Análise Combinatória Simulado Faci

1ª Questão Conjuntos como conhecemos são uma coleção ou grupos de objetos, ou símbolos aos quais chamamos de elementos. Dado o conjunto A = {1; 2; 3} e B = {2; 3; 4}, quantos são os números diferentes que você consegue gerar somando um elemento de A com um elemento de B? □ 7. □ 4. □ 8. ☑ 5. Explicação: Note que devemos somar cada elemento de A com cada elemento de B, resultando, portanto, em 9 somas. A seguir, verificar quantos são os valores diferentes obtidos. Os possíveis resultados são: 1+2=3; 1+3=4; 1+4=5; 2+2=4; 2+3=5; 2+4=6; 3+2=5; 3+3=6; 3+4=7; Ou seja, obtemos 5 valores distintos: 3,4,5,6 e 7. 2ª Questão Conjuntos como conhecemos são uma coleção ou grupos de objetos, ou símbolos aos quais chamamos de elementos. Analise a soma s(n) dos n primeiros números ímpares positivos. Qual das sentenças indicadas representa s(n)? □ \(\frac{n^2+1}{2}\) □ n^3+1 □ 2n+2 ☑ n^2 □ (n-1)^2+3 Explicação: Uma das estratégias é analisar casos pequenos de n, identificando qual expressão é coerente com os casos analisados e, a seguir, demonstrar que de fato tal expressão vale para qualquer n. Por exemplo, por Indução! n | Soma desejada | (A)| (B) | (C) | (D) | (E) 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | 3 2 | 4 | 5/2 | 8 | 4 | 4 | 4 3ª Questão O Princípio da Multiplicação é uma estratégia para contar o número total de casos possíveis, em situações em que ocorrem escolhas múltiplas, porém independentes. Com os algarismos de 1 a 9, quantos são os números de 4 algarismos DIFERENTES que podemos formar, sabendo-se que necessariamente devemos usar pelo menos os algarismos 2 e 5? □ \(C_4^1 - C_4^4\) □ \(A_9^1 - A_4^1\) □ \(A_9^4\) ☑ \(A_9^4 - A_7^4\) □ \(A_4^1\) Explicação: Basta observar que a quantidade desejada é equivalente a quantidade de arranjos de podemos obter com os 9 algarismos 4 a 4, descontados os arranjos que NÃO usam os algarismos 2 e 5 (que corresponde a usarmos apenas os 7 demais algarismos). 7ª Questão Em uma prova há 10 questões, das quais 4 são de matemática. De quantas maneiras é possível e ditar essa prova de forma a que não ocorram duas questões de matemática seguidas? C4 6 . 6! . 4! C4 7 . 6! . 3! C4 7 . 6! . 4! C3 7 . 6! . 3! C3 7.6! .4! Explicação: Para modelar esse problema recorremos diretamente ao primeiro lema de Kaplansky. Basta imaginar as 6 questões que não são de matemática como as bolinhas indicadas, e devemos, então, inserir as 4 questões de matemática em 4 das posições indicadas por um #. Veja: #O#O#O#O#O# Ou seja, C4 7 . Mas podemos permutar as 4 questões de matemática entre si, assim como as 6 questões de outras disciplinas. Logo, obtemos C47 . 4! . 6!. 8ª Questão O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. O número binomial (np) = n! / [(n-p)!p!] calado em qualquer uma das planilhas usuais - seja a planilha do Google, do LibreOffice (Calc) ou do Microsoft Office (Excel) por meio da digitação, em qualquer célula, da função =COMBIN(n; p). Assim, o valor do número binomial (207) é igual a: 116.280 54.264 77.520 38.760 125.970 Explicação: Basta digitar em qualquer célula de uma das planilhas sugeridas a expressão =COMBIN(20;7)e e teclar Enter. 9ª Questão O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. O somatório ∑k=0 100 C100, k = 20 pode ser interpretada da forma que se segue: Como (100k) = (100 k) podemos, a partir da igualdade :imaginar a que disponmos de 100 homens e 100 mulheres para formar comissões. ... Então, queimando alguns neurônios, podemos concluir que o somatório fornecido é igual 200 100 (100) (k) (200) (k) Explicação: Tudo se passa como se dispuséssemos de 200 pessoas e desejássemos formar comissões com 100 pessoas. 10ª Questão O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. O desenvolvimento de (x4+x2+1)5 possui termos ... Em x5e em x11 Em x7 e em x2 Em x24 e em x Em x8 e em x2 Em x22 e em x9 Explicação: Note que multiplicando um total de 6 termos dentre os termos x4 , x2 e 1, é impossível obtermos parcelas do tipo x impar. 3a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Conjuntos como conhecemos são uma coleção ou grupos de objetos, ou símbolos aos quais chamamos de elementos. Em os dados usados no jogo D & D é um dado dodecaédrico, que possui 12 faces pentagonais numeradas de 1 a 12. Se jogarmos simultaneamente um dado cúbico normal e um dado dodecaédrico, quantas são as possíveis somas distintas obtidas em uma única jogada? ⬜ 12 ⬜ 20 ⬜ 5 ⬜ 60 ✅ 17 Explicação: Devemos somar cada natural entre 1 e 6 (dado cúbico) com cada natural de 1 a 12 (dado dodecaédrico)! Se você pensar numa tabela com a seguir, um tipo de tabela de tabuada das somas possíveis, é imediato perceber quais e quantos são os resultados diferentes possíveis: 12+5=17 valores diferentes. 4a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Conjuntos como conhecemos são uma coleção ou grupos de objetos, ou símbolos aos quais chamamos de elementos. Se um conjunto A possui 10 elementos e um conjunto B possui 7 elementos, qual o número máximo de elementos do conjunto (A-B)U(B-A)? ⬜ 10 ✅ 17 ⬜ 12 ⬜ 14 ⬜ 13 Explicação: Faça um diagrama de Venn e perceba que essa situação ocorre exatamente quando não houver elementos em comum... E, nesse caso, temos: A-B=A, que possui 10 elementos; e B-A=B, que possui 7 elementos. 5a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Quantos são os anagramas da palavra PERGUNTA? ⬜ 10.080 ⬜ 2.070 ⬜ 5.040 ⬜ 1.020 ✅ 40.320 Explicação: Como há 8 letras distintas, basta permutar todas, ou seja, P8=8!=40.320. 6a Questão Acerto: 0,0 / 1,0 De quantas formas seis casais constituídos de um homem e uma mulher podem dançar ao mesmo tempo em uma festa, de tal forma que não haja nenhum casal dançando com seu próprio(a) companheiro(a)? ⬜ 30 ⬜ 35 ⬜ 240 ⬜ 720 ✅ 265 Explicação: O agrupamento que modela essa situação é exatamente a permutação caótica. Imagine que cada homem e mulher de um mesmo casal recebam o mesmo número, de 1 a 6. Logo, a solução é imediata: PGC6=6!(1/0!+1/1!+⋯+1/6!)=265 7a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Uma empresa possui 150 funcionários, dos quais 80 são homens e 70 são mulheres. Dentre esses funcionários, há 8 gerentes homens e 7 gerentes mulheres. Deseja-se formar uma comissão constituída de doze funcionários da empresa. É exigido que haja pelo menos um gerente homem e uma gerente mulher além de mais dez, sendo cinco homens e cinco mulheres. Qual o número de comissões distintas que podem ser formadas? ⬜ 8⋅6⋅C97C56C69 ⬜ 7⋅8⋅C96C56C59 ⬜ 7⋅8⋅C96C59C59 ✅ 7⋅8⋅C97C56C69 ⬜ 8⋅7⋅C95C58C69 Explicação: A escolha da gerente e do gerente pode ser realizada de 8⋅7 formas diferentes. Então, restam escolher as demais mulheres da comissão, selecionando-se 5 mulheres dentre as 69 ainda disponíveis (C569) e 5 homens, dentre os 79 disponíveis (C579) . 8a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 O Binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. Sendo num natural ímpar, assinale a relação verdadeira: ⬜ ∑ni=0(i)n=2n−1 ⬜ ∑n/2k=0(k)n=2n ✅ ∑n−1/2k=0(k)n=2n−1 ⬜ ∑nk=0(k)n=2n Explicação: Note que quando n é ímpar, há um número par de números combinatórios nessa linha, que são iguais 2 a 2. Então, a soma desses números binomiais até o termo central (correspondente a k=n−12 é igual à soma dos seguintes. Logo que soma é a metade de 2n que vale =2n−1. Questão 9 Acerto: 1,0 / 1,0 O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. Imagine que dispomos de 4 homens e 7 mulheres para formar uma comissão de 5 pessoas. O número total de comissões é, naturalmente, igual a C₁₁⁵, pois dispomos de 11 pessoas. Mas podemos contar a quantidade de comissões separando a análise pelo número de mulheres das comissões. Comissões com zero mulheres (que nem é possível e pense a respeito...) uma mulher, até 5 mulheres. Obteríamos a expressão: [✓] C₇¹ * C₄⁴ + C₇² * C₄³ + C₇³ * C₄² [ ] C₇¹ * C₄⁴ + C₇² * C₄³ [ ] C₇² * C₄³ + C₇³ * C₄⁴ [ ] C₄¹ * C₇¹ + C₇² * C₄⁴ Explicação: A escolha de k mulheres (k de 1 a 5) dentre as 7 mulheres disponíveis, pode ser feita de C₇ᵏ. A escolha dos 5-k homens, a partir dos 4 homens disponíveis, pode ser feita de C₄⁵⁻ᵏ. Respondido em 31/05/2023 09:19:08 Questão 10 Acerto: 1,0 / 1,0 O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. No Triângulo de Pascal indicado, J a T representam os números combinatórios associados: Fonte: YUDQS - 2022. Qual a opção que expressa uma relação verdadeira? [ ] N+P=Q [ ] O=S [ ] M+R=S [✓] J+K=L=M [ ] R=S+T Explicação: Note que a opção J+K=L=M corresponde à propriedade de soma de uma coluna. Respondido em 31/05/2023 09:19:24