Atividade de Sinais e Sistema

Sinais e Sistemas 4P 2024 UFPA ITEC FCT 2 SUMÁRIO INFORMAÇÕES 3 No que iremos nos envolver 3 Reunindo e Organizando o material 3 Lembrando os conceitos e conteúdos 3 Entendendo o problema 3 Iniciando a atividade 3 Concluindo a atividade 3 Como enviar o trabalho 4 Formatando e enviando o trabalho 4 ATIVIDADES 5 Atividade 11 Análise de Sistemas Lineares Convolução 5 Atividade 12 Análise de Sistemas Lineares Convolução 5 Atividade 13 Séries de Fourier espectros e potência 6 PRINCIPAIS REFERÊNCIAS 7 Outras Referências 7 Contato 8 Nota sobre as figuras usadas neste documento 8 3 INFORMAÇÕES No que iremos nos envolver A atividade proposta tem como objetivo o desenvolvimento de habilidades na utilização de informação técnicocientífica acerca dos assuntos ligados à SINAIS e SISTEMAS Para tanto sugerese alguns procedimentos que poderão ajudálo nesse processo Reunindo e Organizando o material Defina um momento tempo e local confortável para se dedicar integralmente ao trabalho Reúna o material referências papel caneta etc Organizeos de forma a têlos facilmente acessíveis para consulta Lembrando os conceitos e conteúdos Antes de iniciar as tarefas faça um estudo do material reunido recordando reproduzindo ideias e conteúdos Reproduza a informação tentando explicálas com suas próprias palavras Entendendo o problema Entenda o problema em sua plenitude Após essa etapa reflita e formule um procedimento para resolvêlo resgatando os conhecimentos técnicos com que teve contato e leitura Iniciando a atividade É hora de filtrar os conhecimentos e selecionar dentre aqueles que estudou os que se relacionam ao problema em questão Destaque os novamente faça uma recordação dos significados Crie uma expectativa para o resultado e inicie a atividade Concluindo a atividade Ao término da atividade avalie o resultado com base em sua expectativa Observe a coerência do resultado obtido Antes de começarmos com a atividade vamos ler atentamente algumas sugestões 4 Como enviar o trabalho Formatando e enviando o trabalho Este trabalho deverá ser entregue via email até as 23h59min do dia 16022024 Observem que o SIGAA ou mesmo os meios de acesso à Internet podem apresentar instabilidades Portanto considere este cenário em sua programação e evite enviar o trabalho no limite estabelecido Trabalhos enviados por email também estarão sujeitos à problemas spam não chegar chegarem depois do prazo estabelecido etc Uma boa análise da atividade passa pelo suposto de que haverá a compreensão clara da tarefa Para tanto indicase Organização das ideias indicando os passos que estão sendo realizados Forneça subsídios para a verificação dos resultados tais como os cálculos realizados Apresente a atividade descrita de acordo com o formalismo técnico científico Envie o arquivo no fomato PDF com o nome de acordo com a indicação MATRÍCULANOMESOBRENOMEpdf Certifiquese de o arquivo apresenta boa qualidade na definição do texto figuras etc ou seja esteja LEGÍVEL A atividade é individual 5 ATIVIDADES Atividade 11 Análise de Sistemas Lineares Convolução A resposta ao impulso de um sistema contínuo linear e invariante no tempo é expressa por ℎ𝑡 𝑒𝑡𝑢𝑡 Desejamos determinar a resposta 𝑦𝑡 quando o sistema for excitado pelo sinal𝑥𝑡 𝑢𝑡 𝑢𝑡 1 Para tanto determine a 05 ponto A forma de onda de 𝑥𝑡 desenherepresente matematicamente b 2 pontos A resposta 𝑦𝑡 c 05 ponto A forma de onda de 𝑦𝑡 desenheesboce o sinal Lembrese de atuar para facilitar o trabalho de análise da atividade não se limitando a indicar somente o resultado mas explicando todos os procedimentos realizados Atividade 12 Análise de Sistemas Lineares Convolução Um sistema Linear e invariante no tempo possui a resposta ao impulso ℎ𝑡 definida como indicado a seguir ℎ𝑡 𝑢𝑡 1 2𝑢𝑡 1 𝑢𝑡 3 Vamos assumir que a entrada desse sistema seja 𝑥𝑡 definida de acordo com a Figura 1 Figura 1 para a Atividade 12 Sendo assim realize as seguintes atividades a 05 ponto Obtenha a representação gráfica de ℎ𝑡desenhe b 15 ponto Realize graficamente a convolução entre 𝑥𝑡 𝜏 ℎ𝑡 c 15 ponto Com base nos resultados obtidos mostre também graficamente que a propriedade comutativa da convolução é verdadeira A ideia é mostrar que podemos refletir qualquer uma das 6 funções que o resultado será o mesmo Então se no item b foi escolhido 𝑥𝑡 para refletir neste item o sinal escolhido será ℎ𝑡 Nota resolva este item apresentando todos os passoscálculos d 05 ponto Esboce a forma de onda 𝑦𝑡 𝑥𝑡 ℎ𝑡 desenhe Atividade 13 Séries de Fourier espectros e potência Um sinal 𝑔𝑡 periódico com período de 𝑇0 2𝜋 3 𝑠 é representado pelos termos da Série Trigonométrica de Fourier na forma compacta da seguinte forma 𝑔𝑡 4 6 cos 3𝑡 𝜋 6 2 cos 6𝑡 𝜋 4 6 cos 9𝑡 𝜋 2 Com base nessas informações determine a 1 ponto Os espectros unilateral e bilateral de amplitude e fase de 𝑔𝑡 b 1 ponto Determine a potência total de 𝑔𝑡 através da Série Trigonométrica de Fourier e da Série Exponencial de Fourier c 1 ponto Qual a frequência com a menor potência e qual o valor dessa potência 7 PRINCIPAIS REFERÊNCIAS Lathi B P Sinais e Sistemas Lineares Tradução Gustavo Guimaraes Parma Ed 2ª Edição 2007 856 pp ISBN 8560031138 Haykin S S Veen B V Sinais e Sistemas Bookman Companhia Ed 1ª Edição 2000 668 pp ISBN 8573077417 ISBN13 9788573077414 Ziemer RE Tranter WH Fanin DR Signals and Systems Continuos and Discrete 4th Edition 1998 622 pp Prentice Hall Outras Referências Castro ALS Sinais e Sistemas Slides do curso Disponível na área do curso no SIGAA 2024 8 Boa Atividade Contato Agostinho L S Castro Email agcastroufpabr Assunto FCT Sinais e Sistemas Nota sobre as figuras usadas neste documento A exceção das figuras dos problemas as fotos usadas são de Autores Desconhecidos e estão licenciadas em CC BYSANC Todas as questões foram adaptadas da literatura QUESTAO 1 Temos A resposta ao impulso do sistema ht et ut O sinal de entrada excitação xt ut ut 1 Desejase encontrar a saída yt dada por yt xt ht xτ ht τ dτ a Forma de onda de xt O sinal xt ut ut 1 é basicamente um pulso de amplitude 1 que se inicia em t 0 e termina em t 1 Portanto Para t 0 xt 0 Para 0 t 1 xt 1 Para t 1 xt 0 Graficamente é um retângulo de altura 1 entre t 0 e t 1 Figura 1 Forma de onda de xt b Cálculo da resposta yt A convolução yt xt ht pode ser escrita explicitamente como yt uτ uτ 1 etτ ut τ dτ Observase que xτ é não nulo apenas para τ 0 1 Assim os limites do integral se restringem a esse intervalo Além disso o termo ut τ só contribui quando t τ 0 isto é τ t Assim analisamos t em faixas 1 Para t 0 Nesse intervalo τ t 0 não se sobrepõe ao suporte de τ 0 1 Portanto yt 0 para t 0 2 Para 0 t 1 Aqui τ varia de 0 até t pois t 1 e o termo ut τ restringe o integral a τ t Assim yt t0 etτ dτ et t0 eτ dτ Calculando o integral t0 eτ dτ eτt0 et 1 obtemos yt et et 1 1 et Portanto yt 1 et 0 t 1 3 Para t 1 Neste caso o pulso completo τ 0 1 está contido no intervalo de integração τ t Assim yt 10 etτ dτ et 10 eτ dτ Calculando o integral 10 eτ dτ eτ10 e 1 então yt et e 1 e 1 et Resumindo em forma piecewise yt 0 t 0 1 et 0 t 1 e 1 et t 1 c Forma de onda de yt Para t 0 yt 0 De t 0 até t 1 yt 1 et Em t 0 temos 1 e0 0 À medida que t aumenta até 1 a função cresce de 0 até 1 e1 Para t 1 a expressão é yt e 1 et que é contínua em t 1 pois 1 e1 e 1e1 e decai exponencialmente para 0 quando t Esboço É uma curva que inicia em 0 para t 0 sobe de forma exponencial mas limitada entre t 0 e t 1 atinge o valor e1e em t 1 e para t 1 decai exponencialmente para 0 Figura 2 Forma de onda de yt Resumo Final 1 xt Pulso retangular de amplitude 1 em 0 t 1 2 yt yt 0 t 0 1 et 0 t 1 e 1et t 1 3 Forma de onda de yt Inicia em zero para t 0 cresce de 0 a 1 e1 no intervalo 0 1 e depois decai exponencialmente para 0 quando t 1 QUESTAO 2 A seguir um passo a passo detalhado do cálculo analítico de yt x ht xτht τdτ para o caso em que xt 2ut ut 2 e ht ut 1 2ut 1 ut 3 1 Identificando os Suportes dos Sinais xτ é não nulo apenas para 0 τ 2 Assim o integral de convolução restringese a τ 0 2 Cada termo de ht τ é um degrau ut τ 1 ut 1 τ ativase quando t 1 τ 0 isto é para τ t 1 ut τ 1 ut 1 τ ativase quando t 1 τ 0 isto é para τ t 1 ut τ 3 ut 3 τ ativase quando t 3 τ 0 isto é para τ t 3 Assim a convolução pode ser escrita como yt 02 2ut 1 τ 2ut 1 τ ut 3 τ dτ Fatorando o 2 de xτ yt 2 02 ut 1 τ 2ut 1 τ ut 3 τ dτ 2 Dividindo por Faixas de t Analisaremos o comportamento dos degraus em cada faixa de t a Para t 1 Para qualquer τ 0 2 t 1 τ 0 pois t 1 0 logo ut 1 τ 0 Analogamente t 1 τ 0 e t 3 τ 0 assim os demais termos são 0 yt 0 t 1 b Para 1 t 1 ut 1 τ é ativado quando τ t 1 Note que t 1 está em 0 2 Assim este degrau vale 1 para τ 0 t 1 ut 1 τ requer τ t 1 Mas se t 1 então t 1 0 e para τ 0 este termo é 0 ut 3 τ também é 0 pois t 3 2 Portanto yt 2 0t1 1 dτ 2t 1 1 t 1 c Para 1 t 3 t 1 2 para τ 0 2 sempre temos τ t 1 e portanto ut 1 τ 1 ut 1 τ é ativado para τ t 1 Como t 1 está em 0 2 para τ 0 t 1 esse termo vale 1 e para τ t 1 vale 0 ut 3 τ permanece 0 pois t 3 0 para t 3 Logo o integrando é Para τ 0 t 1 1 2 1 1 Para τ t 1 2 1 2 0 1 Assim 02 dτ 0t1 1 dτ t12 1 dτ t 1 2 t 1 4 2t Multiplicando por 2 yt 24 2t 8 4t 1 t 3 d Para 3 t 5 t 1 4 para τ 0 2 ut 1 τ 1 t 1 2 para τ 0 2 ut 1 τ 1 t 3 0 e se t 5 então t 3 2 assim ut 3 τ 1 para τ t 3 e 0 para τ t 3 O integrando tornase 1 2 1 ut 3 τ 1 ut 3 τ Dividindo o intervalo Para τ 0 t 3 ut 3 τ 1 integrando 1 1 0 Para τ t 3 2 ut 3 τ 0 integrando 1 Então 02 dτ 0t3 0 dτ t32 1 dτ 2 t 3 t 5 Multiplicando por 2 yt 2t 5 2t 10 3 t 5 e Para t 5 t1 6 t1 4 e t3 2 Assim para τ 0 2 todos os degraus estao completamente ativados O integrando e 1 2 1 0 Portanto yt 0 t 5 3 Resumo da Convolucao yt Juntando os resultados obtidos yt 0 t 1 2t 2 1 t 1 8 4t 1 t 3 2t 10 3 t 5 0 t 5 Graficamente essa funcao forma uma figura composta por trechos lineares que Sobe de 0 em t 1 ate 4 em t 1 Desce para 4 em t 3 Sobe novamente para 0 em t 5 Observase que o sinal e zero fora do intervalo 1 5 Verificacoes de Continuidade y1 0 y1 4 y3 4 y5 0 confirmando que os trechos se conectam adequadamente 4 Conclusao A convolucao yt xt ht resulta em um sinal por partes com trechos lineares conforme mostrado 7 Essa expressão por partes é o que se plota quando se realiza graficamente a convolução Figura 3 Gráfico ilustrativo de CONV QUESTAO 3 para as três partes da questão Dados do Problema Sinal periódico com período T0 2π3 s ω0 2πT0 3 rads O sinal é dado na forma trigonométrica gt 4 6 cos3t π6 2 cos6t π4 6 cos9t π2 Portanto ha Termo DC constante 4 1ª harmˆonica ω 3 rads amplitude 6 fase π6 2ª harmˆonica ω 6 rads amplitude 2 fase π4 3ª harmˆonica ω 9 rads amplitude 6 fase π2 a Espectros de Amplitude e Fase Espectro Unilateral somente frequˆencias positivas 1 Indice n 0 DC Amplitude 4 Fase 0 fase de um termo constante e irrelevante costumase tomar 0 2 Indice n 1 ω1 3 Amplitude 6 Fase π 6 3 Indice n 2 ω2 6 Amplitude 2 Fase π 4 4 Indice n 3 ω3 9 Amplitude 6 Fase π 2 Grafico de amplitude unilateral barras em n 0 1 2 3 com alturas 4 6 2 e 6 Grafico de fase unilateral em n 1 π6 em n 2 π4 em n 3 π2 No n 0 DC usualmente nao se atribui fase ou se coloca 0 Figura 4 Espectro de amplitude e fase unilateral 9 Espectro Bilateral índices positivos e negativos Para um sinal real os coeficientes em n têm a mesma amplitude do n e a fase com sinal invertido Assim n 0 DC amplitude 4 n 1 amplitude 6 fase π6 para n 1 e π6 para n 1 n 2 amplitude 2 fase π4 para n 2 e π4 para n 2 n 3 amplitude 6 fase π2 para n 3 e π2 para n 3 b Potência Total via Séries de Fourier Método 1 Soma das potências de cada termo Para um sinal periódico Potência média amplitude DC2 termo constante harmônicas amplitude da cossenoide22 Termo DC 42 16 1ª harmônica amplitude 6 622 18 2ª harmônica amplitude 2 222 2 3ª harmônica amplitude 6 622 18 Somando tudo Ptotal 16 18 2 18 54 Método 2 Coeficientes na Forma Exponencial Na série complexa exponencial cada cosseno de amplitude A e frequência nω0 corresponde a dois coeficientes complexos n cada um com magnitude A2 A potência total é dada por P C02 2 n0 Cn2 onde C0 é o coeficiente DC igual a 4 e Cn A2 Esse método leva ao mesmo resultado 54 c Frequˆencia de Menor Potˆencia e Valor Isolando a potˆencia de cada harmˆonica excluindo o DC 1ª harmˆonica 3 rads potˆencia 62 2 18 2ª harmˆonica 6 rads potˆencia 22 2 2 3ª harmˆonica 9 rads potˆencia 62 2 18 A menor potˆencia ocorre na 2ª harmˆonica ou seja em ω 6 rads com potˆencia igual a 2 Caso se queira expressar a frequˆencia em hertz cıclica note que f0 ω0 2π 3 2π 04775 Hz 2ª harmˆonica 2f0 0955 Hz Portanto a 2ª harmˆonica com potˆencia 2 e a frequˆencia de menor potˆencia Respostas em Resumo 1 Espectros Unilateral DC amplitude 4 n 1 amplitude 6 fase π 6 n 2 amplitude 2 fase π 4 n 3 amplitude 6 fase π 2 Bilateral Mesmas amplitudes para n e n fases opostas para ındices negativos 2 Potˆencia Total Ptotal 54 3 Frequˆencia de Menor Potˆencia Harmˆonica de ordem 2 ω 6 rads ou f 0955 Hz Potˆencia 2 11 Figura 5 Grafico ilustrativo dos espectros e potˆencia 12