Modelagem Matematica de Sistemas Mecanicos Translacionais - Mecanica Newtoniana

Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Translacionais pela Mecânica Newtoniana 1 1 INTRODUÇÃO Nesta apostila aprenderemos como obter o modelo matemático de sistemas mecânicos translacionais a partir da aplicação da 2a Lei de Newton Inicialmente apresentaremos as equações constitutivas de cada um dos elementos que compõem o sistema mecânico e após mostraremos como tais equações são inseridas na EDOL que descreve o modelo matemático do sistema 2 RELAÇÕES ENTRE EXCITAÇÃO E RESPOSTA PARA OS ELEMENTOS DO SISTEMA MECÂNICO EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS Conforme já vimos as equações constitutivas entre excitação e resposta para os vários elementos considerados lineares de um sistema mecânico são dadas por 1 m f mx massa m 2 x cx f 1 2 c amortecedor c 3 x kx f 1 2 k mola k A eq 1 nada mais é do que a 2a Lei de Newton onde fm que é a resultante de todas as forças externas aplicadas à massa m é proporcional à aceleração absoluta da massa m A constante de proporcionalidade é a massa m A eq 2 diz respeito à força que atua sobre um amortecedor viscoso a qual é proporcional à velocidade relativa entre as extremidades do amortecedor A constante de proporcionalidade é o coeficiente de amortecimento viscoso c Já a eq 3 mostra a proporcionalidade entre a força da mola e o deslocamento relativo das extremidades da mola A constante de proporcionalidade é a rigidez k Observemos que a aceleração é absoluta ao passo que o deslocamento e a velocidade são relativos 5 Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Translacionais pela Mecânica Newtoniana Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Translacionais pela Mecânica Newtoniana 2 3 MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS MECÂNICOS TRANSLACIONAIS Vamos ilustrar a técnica da modelagem através de exemplos Exemplo 1 sistema molaamortecedor em paralelo fig 1 Fig 1 A fig 1b mostra o diagrama de corpo livre do sistema onde é considerada sem massa a barra sobre a qual atuam as forças externas aplicadas ou seja a excitação ft a força da mola kxt e a força do amortecedor viscoso c x t Tratase de um sistema com apenas um grau de liberdade GDL pois a coordenada xt é suficiente para descrever o movimento do sistema Aplicando a 2a Lei de Newton eq 1 obtemos 0 kxt c xt t f 0 m x F x de onde chegamos na EDOL de 1a ordem daí o nome de sistema de 1a ordem 4 ft kxt c xt a qual constitui o modelo matemático para o sistema mecânico da fig 1a Exemplo 2 sistema molaamortecedor em série fig 2 Temos agora um sistema com dois GDL pois são necessárias duas coordenadas para descrever o movimento do sistema x1 para o ponto situado entre o amortecedor e a mola e x2 para o ponto de aplicação da força ft A fig 3 ilustra os diagramas de corpo livre das forças que atuam nesses pontos onde foi considerado que x2 x1 Fig 2 Fig 3 Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Translacionais pela Mecânica Newtoniana 3 Aplicando a 2a Lei de Newton ao ponto 1 0 cx x x k 0 m x F 1 1 2 1 1 1 x pois m1 0 Aplicando a 2a Lei de Newton ao ponto 2 0 x kx t f 0 m x F 1 2 2 2 x2 pois m2 0 Logo o modelo matemático fica composto pelo conjunto de EDOLs 5 0 kx kx cx 2 1 1 6 ft kx kx 2 1 Matricialmente 7 ft 0 x x k k k k x x 0 0 0 c 2 1 2 1 Exemplo 3 sistema massamolaamortecedor com um grau de liberdade Vamos considerar agora o sistema mecânico massamolaamortecedor ou sistema mkc da fig 4a o qual constitui o sistema com um grau de liberdade mais simples O diagrama de corpo livre correspondente está mostrado na fig 4b Chamando yt o deslocamento vertical da massa m a partir da posição em que a mola não está deformada ou seja antes da montagem da massa m no sistema temos a partir da aplicação da 2a Lei de Newton m yt mg f t f t ft F k c y Levando em conta as eqs 1 2 e 3 chegamos a 8 ft mg kyt c yt m yt Essa equação pode ser simplificada eliminando o efeito do peso mg Para isso vamos medir o deslocamento a partir da posição de equilíbrio estático xt obtida a partir da posição anterior yt porém deixando que a mola sofra uma deflexão estática δest conforme mostra a fig 5 Fig 4 Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Translacionais pela Mecânica Newtoniana 4 Fig 5 Tendo em vista que a deflexão da mola equilibra o peso 9 mg kδest Por outro lado conforme mostra a fig 5 podemos fazer a transformação de coordenadas 10 yt xt δest Levando as eqs 9 e 10 na eq 8 chegamos à EDOL de 2a ordem daí o nome sistema mecânico de 2a ordem que constitui o modelo matemático do sistema da fig 4a 11 ft kxt c xt m xt Assim se adotarmos a coordenada xt a partir da posição de equilíbrio estático podemos omitir o peso mg o que é vantajoso pois podemos usar a eq 11 como modelo matemático para sistemas mecânicos de 2a ordem que transladem tanto na vertical como na horizontal Exemplo 4 suspensão de um veículo Podemos construir o modelo translacional bastante simplificado da suspensão independente de um carro considerando apenas o movimento de uma roda do veículo conforme ilustra a fig 6 A rigidez do pneu é modelada pela mola k1 As massas do pneu roda eixo e demais peças não suspensas são modeladas pela massa m1 O coeficiente de amortecimento do amortecedor viscoso e a rigidez da mola da suspensão são modelados respectivamente por c e k2 Já a massa suspensa distribuída àquele ¼ de suspensão é modelada pela massa m2 Foram adotadas as coordenadas y1 e y2 medidas a partir da posição de equilíbrio estático do sistema para descreverem os movimentos das massas m1 e m2 respectivamente A coordenada y0 servirá para descrever o movimento do solo devido às irregularidades do terreno Fig 6 Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Translacionais pela Mecânica Newtoniana 5 O diagrama de corpo livre do sistema é mostrado na fig 7 onde foi considerado que y2 y1 y0 Aplicando a 2a Lei de Newton à massa 1 1 1 1 2 1 2 2 0 1 1 1 1 1 y m y y cy y k y y y k m y F Aplicando a 2a Lei de Newton à massa 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 y m y y cy y y k m y F Logo o modelo matemático fica composto pelo conjunto de EDOLs 12 0 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 k y k y k y k c y c y m y 13 0 k y k y c y c y y m 2 2 1 2 2 1 2 2 Matricialmente 14 0 y k y y k k k k k y y c c c c y y m 0 0 m 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 Na eq 14 podemos identificar os seguintes vetores e matrizes 0 y k y y k k k k k y y c c c c y y m 0 0 m 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 As matrizes são todas 2 x 2 no de graus de liberdade 2 e os vetores são todos 2 x 1 Fig 7 Vetor excitação entrada Vetor deslocamento saída Matriz rigidez Vetor velocidade Matriz amortecimento Vetor aceleração Matriz massa ou inércia Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Translacionais pela Mecânica Newtoniana 6 EXERCÍCIOS 1 Deduzir o modelo matemático para o sistema massaamortecedor da figura Resp ft c xt m xt 2 Representar o modelo matemático do sistema do exercício anterior no Espaço de Estados 3 Representar o modelo matemático do sistema do exercício anterior na forma de Função de Transferência Resp cs ms 1 Gs 2 4 Considere o exemplo 4 do texto Considerando y0t como entrada e y2t como saída representar o modelo matemático do sistema no Espaço de Estados Resp Equação de Estado t y 0 0 m k 0 x x x x m c m k m c m k 1 0 0 0 m c m k m c m k k 0 0 1 0 x x x x 0 1 1 4 3 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 4 3 2 1 onde as variáveis de estado foram definidas como 2 4 2 3 1 2 1 1 y x y x y x y x 5 Considere o exemplo 4 do texto Considerando y0t como entrada e y2t como saída representar o modelo matemático por Função de Transferência Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Translacionais pela Mecânica Newtoniana 7 6 Representar o modelo matemático do sistema da figura pela função de transferência Ys Zs Gs Dados numéricos m 2 kg k1 K2 8 Nm c1 c2 16 Nsm Resp 2 12s 85s s 4s Ys Zs Gs 2 3