Equações e Conceitos de Planos e Arestas em Geometria Analítica

31082023 1 Prof Pedro Campos Instituto Ciberespacial 1 2 Seja Ax0y0z0 um ponto pertencente ao plano P e 𝜂 a b c um vetor não nulo normal ao plano Definese o plano P como sendo o conjunto de todos os pontos Px y z tais que A P 𝜂 𝐴𝑃 𝜂 0 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐𝑧 𝑑 0 Equação geral do plano Prof Pedro Campos 3 31082023 2 Considere Ax0y0z0 um ponto pertencente ao plano P e 𝑢 a1 b1 c1 e 𝑣 a2 b2 c2 dois vetores não colineares Um ponto Px y z irá pertencer ao plano P se e somente sem existirem números reais h e t tal que Equações Paramétricas do Plano APhutv P Ahutv Π 5 𝑥 𝑥 ℎ𝑎 𝑡𝑎 𝑦 𝑦 ℎ𝑏 𝑡𝑏 𝑧 𝑧 ℎ𝑐 𝑡𝑐 h t ℝ Prof Pedro Campos 4 Exemplo 01 Determine a equação paramétrica do plano Π gerado pelos vetores 𝑢 2 3 1 e 𝑣 3 5 2 e passa pelo ponto A1 1 2 Prof Pedro Campos 5 Exemplo 02 Determine a equação paramétrica do plano Π que passa pelos pontos A1 1 2 B1 2 1 e C3 2 1 Prof Pedro Campos 6 31082023 3 P1 a1x b1y c1z d1 0 e P2 a2x b2y c2z d2 0 1 2 1 2 cos 0 2 h h p q q h h Ângulo de dois planos Chamase de ângulo de dois planos P1 e P2 o menor ângulo que um vetor normal de P1 𝜂 forma com um vetor normal P2 𝜂 Sendo q este ângulo temse Sejam os planos Prof Pedro Campos 7 Exemplo 03 Determine o ângulo q formado pelos pelos planos Π 2x y 5z 2 0 e Π que passa pelos pontos A1 1 0 B1 0 1 e C0 2 1 Prof Pedro Campos 8 Ângulo de uma reta com um plano Considere uma reta r com a direção do vetor 𝑣 e um plano Π com um vetor normal 𝜂 O ângulo 𝜙 da reta r com o plano Π é o complemento do ângulo 𝜃 que a reta r forma com uma reta normal ao plano Segue que 𝜙 𝜃 logo cos 𝜃 sen 𝜙 Portanto sen 𝜙 𝜂 𝑣 𝜂 𝑣 0 𝜙 𝜋 2 Π 𝜙 𝜃 𝜂 r 𝑣 Prof Pedro Campos 9 31082023 4 Exemplo 04 Determine o ângulo 𝜙 formado pelo plano Π 3x 2y z 1 0 e a reta 𝑟 E 𝑥 2 𝑡 𝑦 1 3𝑡 𝑧 1 𝑡 𝑡 ℝ Prof Pedro Campos 10 Reta paralela ao plano Uma reta r com vetor diretor 𝑣 é paralela ao plano Π com vetor normal 𝜂 se 𝜂 𝑣 0 Π 𝜂 r 𝑣 e Um ponto da reta NÃO pertencer ao plano Prof Pedro Campos 11 Exemplo 05 Considere o plano Π x 2y z 1 0 e a reta 𝑟 E 𝑥 2 𝑡 𝑦 1 𝑡 𝑧 1 𝑡 𝑡 ℝ Verifique se a reta é paralela ao plano Prof Pedro Campos 12 31082023 5 Reta está contida no plano Uma reta r com vetor diretor 𝑣 esteja contida no plano Π com vetor normal 𝜂 se 𝜂 𝑣 0 Π 𝜂 r 𝑣 e Um ponto da reta pertencer ao plano Prof Pedro Campos 13 Condição para que uma reta esteja contida em um plano 𝑖 𝜂 𝑣 0 𝑖𝑖 A r e A Π r ΠA Observação Se dois pontos de r também pertencem a Π então r está contida em Π Prof Pedro Campos 14 Exemplo 05 Considere o plano Π x y z 1 0 e a reta 𝑟 E 𝑥 2 𝑡 𝑦 1 𝑡 𝑧 2 𝑡 𝑡 ℝ Verifique se a reta é esteja contida no plano Prof Pedro Campos 15 31082023 6 Reta perpendicular ao plano Uma reta r com vetor diretor 𝑣 é perpendicular ao plano Π com vetor normal 𝜂 se 𝜂 𝑘 𝑣 Π 𝜂 r 𝑣 Prof Pedro Campos 16 Exemplo 05 Considere o plano Π x 2y z 7 0 e a reta 𝑟 E 𝑥 2 1𝑡 𝑦 1 2𝑡 𝑧 4 1𝑡 𝑡 ℝ Verifique se a reta é perpendicular ao plano Prof Pedro Campos 17