Cinematica de Mecanismos - Analise Algebrica e Metodo de Newton-Raphson

Prof Fábio Setúbal MSc Eng Universidade Federal do Pará Faculdade de Engenharia Mecânica Grupo de Vibrações e Acústica Notas de Aula 11 Disciplina Cinemática de Mecanismos Carga Horária 60 horas Cinemática de Mecanismos POSIÇÃO DE QUALQUER PONTO DE UM MECANISMO Análise Algébrica da Posição A posição do ponto S 2 2 j S s e R 2 2 2 2 cos js sen s R S A posição do ponto P PA A P R R R 3 3 j PA pe R 2 2 j A C e R 3 3 3 3 2 2 2 cos cos jsen p jsen C R P 3 3 2 2 3 3 2 2 cos cos psen j C sen p C R P Cinemática de Mecanismos EXERCÍCIO Para o mecanismo mostrado na figura abaixo calcule e faça o gráfico do deslocamento angular das barras 3 e 4 e percurso das coordenadas do ponto P com os respectivos ângulos da manivela de entrada para uma rotação completa 10º 20º 30º Cinemática de Mecanismos Análise de Posição de Mecanismos com 1 GDL e Múltiplas Equações de Circuito de Vetores MECANISMO DE UMA PRENSA DE ESTAMPAR X1 Y1 R C2 C3 C5 Conhecidos q Variável de entrada variável primária A2 B3 B5Y Variáveis de saída variáveis secundárias Cinemática de Mecanismos Análise de Posição de Mecanismos com 1 GDL e Múltiplas Equações de Circuito de Vetores Desenvolvendo analiticamente temse f1A2B30 f2A2B30 2 3 1 1 C C R Y X 0 2 3 1 1 C C R Y X 0 Re 3 2 2 3 2 2 1 1 B j A j q j j j C e C e Y e e X 0 cos cos 3 3 2 2 1 C senB A q C R X 0 cos 3 3 2 2 1 B C C senA Rsenq Y Cinemática de Mecanismos 5 3 C C Y Análise de Posição de Mecanismos com 1 GDL e Múltiplas Equações de Circuito de Vetores 0 5 3 C C Y 0 5 3 2 5 2 3 2 B j B j j C e C e Ye Desenvolvendo analiticamente temse f3B3B50 f4Y B3 B50 0 cos cos 5 5 3 3 B C B C Y 0 5 5 3 3 C senB C senB Cinemática de Mecanismos Método de NewtonRaphson para Solução de Equações Algébricas NãoLineares É um método numérico iterativo que pode ser usado para estimar a raiz de uma função raiz da função Série de Taylor Série de Taylor de primeira ordem r x x x x i r n n x x n f x f x x f x f x x f x 1 2 1 2 x f x f x x f x 0 r i i i i f x x x f x f x f x x f x 0 x f x f x i i i i x f f x x Cinemática de Mecanismos x x x i r i i x f f x x e i i i r x f f x x x Método de NewtonRaphson para Solução de Equações Algébricas NãoLineares Fórmula Recursiva 1 i i i i x f f x x x A raiz será encontrada quando Na prática ε é a tolerância ou precisão x 0 0 1 i i x x 1 i i x x Cinemática de Mecanismos EXEMPLO Use a forma iterativa de NewtonRaphson para encontrar uma raiz de com precisão de 102 duas casas decimais A estimativa inicial da raiz é x03 6 2 x x x f SOLUÇÃO 1 Determinação da fórmula recursiva 6 2 x x f x 1 2 x x f 1 i i i i x f f x x x 1 2 6 2 1 i i i i i x x x x x 1 2 6 2 1 i i i x x x Cinemática de Mecanismos 2 Realização das iterações Primeira iteração continua Segunda iteração continua Terceira iteração termina Resposta Convergência obtida após 3 iterações para a raiz OBS Neste caso especial obtevese a solução exata Contudo dependendo da precisão estipulada em geral o mais comum é termos uma solução aproximada 1 3 x i 1 21429 7 15 3 1 2 6 3 1 2 6 2 1 2 1 2 x x x 2 21429 x i 2 2 0039 21429 1 2 6 1429 2 1 2 6 2 2 2 2 3 x x x Fórmula recursiva 1 2 6 2 1 i i i x x x 2 1 2 1 10 0 8571 3 21429 x x 2 2 3 2 10 0 0139 21429 2 0039 x x 3 2 0039 x i 3 2 0000 2 0039 1 2 6 0039 2 1 2 6 2 3 2 3 4 x x x 2 3 4 3 10 0 0039 2 0039 2 0000 x x 2 0000 xr Cinemática de Mecanismos SOLUÇÃO NO MATLAB Este programa determina as raízes de uma equação não linear através do método numérico de Newton Raphson clc clear E1 i1 Contador das iterações x13 Valor inicial while E 10e2 xi1xi262xi1 Eabsxi1xi ii1 end Saída do Resultado disp disp dispA resposta eh xi disp dispPara um total de iterações i1 Cinemática de Mecanismos Método de NewtonRaphson para Solução de Equações Algébricas NãoLineares SISTEMAS DE EQUAÇÕES Nas equações x1 x2 xn são as incógnitas Expandindo as funções f1 fn em séries de Taylor de primeira ordem 0 0 0 2 1 2 1 2 2 1 1 n n n n x x x f x x x f x x x f n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x f x x f x f x x x x x f x x f x x f x f x x x x x f x x f x x f x f x x x x x f 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Cinemática de Mecanismos 1 1 1 n n x x x f x 1 1 2 n n x x x f x 1 1 n n n x x x f x 1 1 xn f x 1 2 xn f x 1 n n x f x xn f x f x f 1 2 1 1 1 xn f x f x f 1 2 1 1 1 xn f x f x f 1 2 1 1 1 x1 x2 xn Mas Então x r x x 1 1 1 x r x x 2 2 2 nr n n x x x 1 1 1 n n x x x f x 1 1 2 n n x x x f x 1 1 n n n x x x f x 1 1 nr r x f x 1 2 nr r x f x 1 nr r n x f x 0 0 0 Cinemática de Mecanismos 1 1 xn f x 1 2 xn f x 1 n n x f x xn f x f x f 1 2 1 1 1 nx f x f x f 2 2 2 1 2 n n n n x f x f x f 2 1 x1 x2 xn 0 0 0 B A x A xn f x f x f 1 2 1 1 1 nx f x f x f 2 2 2 1 2 n n n n x f x f x f 2 1 B 1 1 xn f x 1 2 xn f x 1 n n x f x x x1 x2 xn B A x 1 JACOBIANO Cinemática de Mecanismos EXEMPLO Considerando estimativas iniciais para x1 e x2 de 12 e 32 respectivamente achar uma solução para o sistema de equações nãolineares dado abaixo Adotar a tolerância 103 2 2 2 1 2 1 1 3 x x f x x 2 1 2 1 1 1 x x f x x 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 x x x x x f x f x f x f A 1 3 2 1 2 2 2 1 x x x x B 1 3 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 x x x x x x x x x x B A X Cinemática de Mecanismos 1 3 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 x x x x x x x x x x 2 3 2 1 2 1 x x Com 4 1 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 x x 4 1 2 1 1 2 2 3 3 1 1 2 1 x x 0125 125 0 2 1 x x 0 001 125 0 0 001 125 0 2 1 x x Como Continua 1 625 0125 2 3 0 625 0125 2 1 2 1 x x Com Primeira Iteração 1 3 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 x x x x x x x x x x Segunda Iteração 0 0156 0313 0 0 625 625 1 3 250 250 1 2 1 x x 0156 0 0313 0 0 625 625 1 3 250 250 1 1 2 1 x x 0 0069 0069 0 2 1 x x Como 0 001 0069 0 0 001 0069 0 2 1 x x Continua Cinemática de Mecanismos 1 6181 0 0069 625 1 0 6181 0 0069 625 0 2 1 x x Com 1 3 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 x x x x x x x x x x Terceira Iteração 3 2 1 10 1476 0 2952 0 0 6181 6181 1 3 2362 1 2362 x x 3 3 1 2 1 1476 10 0 2952 10 0 0 6181 6181 1 3 2362 2362 1 x x 4 4 2 1 6601 10 0 6601 10 0 x x Como 0 001 6601 10 0 0 001 6601 10 0 4 2 4 1 x x Termina A solução obtida é x1 06181 e x2 16181 Cinemática de Mecanismos SOLUÇÃO NO MATLAB Este programa resolve um sistema de equações pelo método de NewtonRaphson clc clear i1 x1112 x2132 E1 while E 10e3 A2x1i 2x2ix2i x1i Bx1i2x2i23x1ix2i1 DxinvAB x1i1x1iDx1 x2i1x2iDx2 ii1 EabssumDx end Saída dos Resultados disp disp dispOs valores de X1 e X2 são x1i x2i disp disp dispNúmero de iterações igual a i1 Cinemática de Mecanismos EXERCÍCIO Para o mecanismo de quatrobarras mostrado abaixo determine 3 e 4 para 2 3 rd usando o método de NewtonRaphson A tolerância a ser usada é de 103 Utilizese de recursos gráficos para as estimativas iniciais para 3 e 4 Cinemática de Mecanismos Análise de Posição de Mecanismos com Múltiplos Graus de Liberdade No de peças N 5 No de par cinemático inferior f1 5 No de par cinemático superior f2 0 M 3N1 2f1 f2 M 351250 2 GDL O sistema possui 4 variáveis e 2 GDL As variáveis primárias são q1t e q2t As variáveis de saída são o ângulo At e o comprimento Bt Cinemática de Mecanismos 1 3 2 1 3 2 0 C B C C C B C C 1 2 0 1 3 2 0 jq t jq t jA t j C e B t e C e C e 1 1 3 2 2 1 1 2 2 cos cos cos 0 sen sen sen 0 C q t B t A t C C q t C q t B t A t C q t 1 3 2 2 1 1 2 2 1 1 3 2 2 1 1 cos cos sen sen cos cos cos C C q t C q t C q t C q t A t tg B t C C q t C q t A t Análise de Posição de Mecanismos com Múltiplos Graus de Liberdade