Calculo III - Equacoes Diferenciais Lineares de Segunda Ordem

Calculo III Equacoes Lineares de Segunda Ordem Parte I 29 de outubro de 2024 Calculo III Equacoes Diferenciais Lineares de Segunda Ordem Definicao Uma equacao diferencial ordinaria EDO linear homogˆenea de segunda ordem tem a forma y pxy qx 0 onde px qx e f x sao funcoes definidas no intervalo intervalo I R Exemplos Seguem exemplos 1 y y 0 I R 2 y y 0 I R 3 y y 1 x y 0 I x 0 Calculo III Definicao Uma solucao da EDO y pxy qx 0 e qualquer funcao duas vezes derivavel que satisfaz a equacao Exemplos 1 y1 cos x e y2 sin x sao solucoes da equacao y y 0 2 y1 cosh x e y2 sinh x sao solucoes da equacao y y 0 3 y x e uma solucao da equacao y y 1 x y 0 Calculo III Teorema Se y1x e y2x sao duas solucoes da EDO y pxy qx 0 entao yx c1y1x c1y2x tambem e uma solucao da EDO para quaisquer constantes c1 e c2 Exemplo y1x ex e y2x ex sao solucoes da EDO y y 0 Tambem sao solucoes 1 y 1 2ex ex coshx 2 y 1 2ex ex sinhx Calculo III 1 y1x cosx e y2x sinx sao solucoes da EDO y y 0 Entao y 5 7 cosx 4 sinx tambem e uma solucao 2 z1t et cos2t e z2t et sin2t sao solucoes da EDO z 2z 3z 0 Logo z et cos2t et sin2t tambem e uma solucao Calculo III EDOs de Lineares de Segunda Ordem Definicao Uma equacao diferencial linear homogˆenea de ordem dois tem a forma y pxy qxy 0 onde p e q sao duas funcoes contınuas em cada ponto de um intervalo I R Teorema Existˆencia e Unicidade Se px e qx sao contınuas no intervalo I para cada x0 I e quaisquer constantes α e β o problema de valor inicial PVI y pxy qxy 0 yx0 α yx0 β admite uma unica solucao Calculo III Wronskiano Definição O Wronskiano das funções y₁x y₂x denotado com Wy₁x y₂x é dado por Wx det y₁x y₂x y₁x y₂x Onde Wx Wy₁x y₂x Exemplo Weˣ eˣ eˣ eˣ eˣ eˣ eˣ eˣ eˣ eˣ 2 Solucao Geral Teorema Sejam y1x y2x solucoes da equacao diferencial homogˆenea y pxy qxy 0 x I Se W y1x y2x 0 em cada x I qualquer solucao da equacao yx e dada por yx c1y1x c1y2x Solucao Geral Exemplo y y 0 Solucao geral yx c1 cos x c2 sin x Calculo III Teorema Abel Se y₁x y₂x são soluções da EDO y pxy qxy 0 onde px e qx são contínuas sobre o intervalo aberto I então Wy₁x y₂x Ce px dx Fórmula de Abel Generalizada Sejam y₁ yₙ soluções da equação yⁿ pₙ₁xyⁿ¹ p₀xy 0 x I onde pₙ₁ é uma função contínua real ou complexa Então Wy₁ yₙx Wy₁ yₙx₀ exp ₓ₀ˣ pₙ₁t dt para cada x₀ em I onde W det y₁ y₂ yₙ y₁ y₂ yₙ y₁ y₂ yₙ y₁³ y₂³ yₙ³ y₁ⁿ¹ y₂ⁿ¹ yₙⁿ¹ EDO Homogˆenea de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes Eq caracterıstica A funcao erx e uma solucao da equacao y ay by 0 Lerx 0 r e uma raiz da equacao Eq caracterıstica r2 ar b 0 Notacao Seja a2 4b Exemplos 1 y 5y 6y 0 r2 5r 6 0 2 x 2x 3x 0 r2 2r 3 0 3 y 6y 9y 0 r2 6r 9 0 4 z 2z 3z 0 r2 2r 3 0 Calculo III Raıes Simples 0 r1 r2 W er1x er2x r2 r1er1r2x 0 Exemplo Seja a equacao y 5y 6y 0 1 Equacao caracterıstica r2 5r 6 0 2 Raızes da equacao caracterıstica r1 2 e r2 3 3 Solucao geral yx c1e2x c2e3x Calculo III Exercıcios Determine a solucao geral das equacoes 1 y y 0 2 z 2z 3z 0 Calculo III 0 Raızes repetidas erx e a solucao associada a raiz da equacao caracterıstica Assuma y uxerx Como r2 ar b 0 e r a2 u 2r au r2 ar bu 0 u 0 Basta escolher ux x Teorema 0 r r1 r2 i W erx xerx 0 ii Solucao geral y c1erx c2xerx Exemplo Para y 6y 9y 0 r 3 e a unica raiz do polinˆomio caracterıstico Assim y c1e3x xe3x e sua sol geral Calculo III Exercıcios Encontre a solucao geral das equacoes 1 x 2x x 0 2 z 4z 4z 0 Calculo III Raızes imaginarias 0 r1 α iβ r2 α iβ Solucoes associadas as raızes r1 e r2 y1 eαx cosβx y2 eαx sinβx Wronskiano W y1 y2 0 Solucao geral y c1eαx cosβx c2eαx sinβx Exemplo y y 0 Raızes r1 i e r2 i Solucao geral y c1 cos x c2 sin x Calculo III Exercícios Ache a solução geral das equações 1 y 2y 3y 0 2 Q Q 5Q 0 3 y y 0 r₁ 1 r₂ 12 i32 r₃ 12 i32 Assim y C₁eˣ eˣ² C₂ cos32 x c₃ sin32 x 4 y y y y 0 Raízes r₁ r₂ 1 r₃ 1 y C₁eˣ C₂xeˣ C₃e¹ 5 y⁴ 8y² 16y 0 r² 4² 0 r₁ r₂ 2i r₃ r₄ 2i y C₁ cos 2x C₂x cos 2x C₃ sin 2x C₄x sin 2x Raızes Multiplas E facil verificar que D aIy eaxDeaxy Em geral mediante um processo de inducao D aIny eaxDneaxy I Raızes distintas Ly PDy D r1D r2D rny 0 Neste caso como a solucao da cada equacao D riy 0 e yix erix e como os operadores D ri comutam a solucao geral pode ser escrita na forma yx c1er1x c2er2x cnernx II O polinˆomio caracterıstico tem raiz a de multiplicidade n Nesse caso Ly PDy D aIny 0 Calculo III II Caso Ly PDy D aIny 0 Como D aIny eaxDneaxy D aIny 0 eaxDneaxy 0 Dneaxy 0 eaxy c0 c1x c2x2 cn1xn1 yx eaxc0 c1x c2x2 cn1xn1 Calculo III Aplicação Exercícios Ache a solução geral das equações 1 y y 0 r₁ 1 r₂ 12 i32 r₃ 12 i32 Assim y C₁eˣ eˣ² C₂ cos32 x c₃ sin32 x 2 y y y y 0 Raízes r₁ r₂ 1 r₃ 1 y C₁eˣ C₂xeˣ C₃e¹ 3 y⁴ 8y² 16y 0 r² 4² 0 r₁ r₂ 2i r₃ r₄ 2i y C₁ cos 2x C₂x cos 2x C₃ sin 2x C₄x sin 2x Método para Encontrar uma Segunda Solução Suponha que y₁x seja uma solução da equação Ly y pxy qxy 0 Iremos procurar uma segunda solução para Ly 0 que seja da forma y₂x uxy₁x para alguma função u a ser determinada Substituindo na equação acima e considerando que y₁ satisfaz esta equação resulta y₁u 2y₁ y₁pu 0 Resolvendo esta última equação chegase à seguinte fórmula ux eᴾx y₁x² dx onde Px é uma antiderivada da função px Procedimento para achar a solução geral de Ly y pxy qxy 0 x I a Primeiro Passo Destaque uma solução y₁x da equação Exemplos 1 y₁x e²ˣ é uma solução de y 4y 4y 0 2 y₁x x é uma solução de y y 1xy 0 b Segundo Passo Identifique na equação Ly 0 o coeficiente de y px e determine uma de suas antiderivadas Px px dx Exemplos 1 px 4 na equação y 4y 4y 0 Logo Px 4x é uma de suas antiderivadas 2 px 1 na equação y y 1xy 0 Logo Px x é uma de suas antiderivadas Ly y pxy qxy 0 x I a Primeiro Passo Destaque uma soluçãoy₁x da equação Ly 0 b Segundo Passo Determine uma antiderivada de px Px c Terceiro passo Calcule u ePx y₁x² dx associada à equação Ly 0 Exemplo Para y 4y 4y 0 ux é ux e4x e²ˣ² dx x Exercícios 1 Determine a solução geral da equação y y 1xy 0 x 0 R yx C₁x C₂x eˣx² dx 2 Resolva o problema de valor inicial 1x²y 2xy 2y 0 x 11 y0 3 y0 4 R yx 4x 31 x²