Função Quadrática - Resumo Completo com Gráficos e Vértices

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS FACULDADE DE MATEMÁTICA CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DO SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL UAB b fx x2 3x 5 Resolução Δ 9 20 Δ 11 raiz ℜ Gráficos da função quadrática O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola O sinal do coeficiente a determina a concavidade dessa parábola Assim Se a 0 a concavidade é voltada para cima Se a 0 a concavidade é voltada para baixo Vértice da Parábola e imagem da função do 2º grau Vértice É o ponto da curva correspondente à ordenada yv máxima ou mínima V xv yv Coordenadas do vértice v b2a Δ4a Exemplo Calcule as coordenadas do vértice da função fx x2 3x 2 Resolução xv b2a xv 32 Δ 9 8 1 yv Δ4a yv 14 V 32 14 Imagem da função quadrática a 0 Imf y ℜ y yv yv V é ponto MÍNIMO a 0 Imf y ℜ y Δ4a yv V é ponto MÁXIMO Estudo do sinal da função quadrática Estudar o sinal da função quadrática fx ax2 bx c significa determinar os valores reais de x para os quais fx 0 fx 0 e fx 0 O estudo do sinal da função quadrática depende do coeficiente quadrática depende do coeficiente a e do discriminante Δ b2 4 a c Considere x1 x2 a 0 a 0 Δ 0 x1 x2 fx 0 para x x1 ou x x2 fx 0 para x x1 ou x x2 fx 0 para x1 x x2 fx 0 para x x1 ou x x2 fx 0 para x1 x x2 fx 0 para x x1 ou x x2 a 0 a 0 Δ 0 x1 x2 fx 0 para x x1 x2 fx 0 para x x1 fx 0 para x x1 x2 fx 0 para x x1 a 0 a 0 Δ 0 raiz ℜ Fx 0 x ℜ fx 0 x ℜ Determinação das raízes Para ax2 bx c 0 x b Δ2a Ou seja x1 b Δ2a e x2 b Δ2a são as raízes I Soma e produto das raízes x1 x2 b Δ2a b Δ2a b2a b2a ba x1 x2 b Δ2a b Δ2a b Δb Δ4a2 b2 Δ4a2 b2 b2 4 ac4a2 4ac4a2 ca x1 x2 ba x1 x2 ca Nota Se fx y ax2 bx c y a x2 ba x ca Então chamando de S a soma das raízes e de P o produto das raízes encontramos y ax2 Sx P II Fatoração da função quadrática Afirmamos que y fx ax2 bx c ax x1x x2 De fato ax x1x x2 ax2 x1x x2x x1x2 ax2 x1 x2x x1x2 a x2 ba x ca ax2 bx c III Pontos de máximo a 0 ou de mínimo a 0 para uma função quadrática Vamos denotar por xv yv as coordenadas do ponto máximo a 0 ou ponto mínimo a 0 da parábola 3 Dada a equação y x² x 6 determinar o vértice da parábola e construir o seu gráfico Solução y x² x 6 x² x 6 0 Δ 1 24 25 x₁ 1 25 2 1 1 5 2 3 x₂ 1 25 2 1 1 5 2 2 Raízes 3 e 2 V b 2a Δ 4a 12 254 Exercícios 1 Dada a função y m 1 m 2 x² x 4 calcule m ℜ de modo que a parábola tenha a concavidade voltada para cima 2 Calcule as ordenadas do vértice verifique se é ponto de máximo ou de mínimo e o conjunto imagem das seguintes funções a y x² 2x 3 b y x² 4 c y 2x² 4x 4 3 Determine a e b para que a função y ax² bx 3 tenha vértice V 2 1 4 Determine m de modo que o valor mínimo da função y x² 4x m seja 1 5 Determine os zeros ℜ das funções a y x² 4x 5 b y x² 2x 6 c fx x² 2x 1 6 Calcule k de modo que a função y kx² 2x 3 admita 2 como raiz Gabarito 1 m 2 ou m 1 3 a 1 b 4 4 m 3 5 a 1 5 b Ø c 1 6 k 14 7 Para cada função encontre o vértice e classifiqueo como um ponto de máximo ou de mínimo a fx x² 8x 9 b fx x² 4x 4 c fx 4x² 8x 3 d fx x² 2x 1 e fx x² 9 f fx x² 9x Gabarito a 4 7 ponto de mínimo b 2 8 ponto de máximo c 1 7 ponto de mínimo d 1 2 ponto de máximo e 0 9 ponto de máximo f 0 9 ponto de máximo 8 O lucro de uma fábrica na venda de um produto é dado pela função Lx 5x² 100x 80 onde x representa o número de produtos vendidos e Lx é o lucro em reais Determine a Quantos produtos devem ser vendidos para se obter o lucro máximo b Qual o lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos Exemplos 1 Determinar as raízes da função definida pela equação y x² 2x 8 e fazer um esboço do gráfico Solução x² 2x 8 0 Δ b² 4ac Δ 2² 41 8 4 32 36 x b Δ 2a x₁ 2 36 2 1 2 6 2 4 e x₂ 2 36 2 1 2 6 2 2 Gráfico da Parábola a 1 0 concavidade voltada para cima Δ 36 0 a parábola intercepta o eixo x em dois pontos 2 Determinar as raízes da função definida pela equação y x² x 4 e fazer um esboço do gráfico Solução x² x 4 0 x² x 4 0 Δ 1² 41 4 1 16 15 Δ 0 não tem raízes reais Gráfico da Parábola a 1 0 concavidade voltada para baixo Δ 15 0 não intercepta o eixo x 9 O custo de produção de um equipamento hospitalar é dado por Cx 3x² 15x 21 Se a venda de x unidades é dada por Vx 2x² x para que o lucro Lx Vx Cx seja máximo devem ser vendidas a 20 unidades b 16 unidades c 12 unidades d 8 unidades e 4 unidades 10 Um corpo lançado do solo verticalmente para cima tem posição em função do tempo dada pela função ht 40 t 5t² onde a altura ht é dada em metros e o tempo t é dado em segundos Calcule a O tempo necessário para o objeto atingir a altura máxima a A altura máxima atingida pelo objeto 11 A modelagem matemática que relaciona o consumo de gasolina de um carro para percorrer 100 km com velocidade de x kmh é dado por Cx 0006x² 06x 25 Para qual velocidade este consumo é mínimo a 46 kmh b 47 kmh c 48 kmh d 49 kmh e 50 kmh 3 Uma bola ao ser chutada por um goleiro teve sua trajetória descrita pela equação ht 2t² 8t onde t é o tempo medido em segundos e ht é a altura em metros da bola no instante t Calcule a O instante tempo em que a bola atinge a altura máxima b A altura máxima atingida pela bola 13 Uma indústria que fabrica recipientes plásticos tem sua produção diária P em recipientes variando com o número de operadores em serviço n de acordo com a função Pn n² 50n 6000 Calcule a A produção se o número de operadores for 4 b A produção máxima diária sem a contratação de novos operadores