Modelagem Matematica Sistemas Mecanicos Hibridos - Mecanica Lagrangiana

1 Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Híbridos pela Mecânica Lagrangiana Obtenção do modelo matemático de sistemas mecânicos híbridos sistemas cujas massas executam movimentos de translação e rotação a partir da aplicação das Equações de Lagrange Estudo ficará restrito ao movimento de corpos rígidos no plano também conhecido simplesmente por movimento plano Introdução 2 EQUAÇÕES DE LAGRANGE Seja um sistema mecânico com n GDL cujas coordenadas generalizadas são q1 q2 qn Energia potencial do sistema em um dado instante Energia cinética do sistema em um dado instante Vq q q V n 2 1 Lagrangiano do sistema V T L Tq q q q q q T n 2 1 n 2 1 Equações de Lagrange Q i 1 2 n q L q L dt d i i i Qi forças nãoconservativas Exemplo 1 Sistema moladisco O disco rola sem deslizar sobre o plano horizontal Achar o modelo matemático usando a coordenada θ Q i 1 2 n q L q L dt d i i i 2 kx2 1 V 2 2 2 2 2 2 mr 1 2 1 2 mx 1 2 J 1 2 mx 1 T θ θ 3 2 2 2 2 2 kx 1 2 mr 1 2 1 2 mx 1 V T L θ Q i 1 2 n q L q L dt d i i i x rθ r x θ 2 2 2 2 2 2 2 kr 1 2 mr 1 2 1 2 mr 1 L θ θ θ θ 1q 1 i 0 L L dt d θ θ 2 2 2 2 2 mr 3 2 mr 3 dt d 2 mr 1 dt mr d L dt d θ θ θ θ θ θ θ kr2 L 0 kr 2 mr 3 2 2 θ θ 0 3m 2k θ θ Exemplo 2 Sistema carropêndulo simples Deduzir o modelo matemático para pequenas oscilações θ θ mgL cos mgL 2 kx 1 V 2 2 2 2 Lsen 2 m 1 L cos 2 m x 1 2 M x 1 T θθ θθ θ θθ θθ mgL cos mgL 2 kx 1 2 m Lsen 1 L cos 2 m x 1 2 M x 1 V T L 2 2 2 2 Q i 1 2 n q L q L dt d i i i 4 x q 1 i 1 cx ft x L x L dt d θ q2 2 i 0 L L dt d θ θ 2 mLsen mL cos mx M x L cos m x dt M x d x L dt d θθ θθ θθ kx x L 2 2 2 2 mL mL x sen mL cos dt mx d Lsen mLsen L cos L cos dt m x d L dt d θ θ θ θ θ θθ θ θθ θ θ θ θ mgL mgLsen L ft c x kx mL m x M θ 0 mgL mL mL x 2 θ θ θ θ θ 0 ft x mgL 0 0 k x 0 0 0 c x mL mL mL m M 2 Forma matricial Exemplo 3 Sistema carropêndulo invertido Deduzir o modelo matemático para pequenas oscilações θ 5 Q i 1 2 n q L q L dt d i i i m gL m gL cos 2 mg L 2 cos mg L V c c θ θ 2 2 2 2 2 c 2 c 2 12 mL 1 2 1 2 sen L 2 m 1 2 cos L 2 m x 1 Lsen 2 m 1 L cos x 2 m 1 2 M x 1 T θ θθ θθ θθ θθ m gL m gL cos 2 mg L 2 cos mg L 12 mL 1 2 1 2 sen L 2 m 1 2 cos L 2 m x 1 Lsen 2 m 1 L cos x 2 m 1 2 M x 1 V T L c c 2 2 2 2 2 c 2 c 2 θ θ θ θθ θθ θθ θθ x q 1 i 1 cx ft x L x L dt d θ q2 2 i 0 L L dt d θ θ θθ θθ c 2 cos L m x L cos x m dt M x d x L dt d θ θ θθ θ θθ θ θθ θ θθ θ 2 c c 12 mL 1 2 sen L 2 sen L 2 cos L 2 cos L m x Lsen m Lsen L cos L cos x dt m d L dt d θ θ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ m gLsen 2 sen mg L cos 2 L 2 sen m L sen 2 L 2 cos L m x cos L Lsen m sen L L cos x m L c c c 0 x L c c m L 2 x m m m M x L dt d θ 2 c c 2 c c L m 3 m L x m 2 m L m 3 m L x m 2 m dt d L dt d θ θ θ 2 2 c c c 2 Lsen m 2 L cos m mx m Lsen m L cos m x M x x L dt d θθ θθ θθ θθ 1 1 0 0 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ 2 2 2 2 2 2 2 c c 12 mL 1 sen 4 L cos m x 2 L cos m sen m L cos x dt m L cos d L dt d 1 1 1 1 θ θ gL m 2 m L c 0 0 0 0 6 ft c x m L 2 m x m m M c c θ Forma matricial θ θ θ 0 ft x gL m 2 m 0 0 0 x 0 0 0 c x L m 3 m L m 2 m 2 L m m m m M c 2 c c c c 0 gL m 2 m L m 3 m L x m 2 m c 2 c c θ θ