Questionario 1 - 2023-1

Dois blocos de massa M=0,4kg são capazes de deslizar, com atrito desprezível, sobre um trilho de ar horizontal. Eles estão presos um ao outro por uma mola de constante elástica 1N/m, inicialmente relaxada, de 10cm de comprimento. Uma bolinha de chiclete de massa 10g é lançada em direção ao conjunto com velocidade de 1m/s e fica grudada. Encontre a distância máxima que um bloco estará do outro(em cm). Um disco de massa M=1 kg, preso por mola de constante 0,5N/m e massa desprezível deslisa sem atrito. Acima, temos um bloquinho de massa m= 0,5 kg e, desta vez, o atrito é suficiente para que eles se movam juntos sem escorregar. Em um dado momento em que a velocidade é máxima, uma pessoa levanta rapidamente o bloquinho de cima e o remove. Ao fazer isso, verifica-se que a amplitude passou a valer 3cm. Calcule a amplitude antes(em cm). Uma roda de bicicleta possui diâmetro de 75cm. Ela rola sem deslizar no fundo de uma rampa cujo raio é 5m, oscilando com um período T. Calcule esse Período (em segundos). Dica: considere que toda a massa está distribuída de forma homogênea no pneu e desepreze a massa dos raios e eixo da roda. Duas molas, uma de constante elástica 3N/m e outra de 4N/m, estão conectadas na configuração (a) oscilando a 5rad/s. Na sequência, são conectadas como na configuração (b). Qual frequência angular neste caso(rad/s)? Sua resposta Um movimento é composto de dois movimentos harmônicos simples, tais que x1=cos(ωt+π/4) e v2=-3ωcos(ωt+π/3) em unidades do S.I. Calcule a amplitude do movimento resultante(no S.I). Sua resposta Um oscilador subcrítico é abandonado do repouso 10cm à direita da posição de equilíbrio. Após 10 oscilações, sua amplitude diminui pela metade. Se a frequência do oscilador é 2rad/s, determine a posição(em cm) da partícula no instante 2 segundos. Sua resposta Um pêndulo simples é constituído de uma haste fina e leve, além de uma massa pendular localizada na extremidade. Quando submerso em um fluido cujo amortecimento é 1kg/s, seu período é 1,20s mas, na ausência dele, possui período de 1,00s. Calcule o Fator de mérito. Sua resposta Um oscilador criticamente amortecido é deslocado de 2m para a esquerda da posição de equilíbrio e abandonado a partir do repouso. Se o fator é γ=2s^(-1), qual a velocidade máxima desenvolvida (em metros por segundo)? Sua resposta Uma esfera de 5cm de raio e densidade 6 g/cm^3 está pendurada a uma mola de constante elástica 30N/m e mergulhada em um fluido viscoso, cujo coeficiente é b=1,5kg/s. Determine o período da oscilação amortecida(em segundos). Sua resposta Um pêndulo de madeira de massa igual a 5kg está suspenso por um fio de comprimento de 1m. Em um dado momento, ele é atingido por um projétil, cuja massa é 20g e fica encravado nele. Desta vez, a velocidade do projétil é suficientemente grande, de modo que o período apresenta uma pequena diferença a depender do ângulo máximo. Se o período foi 2,02s, calcule aproximadamente a velocidade(em m/s) com que o projétil atingiu o pêndulo. g≈ 9.8066 m/s^2 Sua resposta 2) Início: M1 = 1,5 Kg ω1 = √(K/m) -> ω1 = √(9/15) = √3/3 Vmax/I - ω1A = √3/3 A Depois: M1 - 1 ωD = √(9/1) = √2/2 -> Vmax = √2/2 * 3 Vmax/D = Vmax/I -> √3/3 A = √2/2 * 3 -> A = 4,5 * √2/√3 = 3,674 cm ANEL: I = mR^2 T = I.Ø (Torque em relação a C) -mg.4,25.senØ = mR^2.Ø senØ ≈ Ø -g.4,25.Ø = (0,15)^2.Ø Ø + g.4,25.Ø = 0 w^2 = \frac{g.4,25}{(0,25)^2} => \frac{(2\pi)^2.(0,15)^2}{g.4,25} : T^2 => T = \frac{2\pi.0,15}{\sqrt{g.4,25}} , 0,722 s (4) 1º CASO: Paralelo k_eq = k_1 + k_2 = 7 \frac{N}{m} w = \sqrt{\frac{k}{m}} => m = \frac{k}{w^2} = \frac{7}{25} Kg 2º CASO: Série k_eq = \frac{k_1k_2}{k_1 + k_2} = \frac{12}{7} w = \sqrt{\frac{k}{m}} . \sqrt{\frac{12.25}{7.7}} . \frac{5\sqrt{2}}{7} . \frac{10\sqrt{3}}{7} rad/s (5) x_1 = \cos(wt + \pi/4) v_1 = -3w\cos(wt + \pi/3) => x_2 = -3w\frac{sen(wt + \pi/3)}{w} = -3\cos(wt + \pi/3) Sabemos que senx = -cos(x + \pi/2) => x_2 = 3\cos(wt + \frac{5\pi}{6}) X_res = X_1 + X_2 = \cos(wt + \pi/4) + 3\cos(wt + \frac{5\pi}{6}) A_res^2 = 1^2 + 3^2 + 2.3.1.\cosθ θ => \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \pi => θ = 105º A^2 = 10 => 6p,2588 = 8,442 => A_res, 2,906 m (6) A(10T) = \frac{1}{2}A_0 \frac{1}{2} = e^{-5nT} \frac{1}{2} = e^{-snT} ; T = \frac{2\pi}{w} => T = \pi = 3,14 s X(1) = e^{-nT}[ X_0cos(w_0^2 - n^2)t + \frac{V_0 + \eta nX_0}{w_0^2 - n^2}\sin(\sqrt{w_0^2 - n^2}t)] X_0 = 10 cm V_0 = 0 w = L η = 0,044 X(1) = e^{-0,044t}[ 10.cos.2T + 9,02\sin.2T] X(2) = e^{0,088t}[ 10.cos4 + 0,22\sin4] = -6,12 cm (7) w = \sqrt{\frac{g}{L} - \frac{b^2}{4m^2} -} w = \sqrt{\frac{g}{L} - \frac{b^2}{4m^2}} m = 0,144 Kg 2 = \frac{b}{2m} = \frac{1}{0,288} , 3,48 \text{ rad/s} Q = \frac{w_0}{2d} = \frac{2\pi}{t_0.2d} \quad, 0,905 (8)x_0 = -2 V_0 = 0 η = 2 Amo recimento crítico: X(t) = [X_0 + (\eta X_0 + V_0)t]e^{-ηt} v(t) = [ V_0 - (V_0 + ηX_0)gt]e^{-ηt} => v(t) = -8t.e^{-2t} => \frac{dv(1)}{dt} = O => \frac{dv(1)}{dt} = - 8((e^{-2t} = 2t.e^{-2t}) = -8e^{-2t}(1-2t) \frac{dv}{dt} = O \Rightarrow 1 - 2t = O => T - \frac{1}{2}s 9) V = \frac{4\pi r^3}{3} = 523,6 \text{ cm}^3 m = d \cdot V = 3,14 \text{ Kg} \omega ' = \sqrt{\frac{K}{m} - \frac{b^2}{4m^2}} - \sqrt{\frac{30}{3,14} - \frac{1,5}{4(3,14)^2}} = 3,08 \text{ rad/s} T = \frac{2\pi}{\omega '} = 2,04 \text{ s} \omega = \sqrt{\frac{mgh}{I}} ; \quad \omega = \frac{2\pi}{T} \Rightarrow T = \frac{2\pi}{\omega} \sqrt{} \quad h = \frac{v^2}{2g} \Rightarrow v = \sqrt{2gh} \Rightarrow h = \frac{v^2}{2g} T = 2\pi \sqrt{\frac{2Lg}{(m+m)g}} \cdot v^2 = \frac{2\pi}{\sqrt{v \cdot (M+m)}} \Rightarrow v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{\frac{2L}{M+m}} = 1,963 \text{ m/s} COLISÃO: mv_0 = (m+M)V V = \frac{0,01 \cdot 1}{0,41} = 0,02439 v_{cm} = \frac{Q_t}{M_t} = \frac{(m+M) \cdot 0,02439}{0,81} = \text{??} 0,0234 ELONGAÇÃO MÁXIMA OCORRE COM (m+M) e M com a velocidade do centro de massa. CONSERVAÇÃO DE ENERGIA: \frac{\left( m+M \right) V^2}{2} = \frac{(2M+m) v_{cm}^2}{2} \Rightarrow \frac{kx^2}{2} \left( \frac{\left( m+M \right) V^2 - (2m+M) v_{cm}^2}{k} \right) = x^2 x^2 = 0,01098 \Rightarrow x = \sqrt{0,01098} \Rightarrow x = 1,098 \text{ cm} \Delta d_f = L_0 + x = 11,098 \text{ cm}