Estudo de Vetores no Espaço ℝ3 e Ângulos Diretores

10082023 1 Prof Pedro Campos Instituto Ciberespacial 1 Prof Pedro Campos 2 Todo estudo de vetores realizados no plano também poderá ser feita no espaço ℝ3 feitas as adequações necessárias Por exemplo a base canônica terá mais um vetor 𝑘 e mais um componente em cada vetor 𝚤 1 0 0 𝚥 0 1 0 𝑘 0 0 1 Prof Pedro Campos 3 10082023 2 Exemplos 1 Dados os pontos A2 3 1 e B4 5 2 determinar o ponto P tal que 𝐴𝑃 𝑃𝐵 2 Dados os pontos A1 2 3 e B4 2 0 determinar o ponto P tal que 𝐴𝑃 3𝐴𝐵 3 Determinar o vetor 𝑣 sabendo que 3 7 1 𝑣 6 10 4 𝑣 Prof Pedro Campos 4 Prof Pedro Campos 5 Prof Pedro Campos 6 10082023 3 Ângulos Diretores Seja o vetor 𝑣 x y z chamase de ângulos diretores de 𝑣 os ângulos a b e g que 𝑣 forma com os vetores 𝚤 𝚥 e 𝑘 respectivamente Prof Pedro Campos 7 Cossenos Diretores cos 𝛼 𝑣 𝚤 𝑣 𝚤 𝑥 1 𝑦 0 𝑧 0 𝑣 1 𝑥 𝑣 cos 𝛽 𝑣 𝑗 𝑣 𝚥 𝑥 0 𝑦 1 𝑧 0 𝑣 1 𝑦 𝑣 cos 𝛾 𝑣 𝑘 𝑣 𝑘 𝑥 0 𝑦 0 𝑧 1 𝑣 1 𝑧 𝑣 Prof Pedro Campos 8 Exemplos 1 Dados os pontos A2 3 1 e B4 5 2 determinar os cossenos diretores do vetor 𝐴𝐵 Prof Pedro Campos 9 10082023 4 2 Determinar os cossenos diretores do vetor sabendo que 𝑣 2 4 1 Prof Pedro Campos 10 Propriedades i O versor de um vetor é determinado pelos cossenos diretores 𝑢 𝑣 𝑣 𝑥 𝑣 𝑦 𝑣 𝑧 𝑣 cos 𝛼 cos 𝛽 cos 𝛾 ii Dados os ângulos diretores a b e g é valida a relação cos2 𝛼 cos2 𝛽 cos2 𝛾 1 Prof Pedro Campos 11 Projeção de um vetor Sejam os vetores 𝑢 e 𝑣 com 𝑢 0 e 𝑣 0 e q o ângulo formado por eles Pretendese determinar o vetor 𝑤 que representa a projeção de 𝑢 sobre 𝑣 𝑢 𝑤 𝑣 Prof Pedro Campos 12 10082023 5 Projeção de um vetor Segue do triângulo que 𝑢 𝑤 𝑣 𝑤 𝑢 cos 𝜃 𝑢 Prof Pedro Campos 13 Projeção de um vetor Como 𝑤 e 𝑣 têm a mesma direção temos que Logo 𝑤 𝑘 𝑣 De onde temse que 𝑢 𝑤 𝑣 𝑤 𝑘 𝑣 Prof Pedro Campos 14 Projeção de um vetor Logo Portanto w k v 𝑘 𝑤 1 𝑣 𝑘 𝑢 𝑣 𝑣 1 𝑣 Prof Pedro Campos k u v v 2 𝑤 DE E 𝑣 15 10082023 6 Exemplos 1 Determinar o vetor projeção de 𝑢 1 2 3 na direção de 𝑣 1 3 2 Prof Pedro Campos 16 2 Qual o comprimento do vetor projeção de 𝑢 3 5 2 sobre o eixo dos x Prof Pedro Campos 17 Produto Vetorial Dado os vetores ux1iy1jz1k e vx2iy2jz2k nesta ordem chamase de produto vetorial destes vetores e é representado por u v ao vetor ou de forma equivalente uv i j k x1 y1 z1 x2 y2 z2 u v y1z2z1y2 i x1z2z1x2 j x1y2y1x2 k Prof Pedro Campos 18 10082023 7 Exemplos 1 Dados os vetores u 4 1 3 e v 1 1 2 determinar uv Prof Pedro Campos 19 Exemplos 2 Determinar o versor do vetor uv do exemplo anterior Prof Pedro Campos 20 Propriedades do Produto Vetorial 1 u𝑢 0 2 u 𝑣 v 𝑢 3 u 𝑣 𝑤 u 𝑣 u𝑤 4 mu 𝑣 𝑚u 𝑣 5 u 𝑣 0 u e 𝑣 são nulos ou são colineares 6 u 𝑣 é ortogonal aos vetores u e 𝑣 Prof Pedro Campos 21 10082023 8 Propriedades do Produto Vetorial 7 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 8 Se 𝑢 0 𝑣 0 e se 𝜃 é o ângulo entre estes vetores então 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 sen 𝜃 9 O produto vetorial não é associativo 𝑢 𝑣𝑤 𝑢 𝑣𝑤 Prof Pedro Campos 22 Interpretação Geométrica do Produto Vetorial O módulo do produto vetorial 𝑢 𝑣 determina a área do paralelogramo ABCD determinado pelos vetores 𝑢 𝐴𝐵 e 𝑣 𝐴𝐶 A B C D h q ÁreaABCD 𝑢 𝑣 Prof Pedro Campos 23 Interpretação Geométrica do Produto Vetorial Então a área do paralelogramo será Mas temse que uv v u sen θ Logo ÁreaABCD v h v u sen θ ÁreaABCD uv Prof Pedro Campos 24 10082023 9 Exemplo Determine a área do paralelogramo formado pelos vetores u 1 2 3 e v 1 2 3 Prof Pedro Campos 25 Produto Misto O produto misto é denotado por uvw Dado os vetores ux1iy1jz1k e vx2iy2jz2k e wx3iy3jz3k nesta ordem é definido o produto misto o número real definido pela operação u vw determinado por u v w 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 Prof Pedro Campos 26 Exemplo Dados os vetores u 1 2 3 v 1 23 e w 3 0 3 Determine u v w Prof Pedro Campos 27 10082023 10 Exemplo Dados os vetores u 0 3 1 v 1 0 1 e w 2 4 0 Determine u w v Prof Pedro Campos 28 Propriedades do Produto Misto 1 uvw 0 se um dos vetores é nulo se dois deles são colineares ou se os três são coplanares 2 O produto misto independe da ordem circular dos vetores isto é uvw vw u w uv 3 u v wr u v w u v r 4 αuvw uαvw uvαw α uvw Prof Pedro Campos 29 Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto 𝑢 𝑣 𝑤 é o volume do paralelepípedo formado pelos vetores Prof Pedro Campos 30 10082023 11 Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto Consequência Dados quatro pontos A B C e D no espaço não coplanares o volume do tetraedro formado por estes pontos será dado por 1 6 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 Prof Pedro Campos 31 Duplo Produto Vetorial que pode ser determinado também por u vw uw v uv w u vw v w uv uw Dado os vetores u v e w definese como duplo produto vetorial ao vetor obtido pela operação a seguir Prof Pedro Campos 32 Exemplo 1 Dados os vetores u 4 1 3 v 1 1 2 e w 1 3 0 determinar uvw Prof Pedro Campos 33