Modelagem Matemática Sistemas Mecânicos Rotacionais Newtoniana - Guia Completo

Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Translacionais pela Mecânica Newtoniana 1 1 INTRODUÇÃO Nesta apostila aprenderemos como obter o modelo matemático de sistemas mecânicos rotacionais a partir da aplicação da 2a Lei de Newton para o movimento de rotação também conhecida como Equação de Euler Inicialmente apresentaremos as equações constitutivas de cada um dos elementos que compõem o sistema mecânico rotacional e após mostraremos como tais equações são inseridas na EDOL que descreve o modelo matemático do sistema 2 RELAÇÕES ENTRE EXCITAÇÃO E RESPOSTA PARA OS ELEMENTOS DO SISTEMA MECÂNICO EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS Conforme já vimos as equações constitutivas entre excitação e resposta para os vários elementos considerados lineares de um sistema mecânico são dadas por 1 J T θ 2 C T 1 2 C θ θ 3 TK Kθ2 θ1 A eq 1 nada mais é do que a 2a Lei de Newton para o movimento de rotação onde T que é a resultante de todos os torques externos aplicadas ao corpo rígido de momento de inércia J é proporcional à aceleração angular absoluta do corpo A constante de proporcionalidade é o momento de inércia J A eq 2 diz respeito ao torque que atua sobre um amortecedor viscoso a qual é proporcional à velocidade angular relativa entre as extremidades do amortecedor A constante de proporcionalidade é o coeficiente de amortecimento viscoso C Já a eq 3 mostra a proporcionalidade entre a força da mola de torção e o deslocamento angular relativo das extremidades da mola A constante de proporcionalidade é a rigidez K Observemos que a aceleração angular é absoluta ao passo que o deslocamento angular e a velocidade angular são relativos 6 Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Rotacionais pela Mecânica Newtoniana Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Translacionais pela Mecânica Newtoniana 2 3 MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS MECÂNICOS ROTACIONAIS Para a modelagem de sistemas rotacionais empregamos as equações constitutivas 1 2 e 3 em conjunto com a 2a Lei de Newton para o movimento de rotação também conhecida como Equaçãp de Euler 4 0 0 J T θ onde o membro esquerdo representa a resultante dos torques externos que atuam sobre a massa J0 é o momento de inércia da massa em relação ao eixo de rotação e θ é a coordenada angular adotada Vamos ilustrar a técnica da modelagem através de exemplos Exemplo 1 sistema motorpropulsor fig 1 Na fig 1 o momento de inércia das peças rotativas do motor é representado por Je e o momento de inércia do propulsor por Jp O torque de acionamento do motor é dado por Tt Consideraremos que o eixo tem massa desprezível em comparação com as massas do motor e do propulsor sendo ele representado por uma rigidez torcional K Vamos admitir também a existência de um torque de resistência aerodinâmica proporcional ao quadrado da velocidade de rotação do propulsor Para o desenvolvimento do modelo matemático vamos escrever as equações do movimento a partir do diagrama de corpo livre da fig 2 considerando θ2 θ1 Coordenada θ1 1 e 1 2 0 0 J K Tt J T θ θ θ θ Coordenada θ2 2 p 2 2 1 2 0 0 J C K J T θ θ θ θ θ 5 Tt K K J 2 1 1 e θ θ θ 6 0 K K C J 2 1 2 2 2 p θ θ θ θ Como vemos o modelo matemático é composto de duas equações diferenciais uma linear e outra não linear Fig 1 Fig 2 Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Translacionais pela Mecânica Newtoniana 3 Exemplo 2 sistema engrenado fig 3 A fig 3 mostra um sistema com duas engrenagens estando a maior delas N1 dentes e raio primitivo r1 conectada a um eixo cuja outra extremidade está fixada a uma estrutura Sobre a engrenagem menor N2 dentes e raio primitivo r2 atua um torque Tt sen ωt Para o desenvolvimento do modelo matemático vamos antes transferir a inércia da engrenagem menor para o eixo da engrenagem maior 7 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 eq N N J J J J J θ θ O torque Tt por sua vez também pode ser transferido para o eixo da engrenagem maior tendo em vista que ver fig 4 8 T senωt r2F 9 Teqt r1F logo 10 t T sen r r t T 2 1 eq ω Podemos então escrever as equações do movimento a partir do diagrama de corpo livre da fig 5 1 eq 1 eq 0 0 J K T J T θ θ θ Levando em conta as eqs 7 e 10 1 2 2 1 2 1 1 2 1 0 0 N N J J Tsen t K r r J T θ θ ω θ Fig 3 Fig 4 Fig 5 Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Translacionais pela Mecânica Newtoniana 4 Ordenando e tendo em conta que 2 1 2 1 N N r r chegamos finalmente a 11 Tsen t N N K N N J J 2 1 1 1 2 2 1 2 1 ω θ θ Exemplo 3 sistema rotacional com dois GDL fig 6 Vamos representar no Espaço de Estados o sistema rotacional da fig 6 considerando θ e θ como variáveis de estado e como saídas os deslocamentos angulares θ e θA Consideremos os diagramas de corpo livre da fig 7 Modelo matemático Mola K2 0 K K J T A 1 A 2 0 0 θ θ θ θ Disco J A 2 0 0 J C K Tt J T θ θ θ θ θ Ordenando 12 0 K K K A 2 1 2 θ θ θ θ 2 1 2 A K K K 13 Tt K K C J A 2 2 θ θ θ θ Fig 6 Fig 7 Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Translacionais pela Mecânica Newtoniana 5 Equação de Estado Variáveis de estado 2 1 x x θ θ Derivando K K x Cx J Tt 1 K K C J Tt 1 x x x A 2 1 2 2 A 2 2 2 2 1 θ θ θ θ θ θ Levando em conta a eq 12 e ordenando Tt Cx x K K K K J 1 x x x 2 1 2 1 2 1 2 2 1 Na forma matricial 14 Tt J 1 0 x x J C K K J K K 1 0 x x 2 1 2 1 2 1 2 1 Equação de Saída A 2 1 y y θ θ Considerando as variáveis de estado e a eq 12 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 x K K K K K K y x y θ Na forma matricial 15 0 Tt 0 x x 0 K K K 0 1 y y 2 1 2 1 2 2 1 EXERCÍCIOS 1 Deduzir o modelo matemático para o pêndulo simples da figura É a equação diferencial linear ou nãolinear Solução Seja θ a coordenada generalizada Decompondo o peso em suas componentes radial e transversal ao fio podemos aplicar a Equação de Euler em relação ao ponto O Evidentemente somente a componente transversal faz momento 0 J T θ Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Translacionais pela Mecânica Newtoniana 6 mL2 mg sen L θ θ 0 mg sen t t mL θ θ Vemos que o modelo matemático é uma EDO nãolinear 2 Considerando no pêndulo do exercício 2 que para pequenas oscilações senθ θ em radianos verifique na sua calculadora linearize o modelo matemático do pêndulo transformandoo em uma EDOL Resp 0 mg t t mL θ θ 3 Considerando no exemplo 2 do texto Tt como entrada e θ1t como saída achar a função de transferência do sistema 4 Deduzir o modelo matemático para o pêndulo composto da figura Linearizar o modelo 5 Considere o exemplo 3 do texto Ache a função de transferência sendo Tt a entrada e θ a saída Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Translacionais pela Mecânica Newtoniana 7 6 A figura mostra o motor de um barco torque Tet e momento de inércia Je acionando o propulsor a hélice momento de inércia Jp através de acoplamentos momentos de inércia Jc1 e Jc2 e eixos flexíveis rigidezes K1 e K2 Desenvolver um modelo matemático para o sistema incluindo o torque resistente Tw que a água oferece ao movimento Resp 7 O sistema da figura consiste de um momento de inércia J1 correspondente ao rotor de uma turbina o qual está acoplado ao momento de inércia J2 do propulsor Potência é transmitida através de um acoplamento fluido com coeficiente de atrito viscoso C e um eixo com rigidez K Um torque de acionamento Tt é exercido sobre J1 e um torque de carga TL é exercido sobre J2 Sendo a entrada o torque Tt e a saída a velocidade angular 2 θ representar o modelo matemático a no espaço de estados b na forma de equação IO c na forma de função de trans ferência