo as equações 6 obtemse os estimadores de mínimos quadrados dados por β i1n xi yi n x y i1n xi2 n x2 7 α ȳ β x Minimização da Soma dos Erros Quadráticos O critério utilizado para encontrar α e β é minimizar a soma dos erros dada por SQE i1n ei2 i1n yi α βxi2 Para encontrar os valores de α e β que minimizam o SQE precisamos derivar o SQE em relação a α e β e igualar a zero Primeira derivada parcial em relação a α SQEα α i1n yi α βxi2 Usando a regra da cadeia SQEα 2 i1n yi α βxi 1 Simplificando SQEα 2 i1n yi α βxi Igualando a zero 2 i1n yi α βxi 0 i1n yi α βxi 0 Primeira derivada parcial em relação a β SQEβ β i1n yi α βxi2 Usando a regra da cadeia SQEβ 2 i1n yi α βxi xi Simplificando SQEβ 2 i1n yi α βxi xi Igualando a zero 2 i1n yi α βxi xi 0 i1n yi α βxi xi 0 As duas equações obtidas acima são conhecidas como equações normais i1n yi α βxi 0 i1n yi i1n α β i1n xi 0 nα β i1n xi i1n yi E i1n yi α βxi xi 0 i1n yi xi i1n αxi β i1n xi2 0 α i1n xi β i1n xi2 i1n yi xi Agora resolvemos essas equações simultaneamente para encontrar α e β n α β Sx Sy α Sx β Sxx Sxy Onde Sx i1n xi Sy i1n yi Sxx i1n xi2 Sxy i1n xi yi Resolvendo para β β Sxy Sx Syn Sxx Sx2n Resolvendo para α α Syn β Sxn Finalmente substituímos as somas pelos valores médios β ni1 xiyi n x ȳ ni1 xi2 n x2 α ȳ β x Onde x Sxn ȳ Syn E assim obtemos os estimadores de mínimos quadrados α e β