Regra da Cadeia Calculo de Derivadas e Aplicações

Regra da cadeia e aplicações Considere a função h definida por hx x² 1 Como calcular a derivada de h em x Se considerarmos as funções f e g definidas por fx x e gx x² 1 então f o gx fgx gx x² 1 hx ou seja f o gx hx Assim se você souber como calcular a derivada de f o gx então você também saberá derivar hx A seguir você verá um teorema que indica uma regra útil para calcular derivadas de funções compostas Teorema regra da cadeia Sejam f e g funções tais que a composição f o g está bem definida Se g é derivável em x e f é derivável em gx então f o g é derivável em x e além disso vale a fórmula f o gx fgx gx Exemplo 25 Como você pode ter visto no início desta seção se hx x² 1 então hx f o gx onde fx x e gx x² 1 Note que fx 12x e gx 2x Assim segue do Teorema 21 que hx f o gx fgxgx 12gx 2x xx² 1 Portanto h xx² 1 Outra forma de visualizar a regra da cadeia Fazendo y f o gx e u gx no Teorema 21 obtemos f o gx dydx e gx dudx 29 Além disso note que y f o gx fgx fu isto é y fu Deste modo temos que dydx fu fgx dydu 210 Do Teorema 21 e das igualdades 29 e 210 segue que dydx dydu dudx que é outra forma de visualizar a regra da cadeia para uma função do tipo y fx Esta notação foi introduzida pelo matemático alemão Gottfried Leibniz EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 Se y 1x⁴ determine dydx Solução Note que fazendo u 1x⁴ você obtém y u de onde segue que dydu 12u 121x⁴ dudx ddx 1x⁴ 04x³ 4x³ assim segue que dydx dydu dudx 121x⁴ 4x³ 2x³1x⁴ Portanto dydx 2x³1x⁴ 2 Se y 7x¹¹⁹⁰ determine dydx Solução Considerando u 7x¹¹ você terá y u⁹⁰ Assim aplicando a Regra da cadeia segue que dydx dydu dudx 90u⁸⁹ 011x¹⁰ 990x¹⁰ 7x¹¹⁸⁹ Portanto dydx 990x¹⁰ 7x¹¹⁸⁹ 3 Se y sen2x determine dydx Solução Fazendo u 2x você obterá y sen u daí dydx dydu dudx cosu 2 2 cos2x Portanto segue que dydx 2 cos2x 4 Se y ecos x determine dydx Solução Considerando u cos x você obtém y eu Como ddu eu eu e ddx cos x sen x então dydx dydu dudx eu sen x ecos x sen x Portanto dydx ecos x sen x Pontos críticos No diaadia das pessoas surgem com frequência problemas motivados pelas perguntas a seguir Como realizar esta atividade com o menor gasto de material tempo energia etc Como posso obter mais lucro maior desempenho mais espaço Para resolver esses problemas muitos profissionais modelam tais situações por meio de uma função e analisam se há pontos onde tais funções atingem valores máximos ou mínimos A seguir você verá uma definição que deixará mais preciso o conceito de máximo e mínimo de funções Definição máximo global e mínimo global Uma função f tem máximo absoluto em c se fc fx para todo x Df Neste caso o número fc é chamado valor máximo de f em Df Analogamente f tem mínimo absoluto em d se fd fx para todo x Df e o número fd é chamado valor mínimo absoluto de f Os valores máximos e mínimos absolutos de f são denominados de valores extremos de f Figura 21 Interpretação geométrica da definição de máximos e mínimos locais Exemplo 31 Seja f dada por fxx² Como x²0 para todo x R então f00 é o valor mínimo absoluto de f A função f não possui máximo absoluto Figura 22 Gráfico da função fxx² Há casos de funções f que não assumem valores máximos nem mínimos contudo quando se analisa o comportamento de fx em parte do domínio percebese que há pontos que se destacam em relação aos demais Esses casos sugerem uma definição de máximos e mínimos locais como veremos a seguir Definição máximo local e mínimo local Seja f uma função Dizemos que f atinge um máximo local em c se existe um intervalo I Df tal que fx fc x I De modo análogo dizemos que f atinge um mínimo local em d se existe um intervalo I Df tal que fx fd x I Figura 23 Representação gráfica de máximos e mínimos locais Definição máximo absoluto e mínimo local Se f é uma função contínua em um intervalo fechado a b então f assume um valor máximo absoluto M e um valor mínimo absoluto m em a b Isto é existem c d a b tais que fc M max fx x a b fd m min fx x a b Teorema Fermat Se f tiver um máximo ou mínimo local em c e se f for derivável em c então f c0 Observação i Seja fx x Note que f0 é mínimo local de f Porém f 0 não existe pois f não é derivável em 0 ii Considere a função dada por fxx³ Temse fx3x² de onde segue que f 00 Mas f0 não é valor mínimo nem máximo de f Figura 24 Interpretação geométrica do teorema de Fermat Definição ponto crítico Considere um intervalo I R e uma função f I R Dizemos que um ponto c I é um ponto crítico de f se vale uma das assertivas a seguir i fx0 ii f não é derivável em c EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 Determine os pontos críticos da função f dada por fxx²6x5 Uma função f I R que é crescente ou decrescente em I é denominada monotônica Solução Para calcular os pontos críticos de f calculamos a derivada de F e em seguida igualamos a zero Então vejamos fx ddx x²6x5 2x60 2x6 assim fx0 se e somente se 2x60 resolvendo essa última equação obtemos x 3 como solução Portanto fx 0 se e somente se x 3 logo o único ponto crítico de f é 3 Teste da derivada primeira para funções monótonas Suponha que f é contínua em a b e derivável em a b i Se fx 0 em qualquer ponto x a b então f é crescente em a b ii Se fx 0 em qualquer ponto x a b então f é decrescente em a b EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 Determine os pontos críticos de fx x³12x5 e identifique os intervalos onde f é crescente e decrescente Solução Note que fx ddx x³ 12x5 3x² 12 Assim f x0 se e somente se x 2 ou x 2 Com isto 2 e 2 são os pontos críticos de f Fazendo o estudo do sinal de f x concluímos que f x0 se x 2 2 f x0 se x 2 ou x 2 f x0 se x 2 2 Com isto 2 e 2 são os pontos críticos de f e pelo Teste da Primeira Derivada para Funções Monótona concluímos que f é crescente em 2 2 e f é decrescente no intervalo 2 2 Teste da primeira derivada para extremos locais Suponha que c seja um ponto crítico de uma função contínua f e que f seja derivável em algum intervalo contendo c exceto possivelmente em c Então i Se f é negativa à esquerda de c e positiva à direita de c em uma vizinhança de c então f atinge um mínimo local em c ii Se f é positiva à esquerda de c e negativa à direita de c em uma vizinhança de c então f atinge um máximo local em c iii Se f não muda de sinal em c então fc não é um extremo local de f EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 Determine os pontos críticos de fxx²3eˣ Identifique os intervalos onde f é crescente ou decrescente Determine os extremos locais e absolutos Solução Inicialmente calculemos a derivada de f fx ddx x²3eˣ ddx x² 3 eˣ x²3 ddx eˣ 2xeˣ x²3eˣ Ou seja fx eˣ x² 2x3 Agora igualando f x a zero obtemos fx0 eˣ x² 2x 3 0 Resolvendo a equação obtemos como solução x 3 ou x 1 Portanto os pontos críticos de fx são x 3 e x 1 Agora fazendo o estudo do sinal de fx você pode concluir que fx0 x 3 ou x 1 fx 0 x 3 1 fx 0 x 3 1 Com isto f é decrescente no intervalo 3 1 e é crescente nos intervalos 3 e 1 Além disso visto que f x é positivo à esquerda de 3 e negativa à direita de 3 segue do teste da primeira derivada para extremos locais que f possui um mínimo local em 3 Temos ainda que f x é negativa à esquerda de 1 e positiva à direita de 1 logo pelo teste da primeira derivada para extremos locais segue que f possui um máximo local em 1 A seguir apresentaremos um teste prático para classificar um ponto crítico em ponto de máximo ou mínimo local Veremos que esse teste será viável quando a função em questão admitir derivadas de 1ª e de 2ª ordem Teste da segunda derivada para extremos locais Seja f uma função derivável num intervalo a b Suponha que c a b f c0 e que existe f c então i Se f c0 então fc é um mínimo relativo em a b ii Se f c0 então fc é um máximo relativo em a b iii Se f c0 nada podemos afirmar EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 Seja f uma função definida por fx 13 x³ 2x² 3x 4 Determine os pontos críticos de f e use o teste da segunda derivada para classificálos pontos de máximo ou mínimo locais Solução Como fx 13 x³ 2x² 3x 4 então fx x² 4x 3 Assim para determinarmos os pontos críticos de f basta resolvermos a equação f x 0 Então vejamos f x 0 x² 4x 3 0 x 1 ou x 3 Portanto os pontos críticos de f são 1 e 3 Agora calculando a segunda derivada de f obtemos f x 2x 4 de onde segue que f 1 2 1 4 20 e f 3 2 3 4 20 Portanto como f1 0 segue o teste da segunda derivada que 1 é um ponto de máximo local Por outro lado visto que f30 segue que 3 é um ponto de mínimo local