Relações e Funções - Definições, Exemplos e Representações Gráficas

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS FACULDADE DE MATEMÁTICA CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DO SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL UAB Relações Dados dois conjuntos A e B uma relação R sobre A e B ou de A em B é uma relação que associa elementos x A a elementos y B mediante uma lei previamente determinada lei de associação ou de relação Como você verá através de exemplos toda relação de A em B determina um subconjunto de A B Exemplo A 1 0 1 3 B 0 1 9 10 Determine a R₁ xy A B y x² Solução R₁ 1 1 0 0 1 1 3 9 b R₂ xy A B x y Solução R₂ 1 1 3 9 0 0 Domínio e imagem ou contradomínio Dada uma relação R de A em B chamase domínio de R ao conjunto D de todos os elementos de A que aparecem como primeiros elementos nos pares ordenados de R x D yy B xy R Denominamos imagem da relação R ou contradomínio ao conjunto Im de todos os elementos de B que aparecem como segundos elementos nos pares ordenados de R y Im xx A xy R Exemplo Sejam A 0 1 2 B 1 1 2 2 6 e R 0 1 0 1 2 2 2 2 Então D 0 2 e Im 1 1 2 2 Representação gráfica e diagramas de uma relação Para o último exemplo dado podemos associar a representação gráfica e o diagrama Função Função é uma relação com propriedades especiais Uma relação R do conjunto A no conjunto B é uma função se I o domínio da relação R DR A II para cada elemento x DR existe um único y B tal que xy R III a imagem da relação R ImR B Uma relação R de A e B que é uma função é mais comumente representada pela letra f e do seguinte modo f A B onde x y fx Isto significa que dados os conjuntos A e B a função tem a lei de correspondência y fx Exemplo Sejam os conjuntos A 0 1 2 e B 0 1 2 3 4 5 vamos considerar a função f A B definida por y x 1 ou seja fx x 1 x 0 y 0 1 1 x 1 y 1 1 2 x 2 y 2 1 3 O conjunto A é o domínio da função O conjunto 1 2 3 que é um subconjunto de B é denominado conjunto imagem da função que indicamos por Im No exemplo acima Im 1 2 3 Representação de funções por diagramas Um diagrama de setas representando uma relação de um conjunto A em um conjunto B é uma função se I De cada elemento de A parte exatamente uma única seta II Nenhuma seta termina em mais de um elemento de B Representação Gráfica Dados subconjuntos A e B de números reais e uma função f A B podemos representar a função graficamente como pontos do plano No eixo horizontal representamos o domínio e no eixo vertical o contradomínio Exemplo A 1 0 2 e B 1 0 1 2 3 4 e fx x 1 vem que x 1 y 0 x 0 y 1 x 2 y 3 f 1 0 0 1 23 e os três pontos assinalados formam o gráfico da função Esboço do Gráfico de uma Função Para esboçarmos o gráfico cartesiano de uma função f atribuímos valores convenientes a x no domínio da função e determinamos os correspondentes valores de y f x O gráfico então é constituído pelos pontos representativos dos pares x y Exemplo a Se a função f A B é tal que x y 2x onde A 0 1 2 3 B 1 0 2 4 6 É possível calcular todos os pontos do gráfico cartesiano de f Veja a tabela de valores abaixo Nesta situação representamos ponto a ponto a função b Seja f RR x y 2x Para esta função é impossível construir uma tabela indicando explicitamente todos os pontos do gráfico No entanto podemos com alguns pontos auxiliares deduzir a forma do gráfico f Usando os valores já calculados na tabela do exemplo a esboçamos o gráfico Exercícios Resolvidos 1 Seja a função f R R x y x2 x a Calcular f6 f12 f2 f3 2 b Determinar os elementos de Df cuja imagem pela f vale 2 Solução a Para calcularmos a imagem de 6 pela f basta substituir x por 6 em fx x2 x f6 62 6 30 Do mesmo modo f12 122 12 14 12 14 f2 22 2 2 2 f3 2 3 22 3 2 9 53 b fx 2 x2 x 2 x2 x 2 0 x b b2 4ac 2a x 1 1 8 2 1 3 2 x1 2 x2 1 são os dois valores solução 2 Seja a função f 0 R dado por fx x2 x 1 x 1 Calcule f0 f12 e f2 1 Solução a f0 02 0 1 0 1 1 b f12 122 12 1 12 1 14 12 1 12 1 1 2 4 4 1 2 2 34 32 34 23 12 c f2 1 2 12 2 1 1 2 1 1 2 22 1 2 1 1 2 5 32 2 52 32 2 2 2 52 6 2 Determinação de Domínios de Funções Numéricas Em geral quando se define uma função f através de uma fórmula ex fx x2 fx 2x x 1 etc subentendese que o domínio de definição de f Df é o maior subconjunto de R no qual a definição faz sentido ou onde a função pode operar Exemplos Defina os domínios das funções abaixo a fx x 3 x 2 Basta impor que o denominador não pode ser nulo x 2 0 x 2 Portanto Df x R x 2 R 2 b fx 2x 6 Em R o radicando de uma raiz quadrada não pode ser negativo Portanto 2x 6 0 2x 6 x 3 Portanto Df x R x 3 3 c fx ³2x 1 O radicando de uma raiz de índice ímpar pode ser negativo ou nulo ou positivo ou seja 2x 1 pode assumir todos os valores reais Portanto Df R d fx ³3 x² 2x 1 Como as raízes envolvidas são todas de índice par é exigência que os radicandos sejam não negativos Além disso o denominador deve ser não nulo Assim 3 x² 0 e 2x 1 0 Ou seja 3 x² e x 12 Veja as representações gráficas e o 3 3 12 Portanto a interseção destes conjuntos determina o domínio Ou seja Df x R 12 x 3