Bioestatística-Distribuição-de-Probabilidade-Variável-Contínua-Normal

BIOESTATÍSTICAAula 720252 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE VARIÁVEL CONTÍNUA Distribuição Normal DISTRIBUIÇÃO NORMAL VARIÁVEL CONTÍNUA Mais importante Distribuição de Probabilidade para descrever uma variável aleatória contínua Formato da Curva Normal As variáveis contínuas são representadas por curvas chamadas de função de densidade de probabilidade e a área sob essa função representa a probabilidade de ocorrência Não determina a ocorrência de um valor exato mas sim de intervalos DISTRIBUIÇÃO NORMAL A função de densidade de probabilidade que define a curva em forma de sino da curval normal é a seguinte μ média σ desvio padrão π 314159 e 271828 Fórmula pouco intuitiva não é mesmo Fundamental para a descrição de inúmeros fenômenos naturais e sociais Em oceanografia a altura peso densidade biomassa e tantas outras medidas de uma determinada espécie têm distribuição aproximadamente normal Em Controle de qualidade As variações nas medidas de uma peça são normalmente distribuídas Constitui a base teórica de toda inferência estatística Inferência estatística é quando a partir de dados amostrais estimamos valores populacionais Parâmetros m valor médio e s desviopadrão Função densidade de probabilidade s s m 2 2 2 1 x e x f OBSERVAÇÕES IMPORTANTES 1 Toda distribuição normal poderá ser obtida conhecendose apenas 2 PARÂMETROS média e desvio padrão 2 O ponto máximo da curva normal está na MÉDIA que também é mediana e moda da distribuição 3 A média poderá ser um valor positivo zero ou negativo 4 A distribuição normal é SIMÉTRICA Extremos tendem ao infinito 5 Desvio padrão define o quanto uma curva é achatada ou larga Valores maiores curvas mais largas e achatadas maior variabilidade 15 10 5 0 5 10 15 Ativo 1 Ativo 2 6 As probabilidades da variável aleatória normal são dadas pelas áreas sob a curva Área total 1 Área à esquerda da média é igual a área à direita ambas 05 Caracterísitica i Forma de sino Bell Curve ii fx é simétrica em relação à média iii fx 0 quando x iv O valor máximo de fx ocorre em x m Distribuição Normal Em forma de Sino Unimodal Simétrica Média mediana e moda são iguais Assintótica em relação ao Eixo X Média Mediana Moda X fX m 50 Especificação dos dois parâmetros para a distribuição normal CURVAS NORMAIS COM MESMA MÉDIA MAS COM DESVIOS PADRÃO DIFERENTES CURVAS NORMAIS COM MESMO DESVIO PADRÃO MAS COM MÉDIAS DIFERENTES INFLUÊNCIA DE s2 NA CURVA NORMAL Curvas normais com mesma média μ mas com variâncias diferentes s2 2 s1 2 Cálculo de Probabilidades Probabilidade é a área sob a curva c d X fX P c X d Para variáveis aleatórias contínuas as probabilidades são representadas pelas áreas sob a curva Área total sob a curva é 1 A área em vermelho é igual a PX1 A área em azul é igual a P1X0 Áreas são obtidas em tabelas ou calculadas em computador Qual Tabela usar Deveríamos ter disponíveis uma infinidade de Tabelas uma para cada par s e m PADRONIZANDO A DISTRIBUIÇÃO NORMAL A distribuição normal padronizada tem média e desvio padrão iguais a µ 0 e σ 1 Utilizando a formula de transformação qualquer variável aleatória normal X é convertida em uma variável normal padronizada Z Z X μ σ onde σ e o desvio padrão μ e a media aritmetica zc 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 00 00000 00040 00080 00120 00160 00199 00239 00279 00319 00359 01 00398 00438 00478 00517 00557 00596 00636 00675 00714 00753 02 00793 00832 00871 00910 00948 00987 01026 01064 01103 01141 03 01179 01217 01255 01293 01331 01368 01406 01443 01480 01517 04 01554 01591 01628 01664 01700 01736 01772 01808 01844 01879 05 01915 01950 01985 02019 02054 02088 02123 02157 02190 02224 06 02257 02291 02324 02357 02389 02422 02454 02486 02517 02549 07 02580 02611 02642 02673 02704 02734 02764 02794 02823 02852 08 02881 02910 02939 02967 02995 03023 03051 03078 03106 03133 09 03159 03186 03212 03238 03264 03289 03315 03340 03365 03389 10 03413 03438 03461 03485 03508 03531 03554 03577 03599 03621 11 03643 03665 03686 03708 03729 03749 03770 03790 03810 03830 12 03849 03869 03888 03907 03925 03944 03962 03980 03997 04015 13 04032 04049 04066 04082 04099 04115 04131 04147 04162 04177 14 04192 04207 04222 04236 04251 04265 04279 04292 04306 04319 Tabela da distribuição padronizada P Z z s z x m zc 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 15 04332 04345 04357 04370 04382 04394 04406 04418 04429 04441 16 04452 04463 04474 04484 04495 04505 04515 04525 04535 04545 17 04554 04564 04573 04582 04591 04599 04608 04616 04625 04633 18 04641 04649 04656 04664 04671 04678 04686 04693 04699 04706 19 04713 04719 04726 04732 04738 04744 04750 04756 04761 04767 20 04772 04778 04783 04788 04793 04798 04803 04808 04812 04817 21 04821 04826 04830 04834 04838 04842 04846 04850 04854 04857 22 04861 04864 04868 04871 04875 04878 04881 04884 04887 04890 23 04893 04896 04898 04901 04904 04906 04909 04911 04913 04916 24 04918 04920 04922 04925 04927 04929 04931 04932 04934 04936 25 04938 04940 04941 04943 04945 04946 04948 04949 04951 04952 26 04953 04955 04956 04957 04959 04960 04961 04962 04963 04964 27 04965 04966 04967 04968 04969 04970 04971 04972 04973 04974 28 04974 04975 04976 04977 04977 04978 04979 04979 04980 04981 29 04981 04982 04982 04983 04984 04984 04985 04985 04986 04986 30 04987 04987 04987 04988 04988 04989 04989 04989 04990 04990 Exemplo Verificouse que um grande grupo de estudantes demora em média 104min para fazer uma prova com desvio padrão de 11min Sorteandose um aluno ao acaso e supondo que os tempos sejam normalmente distribuídos qual a probabilidade deste aluno realizar a prova a Entre 104 min e 121 min 121 104 2 1 2 121 104 2 dx e x P x s s m b Entre 100 min e 112 min 112 100 2 1 2 112 100 2 dx e x P x s s m c No mínimo em 76 min 76 2 1 2 76 2 dx e x P x s s m O cálculo das integrais mostradas anteriormente é bastante laborioso Na verdade não é possível calculálas analíticamente e seus valores são obtidos de forma aproximada através de métodos numéricos Na prática as probabilidades em uma distribuição normal são obtidas a partir de valores tabelados Estes valores são as áreas que teríamos para uma distribuição normal padrão onde m 0 e s 1 Desta forma mesmo quando não lidamos com uma distribuição padrão podemos converter os valores do problema para uma distibuição padronizada Resolução pela Curva Normal Padronizada a x 121 z 121 104 11 z 155 04394 tabela P 104 x 121 4394 b x 100 z 100 104 11 z 037 01443 x 112 z 112 104 11 z 073 02673 P 104 x 121 02673 01443 0123 123 c x 76 z 76 104 11 z 255 04946 P x 76 05 01443 06443 6443 Solução Distribuição Normal Padronizada Z 00 01 00 000000400080 03980438 02 079308320871 03 017902170255 00478 02 0478 Distribuição Normal Padronizada Tabela Parte Probabilidades Uma única Tabela basta 0 1 Z Z m s Z 012 0 Qual Tabela usar É essa a solução PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL A distribuição normal depende dos parâmetros de posição μ e de dispersão σ Quando falamos distribuição normal estamos empregando o termo num sentido um tanto ambíguo que pode se referir a uma distribuição normal com um μ e um σ2 dados ou ao conjunto de todas as distribuições normais em que μ e σ 0 5 A área sob a curva totaliza 1 ou 100 Calcular uma determinada área significa calcular uma probabilidade 6 Aproximadamente 68 dos valores de x situamse entre os pontos μ σ 7 Aproximadamente 95 dos valores de x situamse entre os pontos μ 2σ 8 Aproximadamente 997 dos valores de x situamse entre os pontos μ 3σ Exemplo área 683 Exemplo área 954 μ2σ μ μ2σ Exemplo área 997 μ3σ μ μ3σ Devido à simetria as das áreas sob a curva são padronizadas Sendo as mais comuns relacionadas ao desvio padrão Média e desvio padrão FORMATO DA CURVA NORMAL Formatos de curva normal para combinações de duas médias e dois desvios padrão Pontos de inflexãos A Pontos de inflexão B Pontos de inflexão C Média μ 35 Desvio padrão σ 15 Média μ 35 Desvio padrão σ 07 Média μ 15 Desvio padrão σ 07 Normal Padronizada μ2σ μσ μ μσ μ2σ x 2 1 0 1 2 z CÁLCULO DE PROBABILIDADES Pa X b Área sob a curva e acima do eixo horizontal x entre a e b O GRÁFICO DA DENSIDADE NORMAL Propriedades A curva normal é simétrica em torno da média μ Como consequência a mediana é igual à média μ σ e μ σ são os pontos onde a concavidade da curva muda de sentido A área sob a curva e acima do eixo horizontal pode ser entendida como medida de probabilidade sendo igual a 1 Numa distribuição normal Nµ σ ou Nxs USO DA TABELA NORMAL PADRÃO Denotamos Az PZ z para z 0 Z1102 Pz11023461 Pz1102 62 5 012 10 X Z m s X Distribuição Normal Z Distribuição Normal Padronizada s 10 1 sZ 5 m 62 X Z 0 Z m 012 Seja X uma variável com distribuição normal de média 5 e desviopadrão 10 determinar PX 62 Exemplo 2 cálculo da área entre dois números X Distribuição Normal Z Distribuição Normal Padronizada s 10 1 sZ 5 m 71 X Z 0 Z m 021 29 5 71 5 21 21 10 10 X X Z Z m m s s 29 021 0832 29 71 1664 P X 0832 Exemplo Seja Z N 0 1 calcular a PZ 032 PZ 032 A032 06255 2 Seja X uma variável com distribuição normal de média m 20 e desviopadrão s 4 determinar PX 25 01056 1 25 4 20 25 s m X Z 01056 03944 05 1 25 1 25 25 P Z P X 3 Seja X uma variável com distribuição normal de média m 20 e desviopadrão s 4 determinar PX 12 00228 2 4 20 12 s m X Z 00228 04772 05 2 2 12 P Z P Z P X 4 Seja X uma variável com distribuição normal de média m 20 e desviopadrão s 4 determinar P22 X 25 1 25 4 20 25 05 e 4 20 22 Z Z 02029 01915 03944 1 25 05 25 22 Z P X P 02029 05 5 Seja X uma variável com distribuição normal de média m 20 e desviopadrão s 4 determinar P14 X 22 05 4 20 22 1 5 e 4 20 14 Z Z 06247 01915 04332 05 0 15 0 22 14 Z P Z P X P 06247 15 05 1 Seja X uma variável com distribuição normal de média m 20 e desviopadrão s 4 determinar PX 24 1 4 20 24 s m X Z 08413 03413 05 1 1 24 P Z X P 08413 6 Uma empresa de pneus estima que a durabilidade média de seu produto é de μ 36500 km e desavio padrão de σ 5000 km a Qual dos pneus duraria mais de 40000 km EXERCÍCIO a Resolução determinar PX 40000 07 5000 36500 40000 Z 02420 02580 05 07 40000 P Z P X Exemplo As alturas dos alunos de uma determinada escola são normalmente distribuídas com média 160 m e desvio padrão 030 m Encontre a probabilidade de um aluno medir a entre 160 m e 175m b mais de 175 m c menos de 175 m d menos de 148 m e entre 150 m e 180 m f qual deve ser a medida mínima para escolhermos 10 dos mais altos m 160 m s 030 m b PX 175 PZ 05 05 PZ 05 05 01915 03085 ou 3085 c PX 175 PZ 05 05 P0 Z 05 05 01915 06915 ou 6915 ou 1 PZ 05 1 03085 06915 d z 148 160030 04 PX 148 PZ 04 05 01554 03446 3446 e z1 150 160030 033 e z2 180 160030 066 P150 X 180 P033 Z 066 01293 02454 03747 3747 f Na tabela z40 128 z40 x 160030 x 128030 160 198 m