Bioestatística-Teoria-das-Probabilidades-Introducao

BIOESTATÍSTICA AULA 420252 Prof Antonio Carlos Leal de Castro Teoria das Probabilidades Introdução A estatística tem por objetivo obter organizar e analisar dados estatísticos a fim de descrevêlos e explicálos além de determinar possíveis correlações e nexos causais A estatística se utiliza das teorias probabilísticas para explicar a freqüência da ocorrência de eventos tanto em estudos observacionais quanto experimentais Em outras palavras a estatística procura modelar a aleatoriedade e a incerteza de forma a estimar ou possibilitar a previsão de fenômenos futuros conforme o caso Introdução Estudo dos fenômenos de observação devese distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático que melhor o explique se determinístico ou probabilístico Modelo determinístico Adotado para explicar fenômenos submissos às leis sistemáticas Baseiase portanto num encadeamento em que a relação causaefeito pressupõe nexos definidos em forma unívoca e imutável Introdução Modelo probabilístico Adotado para explicar os fenômenos aleatórios que são aqueles cujos resultados mesmo em condições normais de experimentação variam de uma observação para outra dificultando dessa maneira a previsão de um resultado futuro Portanto esses fenômenos são insubmissos às leis sistemáticas pois são regidos ou influenciados pelo acaso Introdução A estatística estuda os fenômenos aleatórios e o modelo matemático será o cálculo das probabilidades Diante de um acontecimento aleatório é possível às vezes atribuirlhe uma lei ou distribuição de probabilidade Aleatoriedade Aleatoriedade ou acontecimento aleatório pode ser explicado considerandose as seguintes afirmações a Se x 8 3x 4 então x 6 b A próxima carta retirada de um baralho será um ás A afirmação a pode ser confirmada ou negada de forma conclusiva utilizandose elementos da matemática é uma afirmação categórica verdadeira ou falsa Na afirmativa b entretanto somente pode ser afirmado que o fato é possível mas que é possível também a saída de qualquer uma das 52 cartas do baralho Aleatoriedade No segundo caso somente a realização do experimento permitirá estabelecer se a afirmação é falsa ou verdadeira tratase de um acontecimento aleatório Em geral os acontecimentos aleatórios se caracterizam por admitirem dois ou mais resultados possíveis e não se tem elementos de juízo suficientes para predizer qual deles ocorrerá em um determinado experimento Experimento Aleatório Experimentos que ao serem repetidos nas mesmas condições não produzem o mesmo resultado são denominados experimentos aleatórios Experimento Aleatório Características Para que um experimento seja considerado aleatório é necessário que apresente as seguintes características 1 Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições 2 Não se conhece a priori um particular valor do experimento entretanto podese descrever todos os possíveis resultados as possibilidades Experimento Aleatório Características 3 Quando o experimento for repetido um grande número de vezes surgirá uma regularidade na apresentação dos resultados ou seja ocorrerá uma estabilização da fração frequência relativa n r f onde n é o número de repetições e r é o número de sucessos de um particular resultado estabelecido antes da realização do experimento Experimento Aleatório Exemplos Jogar um dado e observar o número mostrado na face superior Jogar uma moeda um certo número de vezes e observar o número de coroas obtidas Contar o número de peças defeituosas da produção diária da máquina A Experimento Determinístico Os experimentos que ao serem repetidos nas mesmas condições conduzem ao mesmo resultado são denominados determinísticos Exemplos Se deixarmos uma pedra cair de uma certa altura podemos determinar sua posição e velocidade para qualquer instante de tempo posterior à queda Se aquecermos a água a 100 graus centígrados ela entrará em ebulição Espaço Amostral Definição Para cada experimento aleatório E definese espaço amostral S como o conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento Fonseca e Martins 1996 Exemplos a E jogar um dado e observar o número na face superior S 1 2 3 4 5 6 b E lançar duas moedas e observar o resultado S c c c k k c k k onde c cara e k coroa Evento Definição É um conjunto de resultados do experimento Em analogia com os conjuntos é um subconjunto de S Observação Em particular o espaço amostral S e o conjunto vazio são eventos S é dito o evento certo e o evento impossível 25 Evento Exemplo 1 E lançar o dado e observar o número da face superior S 1 2 3 4 5 6 Eventos A ocorrer número par A 2 4 6 B ocorrer número impar B 1 3 5 C ocorrer número múltiplo de 2 e 3 C 6 Evento Exemplo 2 E jogar três moedas e observar o resultado S c c c c c k k c c c k c k k k k k c c k k k c k Eventos A ocorrer pelo menos duas caras A c c k k c c c k c c c c B ocorrer somente coroa B k k k Evento Observações A partir do uso das operações com conjuntos novos eventos podem ser formados a A é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem b é o evento que ocorre se A e B ocorrem simultaneamente c é o evento que ocorre se A não ocorre B A B A A Evento Exemplo E lançar um dado e observar o resultado S 1 2 3 4 5 6 A ocorrer número múltiplo de 2 A 2 4 6 B ocorrer número múltiplo de 3 B 3 6 2 3 4 6 6 1 3 5 1 2 3 4 5 B A B A A A B Diagramas de Venn representando as operações sobre eventos a União de dois eventos pode se dar de duas maneiras Nesse caso número de elementos da união entre A e B Probabilidade da união entre os eventos A e B A B Eventos tipos e operações Se A e B forem dois eventos quaisquer então PA U B PA PB PA B Ex Um número inteiro é escolhido ao acaso dentre os 20 primeiros positivos Qual a probabilidade do número inteiro escolhido ser divisível por 4 ou 6 Nesse caso os eventos A e B são mutuamente exclusivos Probabilidade da união de dois eventos mutuamente exclusivos A B Eventos tipos e operações Dois eventos A e B que não podem ocorrer simultaneamente são denominados mutuamente exclusivos ou disjuntos Se A é o evento em que o peso ao nascer esteja abaixo de 2000 gramas e B o evento de que esteja entre 2000 e 2499 gramas por exemplo os eventos A e B são mutuamente exclusivos Uma criança não pode estar nos dois grupos de peso ao mesmo tempo For definição A B e PA B 0 Na Figura os círculos nãosobrepostos representam eventos mutuamente exclusivos Diagramas de Venn representando dois eventos mutuamente exclusivos b Eventos complementares se A B Ø e se A B S Como consequência teremos 25 Eventos tipos e operações Eventos Mutuamente exclusivos Dois eventos A e B são denominados mutuamente exclusivos se os mesmos não puderem ocorrer simultaneamente ou seja B A Exemplo E lançar um dado e observar o resultado S 1 2 3 4 5 6 A ocorre número par A 2 4 6 B ocorrer número ímpar B 1 3 5 logo A e B são mutuamente exclusivos pois a ocorrência de um número que seja par e ímpar não pode ser verificada como decorrência do mesmo evento A B Probabilidade Definição Dado um experimento aleatório E sendo S o seu espaço amostral a probabilidade de um evento A ocorrer PA é uma função definida em S que associa a cada evento um número real satisfazendo os seguintes axiomas i 0 PA 1 ii PS 1 iii Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos então P B P A B P A A B Teorema da soma Se A e B são dois eventos quaisquer então Demonstração a Se A e B são mutuamente exclusivos recaise no axioma iii Teoremas B A B P A P B P A B P A A B B A S Seja S um espaço amostral finito S a1 a2 an Considerese o evento formado por um resultado simples A ai A cada evento simples ai associase um número pi denominado probabilidade de ai que satisfaz as condições a pi 0 i 1 2 n b p1 p2 pn 1 A probabilidade de cada evento composto mais de um elemento é definida então pela soma das probabilidades dos elementos Probabilidades Finitas dos S Finitos Exemplo Três cavalos A B e C estão em uma corrida Se A tem duas vezes mais probabilidades de ganhar de B e B tem duas vezes mais probabilidade de ganhar de C quais são as probabilidades de cada um dos cavalos ganhar Qual seria a probabilidade de B ou C ganhar Solução PC p PB 2PC 2p PA 2PB 4p Como PA PB PC 1 então 4p 2p p 1 de onde se obtém p 17 Logo PA 47 PB 27 e PC 17 Probabilidades Finitas dos S Finitos Solução continuação Qual a probabilidade de B ou C ganhar Do axioma iii 27 17 37 P C P B C P B Probabilidades Finitas dos S Finitos Frequentemente este método de avaliar a probabilidade é enunciado da seguinte forma ºn total de casos NTC NCF ºn de casos favoráveis A P ou de vezes em que o espaço amostral S ocorre ºn ºn de vezes em que o evento A pode ocorrer A P Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis Exemplo 1 Numa escolha aleatória de uma carta de baralho com 52 cartas qual a probabilidade de sair um rei e uma carta de copas Solução Seja A a carta é um rei e B A carta é de copas 4 1 52 13 total de cartas ºn ºn de cartas de copas B P 13 1 52 4 total de cartas ºn ºn de reis A P Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis Considere o experimento aleatório E lançar um dado e observar o resultado e o evento A sair o nº 3 Então PA 16 Considere agora o evento B sair um nº ímpar 1 35 então PB 12 A probabilidade de ocorrer o evento A condicionada à ocorrência do evento B representada por PAB será PAB 13 Probabilidade Condicional Com a informação da ocorrência do novo evento reduzse o espaço amostral No exemplo dado S 1 2 3 4 5 6 foi reduzido para S 1 3 5 e é neste espaço reduzido que a probabilidade do novo evento é avaliada Definição Se A e B são dois eventos a probabilidade do evento A ocorrer quando o evento B tiver ocorrido é denominada probabilidade condicionada PAB dada por 0 pois já ocorreu P B B P B P A P A B Probabilidade Condicional Para o exemplo apresentado temse 3 1 2 1 6 1 B P B P A P A B No caso de aplicações mais complexas é mais prático se utilizar a seguinte fórmula B NCF B A NCF NTC B NCF NTC B A NCF B P B P A P A B Probabilidade Condicional Exemplo No experimento do lançamento de dois dados considere os eventos A x1x2x1 x2 10 e B x1x2 x1 x2 onde x1 é o resultado do dado 1 e x2 o resultado do dado 2 Avalie PA PB e PBA Soluções S 11 12 13 14 15 16 A 64 55 46 21 22 23 24 25 26 B 21 31 41 51 31 32 33 34 35 36 61 32 42 52 41 42 43 44 45 46 62 43 53 63 51 52 53 54 55 56 54 64 65 61 62 63 64 65 66 A B 64 Probabilidade Condicional Soluções 3 1 A NCF B NCF A B A P 15 1 B NCF B NCF A A B P 12 5 36 15 NTC NCF B B P 12 1 36 3 NTC NCF A A P Probabilidade Condicional Independência de Eventos Dois eventos A e B são estatisticamente independentes quando Do contrário A e B são eventos dependentes PA PB B PA Se PA e PB são ambos maiores que zero PAB PA e PBA PB PB B PA PAB PA B PA PBA 213 Independência de Eventos Dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral isto é dois eventos associados ao mesmo experimento aleatório são independentes quando a probabilidade de que eles ocorram simultaneamente for igual ao produto de suas probabilidades individuais Em símbolos A e B serão independentes quando P A B PA PB INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS Independência de eventos Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência ou não de B não altera a probabilidade de ocorrência de A isto é P B P A B P A Temos a seguinte forma equivalente Independência de Eventos E se A e B são mutuamente exclusivos São também independentes Mas AB 0 B PA 0 PAB PB B PA PAB Suponha PB 0 PA B PA PBA Suponha PA 0 Mas AB 0 B PA 0 PBA Independência de Eventos Então Se PA e PB são estritamente positivos 0 e A e B são eventos mutuamente exclusivos Então A e B NÃO SÃO estatisticamente independentes pois PAB 0 PA e PBA 0 PB Logo se os eventos A e B são independentes e mutuamente exclusivos Pelo menos um deles tem probabilidade nula pois é a única forma de PAB PA e PBA PB 213 Independência de Eventos Considere o lançamento de um dado honesto O espaço amostral associado e esse experimento é o conjunto formado pelos números 1 2 3 4 5 6 e a cada um dos quais é atribuída probabilidade 16 Vamos considerar os eventos A o resultado é par B o resultado é maior do que 4 C o resultado é um múltiplo de 3 213 Independência de Eventos Os subconjuntos do espaço amostral associados a esses eventos são respectivamente 2 4 6 5 6 e 3 6 Seguese então que PA 12 e PB PC 13 Os eventos A e B e também os eventos B e C ocorrerão simultaneamente quando o resultado do lançamento for um 6 213 Independência de Eventos Seguese que P A Β P B C 16 A comparação desses valores com os produtos das probabilidades individuais mostra que A e B são independentes enquanto que B e C são dependentes É claro que o fato de dois eventos serem ou não independentes é determinado pelo espaço amostral e pela probabilidade definida nesse espaço Se PA 035 PB 08 e PAB 028 A e B são independentes Independência de Eventos Exemplo 1 PAPB 03508 028 Como PAPB PAB A e B são independentes Resumo Regra da multiplicação Probabilidade condicional PA B PA PB estatisticamente independentes A B A B E A B A B A faz o papel do espaço amostral PA B PA PBA B faz o papel do espaço amostral PB B PA PAB