Análise Combinatória Simulado Faci

1ª Questão Conjuntos como conhecemos são uma coleção ou grupos de objetos, ou símbolos aos quais chamamos de elementos. Dado o conjunto A = {1; 2; 3} e B = {2; 3; 4}, quantos são os números diferentes que você consegue gerar somando um elemento de A com um elemento de B? ☐ 7. ☐ 4. ☐ 8. ☑ 5. Explicação: Note que devemos somar cada elemento de A com cada elemento de B, resultando, portanto, em 9 somas. A seguir, verificar quantos são os valores diferentes obtidos. Os possíveis resultados são: 1+2=3; 1+3=4; 1+4=5; 2+2=4; 2+3=5; 2+4=6; 3+2=5; 3+3=6; 3+4=7; Ou seja, obtemos 5 valores distintos: 3,4,5,6 e 7. 2ª Questão Conjuntos como conhecemos são uma coleção ou grupos de objetos, ou símbolos aos quais chamamos de elementos. Analise a soma s(n) dos n primeiros números ímpares positivos. Qual das sentenças indicadas representa s(n)? ☐ \(\frac{n^3+1}{2}\) ☐ n^3+1 ☐ 2n+2 ☑ n^2 ☐ (n-1)^2+3 Explicação: Uma das estratégias é analisar casos pequenos de n, identificando qual expressão é coerente com os casos analisados e, a seguir, demonstrar que de fato tal expressão vale para qualquer n. Por exemplo, por Indução! ┌─────┬───┬───┬───┬────┐ │ n │ (A) │ (B) │ (C) │ (E) │ ├─────┼───┼───┼───┼────┤ │ 1 │ 2 │ 4 │ 5 │ 3 │ │ 2 │ 4 │ 5 │ 2 │ 4 │ └─────┴───┴───┴───┴────┘ 3ª Questão O Princípio da Multiplicação é uma estratégia para contar o número total de casos possíveis, em situações em que ocorrem escolhas múltiplas, porém independentes. Com os algarismos de 1 a 9, quantos são os números de 4 algarismos DIFERENTES que podemos formar, sabendo-se que necessariamente devemos usar pelo menos os algarismos 2 e 5? ☐ \(C_4^9 - C_4^4\) ☐ \(C_4^7\) ☐ \(A_4^9\) ☑ \(A_4^9 - A_4^7\) ☐ \(A_4^7\) Explicação: Basta observar que a quantidade desejada é equivalente a quantidade de arranjos de podemos obter com os 9 algarismos 4 a 4, descontados os arranjos que NÃO usam os algarismos 2 e 5 (que corresponde a usarmos apenas os 7 demais algarismos). 7ª Questão Em uma prova há 10 questões, das quais 4 são de matemática. De quantas maneiras é possível editar essa prova de forma a que não ocorram duas questões de matemática seguidas? ☐ C7,4 × 6! × 4! ☐ C7,4 × 6! × 3! ☒ C6,4 × 6! × 4! ☐ C3,4 × 6! × 3! ☐ C3,4 × 7! × 4! ✓ C7,4 × 4! × 6! Explicação: Para modelar esse problema recorremos diretamente ao primeiro lema de Kaplansky. Basta imaginar as 6 questões que não são de matemática como as bolinhas indicadas, e devemos, então, inserir as 4 questões de matemática em 4 das posições indicadas por um #. Veja: #◯#◯#◯#◯#◯#◯# Ou seja, C7,4. Mas podemos permutar as 4 questões de matemática entre si, assim como as 6 questões de outras disciplinas. Logo, obtemos C7,4 × 4! × 6!. 8ª Questão O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643–1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. O número binomial (np) = (nnp−1) ⋅⋅⋅ (nnn−p+1)(pp!) pode ser calculado em qualquer uma das planilhas usuais - seja a planilha do Google, do LibreOffice (Calc) ou do Microsoft Office (Excel) por meio da digitação, em qualquer célula, da função =COMBIN(n,p). Assim, o valor do número binomial (207) é igual a: ☐ 116.280 ☐ 54.264 ☒ 77.520 ☐ 38.760 ☐ 125.970 Explicação: Basta digitar em qualquer célula de uma das planilhas sugeridas a expressão =COMBIN(20,7) e teclar Enter. 9ª Questão O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643–1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. O somatório ∑100k=0(100k)2 pode ser interpretada da forma que se segue: Como (100k) = (100100−k) podemos, a partir da igualdade: imaginar a que dispomos de 100 homens e 100 mulheres para formar comissões... Então, queimando alguns neurônios, podemos concluir que o somatório fornecido é igual (200100). ☐ (50100) ☐ (0100) ☐ (1000) ✓ (200100) ☐ (250100) Explicação: Tudo se passa como se dispuséssemos de 200 pessoas e desejássemos formar comissões com 100 pessoas. 10ª Questão O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643–1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. O desenvolvimento de (x4+x2+1)5 possui termos ... ☐ Em x5 e em x11 ☐ Em x7 e em x2 ☐ Em x4 e em x ✓ Em x8 e em x2 ☐ Em x22 e em x9 Explicação: Note que multiplicando um total de 6 termos dentre os termos x4, x2 e 1, é impossível obtermos parcelas do tipo xímpar. Questão Acerto: 1,0 / 1,0 3a Questão Conjuntos como conhecemos são uma coleção ou grupos de objetos, ou símbolos aos quais chamamos de elementos. Em os dados usados no jogo D & D é um dado dodecaédrico, que possui 12 faces pentagonais numeradas de 1 a 12. Se jogarmos simultaneamente um dado cúbico normal e um dado dodecaédrico, quantas são as possíveis somas distintas obtidas em uma única jogada? □ 12 □ 20 □ 5 □ 60 ☑ 17 Explicação: Acerto: 1,0 / 1,0 Respondeu em: 31/05/2023 09:17:52 Devemos somar cada natural entre 1 e 6 (dado cúbico) com cada natural de 1 a 12 (dado dodecaédrico)! Se você pensar numa tabela com a seguir, um tipo de tabela de tabuada das somas possíveis, é imediato perceber quais e quantos são os resultados diferentes possíveis: 12+5=17 valores diferentes. 3a Questão Conjuntos como conhecemos são uma coleção ou grupos de objetos, ou símbolos aos quais chamamos de elementos. Se um conjunto A possui 10 elementos e um conjunto B possui 7 elementos, qual o número máximo de elementos do conjunto (A−B)∪(B−A)? □ 10 ☑ 17 □ 12 □ 14 □ 13 Explicação: Faça um diagrama de Venn e perceba que essa situação ocorre exatamente quando não houver elementos em comum... E, nesse caso, temos: A-B=A, que possui 10 elementos; e B-A=B, que possui 7 elementos. Questão Acerto: 1,0 / 1,0 5a Questão Quantos são os anagramas da palavra PERGUNTA? ☑ 40.320 □ 10.080 □ 2.070 □ 5.040 □ 1.020 Explicação: Como há 8 letras distintas, basta permutar todas, ou seja, P8=8!=40.320. Respondeu em: 31/05/2023 09:18:00 6a Questão De quantas formas seis casais constituídos de um homem e uma mulher podem dançar ao mesmo tempo em uma festa, de tal forma que não haja nenhum casal dançando com seu próprio(a) companheiro(a)? □ 265 ☑ 36 □ 240 □ 720 □ 30 Explicação: Respondeu em: 31/05/2023 09:18:04 O agrupamento que modela essa situação é exatamente a permutação caótica. Imagine que cada homem e mulher de um mesmo casal recebam o mesmo número, de 1 a 6. Logo, a solução é imediata: PC6=6!(1/01+1/1!++1/6!)=265 Questão Acerto: 1,0 / 1,0 7a Questão Uma empresa possui 150 funcionários, dos quais 80 são homens e 70 são mulheres. Dentre esses funcionários, há 8 gerentes homens e 7 gerentes mulheres. Deseja-se formar uma comissão constituída de doze funcionários da empresa. É exigido que haja pelo menos um gerente homem e uma gerente mulher além de mais dez, sendo cinco homens e cinco mulheres. Qual o número de comissões distintas que podem ser formadas? ☑ 7⋅8.C70(5).C69(5) □ C70(6).C69(5) □ C70(5).C70(5) □ C69(5).C150(5) □ 8⋅7⋅C69(6) Explicação: A escolha da gerente e do gerente pode ser realizada de 8⋅7 formas diferentes. Então, restam escolher as demais mulheres da comissão, selecionando-se 5 mulheres dentre as 69 ainda disponíveis (C69.5) e 5 homens, dentre os 79 disponíveis (C79.5). Respondeu em: 31/05/2023 09:18:33 8a Questão O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. Sendo n um natural ímpar, assinale a relação verdadeira: ☑ ∑k=0k=(n−1)/2(nk)=2n−1 □ ∑k=1i(ni)=2n−1 □ ∑k=0n/2(nk)=2n □ ∑k=n+1n!(nk)=2n−1 Explicação: Respondeu em: 31/05/2023 09:18:36 Note que quando n é ímpar, há um número par de números combinatórios nessa linha, que são iguais 2 a 2. Então, a soma desses números binomiais até o termo central (correspondente a k=n−1/2) é igual à soma dos seguintes. Logo que soma é a metade de 2n que vale =2n−1. Questão 9 O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. Imagine que dispomos de 4 homens e 7 mulheres para formar uma comissão de 5 pessoas. O número total de comissões é, naturalmente, igual a C5^11, pois dispomos de 11 pessoas. Mas podemos contar a quantidade de comissões separando a análise pelo número de mulheres das comissões. Comissões com zero mulheres (que nem é possível, e pense a respeito...), uma mulher, ... até 5 mulheres. Obteríamos a expressão: C5^7 . C0^4 + C4^7 . C1^4 + C3^7 . C2^4 + C2^7 . C3^4 + C1^7 . C4^4 + C0^7 . C5^4 [x] C5^7 . C0^4 + C4^7 . C1^4 + C3^7 . C2^4 + C2^7 . C3^4 + C1^7 . C4^4 + C0^7 . C5^4 C5^7 . C0^4 + C4^7 . C1^4 + C3^7 . C2^4 + C1^7 . C5^4 + C0^7 . C6^4 C4^7 . C1^4 + C3^6 . C2^4 + C3^7 . C2^4 + C1^7 . C3^4 + C0^7 . C5^4 C5^7 . C0^4 + C3^7 . C2^4 + C1^7 . C5^4 + C0^7 . C6^4 Explicação: A escolha de k mulheres (k de 1 a 5) dentre as 7 mulheres disponíveis, pode ser feita de Ck^7 . A escolha dos 5-k homens, a partir dos 4 homens disponíveis, pode ser feita de C5−k^4. Respondido em 31/05/2023 09:19:08 Questão 10 O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. No Triângulo de Pascal indicado, J a T representam os números combinatórios associados: [Image: Pascal's Triangle] Fonte: YUDQS – 2022. Qual a opção que expressa uma relação verdadeira? [ ] N+P=Q [ ] O=S [ ] M+R=S [x] J+K=L=M [ ] R=S=T Explicação: Note que a opção J+K=L=M corresponde à propriedade de soma de uma coluna. Respondido em 31/05/2023 09:19:24