Calculo III - Movimento Forcado e Oscilador Harmonico - Resumo Detalhado

Calculo III CM043 Movimento Forcado 7 de novembro de 2024 Calculo III CM043 Outline 1 Oscilador harmˆonico Calculo III CM043 Movimento livre nao amortecido mx cx kx Ft Movimento nao amortecido se c 0 amortecido se c 0 livre se Ft 0 forcado se Ft 0 Se temos apenas uma massa numa mola sem amortecimento nem forca externa a equacao toma a forma mais simples mx kx 0 Calculo III CM043 Fazendo ω₀ km mx kx 0 x ω₀²x 0 sua solução geral é xt A cos ω₀t B sin ω₀t Considerando C A² B² cos α AC e sin α AC xt C cosω₀t α C Aplitude T 2πω₀ Período f Frequência α Ângulo de fase α arctan B A se A B 0 π arctan B A se A 0 2π arctan B A se A 0 e B 0 π 2 se A 0 e B 0 3π 2 se A 0 e B 0 Exemplo Para yt 3 sin2t 5 cos2t C 34 e α arctan3 5 054rad Daı yt 34 cos2t 054 t2t 054 0 t 037 yt 34 Calculo III CM043 α arctan B A se A B 0 π arctan B A se A 0 2π arctan B A se A 0 e B 0 π 2 se A 0 e B 0 3π 2 se A 0 e B 0 Exemplo Um corpo que pesa 16 lb e ligado a extremidade de um barbante que e esticado de 2ft por uma forca de 100lbE posto em movimento com posicao inicial x0 05ft e velocidade inicial v0 10fts Encontre a funcao posicao do corpobem como a amplitude frequˆencia perıodo de oscilacao e ˆangulo de fase do seu movimento Tomamos g 32fts2 A massa do corpo e entao m W g 05librasmassa Calculo III CM043 Solucao A constante da mola e k 1002 50lbft Daı temos que 05x 50x 0 x 100x 0 Portanto a frequˆencia circular sera ω0 10 rads Assim o corpo oscilara com frequˆencia 10 2π 159Hz perıodo 2π 10 063s Agora impomos as condicoes iniciais x0 05 e x0 10 na solucao geral x A cos 10t B sin 10t e seguese que A 05 e B 1 Assim a funcao posicao do corpo e xt 1 2 cos 10t sin 10t Calculo III CM043 De xt 12 cos 10t sin 10t e C 12² 1² 52 a amplitude do movimento é C 52 ft Como A 05 0 e B 1 0 o ângulo de fase é α 2π arctan105 2π arctan2 51760 rad Portanto a função posição pode ser estimada por xt 52 cos10t 51760 Com Amortecimento Consideraremos agora uma força externa ft agindo em um sistema vibratório massamola Por exemplo ft poderia ser uma força causando um movimento oscilatório vertical no suporte da mola A inclusão de ft na formulação da segunda lei de Newton nos dá a equação diferencial movimento forçado mx kx cx ft x cmx kmx ftm 1 x 2λx ω₀²x Ft 2 onde 2λ cm ω₀² km e Ft ftm Exemplo x 6x 10x 25 cos 4t x0 12 x0 0 xt e³ᵗ3851cost 8651 sin t 25102 cos 4t 5051 sin 4t xt e3t 3851 cost 8651 sin t 25102 cos 4t 5051 sin 4t Diferentes pvis y 2y 2y sin t yt C1 expt cost C2 expt sint 2 5 cost 1 5sint Calculo III CM043 Sem Amortecimento Com uma forca externa agindo e sem nenhum amortecimento nao ha termo transitorio na solucao x ω2 0x F0 sin ωt x0 0 x0 0 F0 constante A solucao da edo homogˆenea associada xh e dada por xht c1 cos ω0t c2 sin ω0t Para obter uma solucao particular yp podemos supor xpt A cos ωt B sin ωt Daı xpt F0 ω2 0 ω2 sin ωt Calculo III CM043 Substituindo as condições iniciais dadas na solução geral xt c1 cos ω0 t c2 sin ω0 t F0 ω02 ω2 sin ω t obetemos c1 0 e c2 γ F0 ωω02 ω2 Logo a solução é xt F0 ωω02 ω2 ω sin ω0 t ω0 sin ω t ω ω0 Ressonância Pura Para ω ω0 a partir da regra de LHospital definimos xt lim ωω0 F0 ω sin ω0 t ω0 sin ω ω0ω02 ω2 F0 lim ωω0 ddω ω sin ω0 t ω0 sin ω t ddω ω0ω02 ω2 F0 2ω02 sin ω0 t F0 2ω0 t cos ω0 t Ressonˆancia Pura xt F0 2ω2 sin ωt F0 2ωt cos ωt Como esperado os deslocamento se tornam grandes quando t na verdade xtn quando tn nπω n 1 2 O fenˆomeno que acabamos de descrever e conhecido como ressonˆancia pura A solucao acima tambem pode ser determinada de maneira direta resolvendo o pvi x ω2 0x F0 sin ω0t x0 0 x0 0 Calculo III CM043 Para x 2x cos2t xh C1 cos2t C2 sin2t é solução da edo homogênea associada Uma solução particular xp é determinada a partir da edo complexa zp 2zp expi2t assumindo zp At expi2t o qual resulta zpt i 22 expi2t i 22 t cos2t i sin2t Como xpt Rezpt temos xpt 1 22 t sin2t Assim a solução geral é dada por xt C1 cos2t C2 sin2t 1 22 t sin2t A solucao do problema x 2x cos 2t x0 x0 0 e xt 1 2 2 t sin 2t Calculo III CM043