Regressão e Correlação Linear Simples - Bioestatística

BIOESTATAULA 1320252 Regressão e Correlação linear simples REGRESSÃO E CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES Os modelos de regressão são largamente utilizados em diversas áreas do conhecimento tais como computação administração engenharias biologia agronomia saúde sociologia etc O principal objetivo desta técnica é obter uma equação que explique satisfatoriamente a relação entre uma variável resposta e uma ou mais variáveis explicativas possibilitando fazer predição de valores da variável de interesse Propósitos da Análise de Regressão e Correlação Análise de Regressão é usada basicamente para predição O modelo estatístico é usado para predizer o valor da variável de resposta ou dependente com base no menor número de variáveis explanatórias ou independentes Análise de Correlação é usada para medir a intensidade força da associação entre variáveis numéricas A Análise de Regressão fornece uma equação matemática que descreve a natureza do relacionamento entre as duas variáveis permitindo inclusive que sejam feitas previsões dos valores de uma delas em função dos valores das outras A Análise de Correlação fornece um número que resume o relacionamento entre as variáveis indicando a força e a direção do relacionamento Estudo da relação entre variáveis Investigar a presença ou ausência de relação linear sob dois pontos de vista a Explicitando a forma dessa relação regressão b Quantificando a força dessa relação correlação Diagrama de dispersão representação gráfica das duas variáveis quantitativas Tipos de Modelos de Regressão Modelo Regressão Uma variável dependente Simples Linear Não Linear Duas ou mais variáveis dependentes Multiplo Linear Não Linear Regressão Linear Simples Análise de regressão é uma metodologia estatística que utiliza a relação entre duas ou mais variáveis quantitativas ou qualitativas de tal forma que uma variável pode ser predita a partir da outra ou outras Exemplos A produção de um estoque pesqueiro pode ser predita a partir da relação entre esforço de pesca e captura Concentrações de oxigênio dissolvido e temperatura da água Relação entre material em suspensão e transparência da água Como sabemos os dados podem ser obtidos a partir de duas situações 1 dados experimentais as observações X e Y são planejadas como o resultado de um experimento exemplo X Profundidade e Y temperatura X esforço de pesca Y captura Nesse exemplo os valores de X estão sob controle do pesquisador 2 dados observacionais observase os valores de X e Y nenhuma delas sob controle exemplo população de coliformes e população de staphilococus média das alturas de plantas numa área e produção Problema prático Os valores observados de Y e algumas vezes de X não são exatos Devido a variações biológicas de amostragem e de precisão das medidas e outros fatores só podemos observar valores de Y e possivelmente de X com algum erro Assim com base numa amostra de valores XY a exata relação entre X e Y é mascarada pelos erros aleatórios Construção de Modelos de Regressão ISeleção das variáveis preditoras IIEscolha do modelo de regressão IIIAbrangência do modelo i O problema em estudos observacionais é escolher um conjunto de variáveis que podem ou devem ser incluídas no modelo iiPodese usar um modelo teórico Usar aproximações por modelos polinomiais iiiGeralmente é necessário restringir a abrangência do modelo para alguns valores ou região das variávelis preditoras Diagrama de Dispersão Plot de todos os pares Xi Yi Diagrama de Dispersão Os dados para a análise de regressão e correlação simples são da forma x1 y1 x2 y2 xi yi xn yn Com os dados constróise o diagrama de dispersão Este deve exibir uma tendência linear para que se possa usar a regressão linear Por análise do diagrama de dispersão podese também concluir empiricamente se o grau de relacionamento linear entre as variáveis é forte ou fraco conforme o modo como se situam os pontos em redor de uma reta imaginária que passa através do enxame de pontos A correlação é tanto maior quanto mais os pontos se concentram com pequenos desvios em relação a essa reta Se o declive da reta é positivo concluímos que a correlação entre X e Y é positiva ie os fenômenos variam no mesmo sentido Ao contrário se o declive é negativo então a correlação entre X e Y é negativa ie os fenômenos variam em sentido inverso Diagrama de Dispersão Uma relação positiva Diagrama de Dispersão Uma relação negativa Diagrama de Dispersão Sem relação aparente y x TIPOS DE MODELO DE REGRESSÃO Modelo de Regressão Linear Simples Relação Linear Positiva Ey Reta da Regressão Intercepto α O ângulo β1 é positivo x TIPOS DE MODELO DE REGRESSÃO Modelo de Regressão Linear Simples Relação Linear Negativa Ey Reta da Regressão Intercepto α O ângulo β1 é negativo x TIPOS DE MODELO DE REGRESSÃO Modelo de Regressão Linear Simples Sem Relação Ey Reta da Regressão Intercepto α O ângulo β1 é zero x Modelo de Regressão Linear Simples Relacionamento entre as variáveis é uma função linear A linha exata que melhor ajusta os dados População do Modelo de Regressão Linear Pressuposições Básicas 1 A relação entre as variáveis é linear Procedimentos para estabelecer o modelo Encontrar um modelo teórico Procurar a equação Avalie o diagrama de dispersão Não estabeleça o modelo olhando pontos 2 Os valores de X são fixos X não é uma variável aleatória 3 A variabilidade de Y para qualquer valor de X é sempre a mesma Variabilidade é medida pela variância Variância de Y é constante dado qualquer valor de X MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS EXAMPLE 171 Wing Lengths of 13 Sparrows of Various Ages The Data Are Plotted in Figure 171 Age days Wing length cm X Y 30 14 40 15 50 22 60 24 80 31 90 32 100 32 110 39 120 41 140 47 150 45 160 52 170 50 n 13 Wing Length Y in cm Age X in days The criterion of least squares considers the vertical deviation of each point from the line ie the deviation describable as Yi Yi and defines the bestfit line as that which results in the smallest value for the sum of the squares of these deviations for all values of Yi and Yi That is ni1 Yi Yi² is to be a minimum where n is the number of data points composing the sample EXAMPLE 172 The Simple Linear Regression Equation Calculated Using the Machine Formula by the Method of Least Squares for the Data from the 13 Birds of Example 171 n 13 X 30 40 170 1300 X 130013 100 X² 30² 170² 156200 x² 156200 1300²13 156200 130000 26200 Y 14 15 50 444 Y 44413 3415 XY 3014 17050 51480 xy 51480 130044413 51480 44400 7080 b xyx² 708026200 0270 cmday a Y bX 3415 cm 0270 cmday100 days 3415 cm 2700 cm 0715 cm So the simple linear regression equation is Ŷ 0715 0270X Ŷi 200 027Xi Ŷi 071 027Xi Ŷi 050 027Xi Ŷi 071 042Xi Ŷi 071 027Xi Ŷi 071 004Xi Estimativas dos coeficientes de regressão Para obter a e b você aplica as seguintes fórmulas Exemplo x y xy x2 4 2 8 16 9 18 162 81 12 20 240 144 15 28 420 225 15 32 480 225 x 55 y 100 xy 1310 x2 691 b 1310 15 x 55 x 100 691 15 x 552 244186 a 1005 244186 x 555 686047 A equação da reta de regressão é Ŷ 686047 244186X Correlação Linear A correlação linear é utilizada para verificar num determinado conjunto a relação entre duas séries de variáveis Tratase de um valor abstrato que dá uma ideia sobre a relação entre os dados apresentados A correlação pode ser denominada positiva ou negativa Quando positiva há a variação positiva da variável dependente Y quando há variação positiva da variável independente X viceversa Quando negativa há a variação negativa de Y quando há variação positiva de X e viceversa DIAGRAMA DE DISPERSÃO Ponto muito discrepante outlier com relação ao conjunto de dados É necessário o isolamento e tratamento do mesmo para eliminação corretiva de suas causas O Diagrama de Dispersão pode ser utilizado para auxiliar na modelagem de Regressão Linear o qual busca a partir de uma equação matemática resumir a distribuição de dados em torno de uma reta Coeficiente de correlação linear O coeficiente de correlação linear é definido como Propriedades do coeficiente de correlação linear Propriedade 1 r 1 Classificação da correlação r 1 correlação linear positiva e perfeita r 1 correlação linear negativa e perfeita r 0 inexistência de correlação linear Gráficos exemplos da classificação da correlação Correlação Positiva ocorre quando um atributo tende a aumentar o outro também tende a aumentar Gráficos exemplos da classificação da correlação Correlação Negativa ocorre quando um atributo tende a aumentar o outro tende a diminuir Gráficos exemplos da classificação da correlação Exemplo para 0 r 1 Gráficos exemplos da classificação da correlação Exemplo para 1 r 0 Gráficos exemplos da classificação da correlação Correlação Nula ocorre quando ao aumentar u atributo não há mudança significativa nos valores do outro atributo Gráficos exemplos da classificação da correlação Outro exemplo para r 0 Exemplo criminalidade e analfabetismo Considere as duas variáveis abaixo observadas em 50 estados norteamericanos Y taxa de criminalidade X taxa de analfabetismo Na figura a seguir temos o diagrama de dispersão de X e Y e podemos notar que conforme aumenta a taxa de analfabetismo a taxa de criminalidade tende a aumentar Notase também uma tendência linear Exemplo diagrama de dispersão Taxa de criminalidade Taxa de analfabetismo Exemplo cálculo da correlação média de Y 738 e SY 3692 média de X 117 e SX 0609 somatório de XiYi 50912 Cálculo da correlação entre X e Y Exemplo expectativa de vida e analfabetismo Considere as duas variáveis abaixo observadas em 50 estados norteamericanos Y expectativa de vida X taxa de analfabetismo Na figura a seguir temos o diagrama de dispersão de X e Y e podemos notar que conforme aumenta a taxa de analfabetismo a expectativa de vida tende a diminuir Notase também uma tendência linear Exemplo diagrama de dispersão Expectativa de vida Taxa de analfabetismo Exemplo cálculo da correlação média de Y 7088 e SY 1342 média de X 117 e SX 0609 somatório de XiYi 41228 Cálculo da correlação entre X e Y Exemplo consumo de cerveja e temperatura Y consumo de cerveja em um dia em 100 litros X temperatura máxima em C As variáveis foram observadas em nove localidades com as mesmas características demográficas e sócio econômicas Exemplo dados amostrais Temperatura Consumo 16 290 31 374 38 393 39 425 37 406 36 370 36 365 22 320 10 269 Exemplo coeficiente de correlação e reta ajustada A correlação entre X e Y é r 0962 A reta ajustada para este exemplo é Exercícios a Qual a interpretação de b b Qual o consumo previsto para uma temperatura de 25ºC Exemplo gráfico da reta ajustada Consumo de cerveja Temperatura Aspectos Gerais da Correlação Linear Os valores de r variam entre 1 associação negativa completa e 1 associação positiva completa Quando um valor é significativo através do teste de t para r é apresentado de forma negativa dizemos que a correlação é negativa e significativa caso o valor seja positivo dizemos que a correlação é positiva e significativa Devese ter em mente que a variável Y é quem sofre variação em função de X Assim sendo quando um valor é negativo quer dizer que com o aumento dos valores de X Y diminuem e quando o valor é positivo existe uma proporcionalidade direta entre as variáveis ou seja quando aumenta os valores de X aumenta os valores de Y Correlação linear simples positiva A e inversa ou negativa B apresentando a linha de tendência de regressão linear simples de dados fictícios A utilização de um ou outro coeficiente dependerá da normalidade dos dados Níveis de correlação Valor Correlação R 0 nula 0 R 030 fraca 030 R 060 média 060 R 090 forte 090 R 1 fortíssima R 1 perfeita Significância do Teste de Correlação Existem basicamente duas formas de verificar a significância do var r a mais simples baseiase simplesmente nos intervalos de valores de r a outra considera o teste t conhecido como teste t para r Significância Baseada no Teste t para r Pearson O teste de t para r é calculado através da seguinte equação Para este teste comparase o valor de tr calculado com o valor de t na Tabela com n2 graus de liberdade Coeficiente de Determinação r² Ao valor encontrado de r elevado ao quadrado r² denominase coeficiente de determinação Este coeficiente expressa a porcentagem de variação dos valores de Y em função do valor X Por exemplo o valor r² encontrado em determinada análise é igual a 030 Sendo r² 030 logo 30 da variação de Y são atribuídas a X Comp cm Peso g 105 142 154 403 203 865 259 2028 300 3280 350 6820 EXERCÍCIO A tabela abaixo representa dados de comprimento total e peso total da espécie Oligoplites palometa do estuário do rio Cururuca EXERCÍCIO 1 Os encargos diários com o consumo de gás propano Y de uma empresa dependem da temperatura ambiente X A tabela seguinte apresenta o valor desses encargos em função da temperatura exterior Temperatura ºC 5 10 15 20 25 Encargos dólares 20 17 13 11 9 a Determine usando o método dos mínimos quadrados a respectiva reta de regressão e representea no diagrama de dispersão b Quantifique a qualidade do ajuste obtido e interprete