CM043 Sistemas Lineares - Aulas sobre Circuitos Elétricos e Modelos Matemáticos

Aulas da CM043 Sistemas Lineares 28 de Novembro de 2024 Aulas da CM043 1 Motivacoes Exemplos 2 Sistemas Lineares 3 Propriedades 4 Matriz Fundamental 5 Sistema lineares com coeficientes constantes 6 Aplicacoes Aulas da CM043 Circuitos eletricos 1 Rede eletrica Interconexao de dois ou mais elementos de um ciruito 2 Caminho Sequˆencia de elementos ligados entre si na qual nenhum elemento e incluıdo mais do que uma vez 3 Circuito eletrico Uma red eletrica que possui pelo menos um caminho fechado Aulas da CM043 Circuitos 1 No Ponto ao qual estao ligados dois ou mais elementos 2 Malha e um caminho fechado onde o ultimo no coincide com o primeiro Ex M1 M2 M3 3 Malha simples E um caminho fechado o qual nao inclui dentro dele outro caminho Ex M1 M2 Aulas da CM043 Lei de Ohm A queda de voltagem ER através de um resistor R ER Ri lei de Faraday A queda de voltagem EL através de um indutor L EL L didt Lei da Capacitância A queda de voltagem EC através de um capacitor C EC 1C q Segunda Lei de Kirchhoff Lei das malhas Em qualquer instante a soma algébrica das quedas de voltagem através dos elementos numa volta completa num circuito elétrico é igual à voltagem aplicada k1mEkt Et no sentido horário no sentido antihorário Figura L didt Ri 1C q Et Primeira lei de Kirchhoff iin iout Figura i3 i5 i1 i2 i4 Modelo elétrico Uma rede elétrica que é constituída por mais de uma malha pode ser descrita por meio de um sistema de edos Exemplo Da 2da lei de Kirchhoff Malha 1 L di1dt R1i3 E0 i1 i2 i3 Malha 2 1C q2 R2i2 R1i3 0 q2 ₀ᵗ i₂τdτ Modelo mecˆanico Considere o sistema de duas massas e duas molas mostrado na figura ao lado com uma forca externa f t atuando sobre a massa m2 no lado direito Sejam xt deslocamento de m1 yt deslocamento de m2 x distensao da primeira mola y x distensao da segunda mola Aplicando a segunda lei de Newton temos m1x k1x k2y x m2y k2y x f t Aulas da CM043 Problema de misturas Considere dois tanques de salmoura conectados como mostrado na figura ao lado O tanque T1 contém xt libras de sal em 100 galões de salmoura e o tanque T2 contém yt libras de sal em 200 galões de salmoura A salmoura em cada tanque é mantida uniforme por agitação e é bombeada de cada tanque para o outro nas porções indicadas na figura Adicionalmente água fresca flui para o tanque T1 a 20 galmin e a salmoura no tanque T2 sai a 20 galmin tanques com volume constante 1 Concentração de sal no tanques C1 C2 C1t xt100 C2t yt200 2 Taxas de variação para xt e yt xt 30xt100 10yt200 yt 30xt100 10yt200 Sistema equivalente C1t xt100 lbgal C2t yt200 lbgal 20x 6x y 20y 6x y Suponha um projétil de massa m movimentase num plano vertical na atmosfera perto da superfície da Terra sob a influência de duas forças uma força gravitacional para baixo de magnitude mg e uma força de resistência FR que é direcionada contrariamente ao vetor de velocidade V e que tem magnitude kv2 onde v V Xt xtyt Fg 0mg X V FR kv2 Vv kv V FR kv2 v V FR kv V kvxkvy Segunda lei de Newton m Xt FR Fg mx kvx my kvy mg Um sistema linear homogêneo é uma equação da forma X AtX onde At é uma matriz n x n Definição Dizemos que φ I R Rn é uma solução sobre I do sistema X AtX se φt Atφt t I Exemplo As funções φ1t t2t φ22 et0 são soluções do sistema Xt 1 2t0 1t Xt t 0 Teorema Se At aijt é contínua no intervalo I que contém t0 o problema de valor inicial X AtX Xt0 X0 tem solução única definida em I Teorema Se ϕ1 ϕ2 ϕm são soluções do sistema para constantes quaisquer c1 c2 cm a combinação linear ϕt c1ϕ1t c2ϕ2t cmϕmt é também uma solução de Demonstração De fato ϕt j1m cjϕjt j1m cjAtϕjt At j1m cjϕjt Atϕt Teorema Suponha que φj j 1 2 m seja solucoes de sobre um intervalo I que contem t0 Entao as φj j 1 2 m sao linearmente independentes se e somente se os vetores φjt0 j 1 2 m sao linearmente independentes Corolario Se as φjt j 1 2 n sao solucoes dos correspondentes problemas de valor inicial X t AtXt Xt0 ej entao as φjt j 1 2 n sao solucoes linearmente independentes do sistema X t AtXt Aulas da CM043 Wronskiano Definicao Sejam φi I Rn i 1 2 n funcoes contınuas O Wronskiano de φ1 φ2 e φn denotado com W φ1 φ2 φnt e dado por W φ1 φ2 φnt detφ1tφ2tφnt Teorema Sejam φ1 φ2 φn n solucoes do sistema X AtX sobre o intervalo IEntao φ1 φ2 φn sao linearmente independentes sobre I se e somente se W φ1 φ2 φnt 0 para cada t I Aulas da CM043 Teorema Se φj j 1 2 n sao n solucoes linearmente independentes do sistema X t AtXt qualquer outra solucao pode ser expressa como combinacao linear da φj Demonstracao Seja φt qualquer solucao do sistema que satifaz a condicao inicial φt0 V Seja φjt0 Vj Como em particular as Vj sao Li existem constantes c1 c2 cn tais que V c1V1 c2V2 cnVn Agora note que ψt c1φ1t c2φ2t cnφnt e uma solucao de que satisfaz a condicao ψt0 V Assim por unicidade de solucoes ψt φtt I Aulas da CM043 Definição Uma função matricial Φ cujas colunas ϕj são soluções do sistema X AtX t I é denominada matriz solução do sitema Se as ϕj são Li Φ é denominada matriz fundamental Exemplo As funções ϕ1t t2 t ϕ22 et 0 são soluções Li do sistema Xt 1 2 t 0 1tXt t 0 Assim Φt t2 et t 0 é uma matriz fundamental para o sistema logo acima Teorema Se ϕ1 ϕn são soluções de X AtX linearmente independentes e se c1 cn são constantes arbitrárias então c1ϕ1 cnϕn é também uma solução do sistema Além disso se Φt é uma matriz fundamental de a solução geral de pode ser escrita como Xt ΦtC C ℝn1 Corolário Xt ΦtΦ1t0X0 é a solução do PVI X AtX Xt0 X0 Corolário Xt ΦtC Φt Φ1sFs ds é a solução geral do sistema nãohomogêneo X AtX Ft Sistemas Lineares com Coeficientes Constantes Seja o sistema X AX onde A é uma matriz constante n n Definição Seja A uma matriz constante n x qualquer A matriz exponencial de A é dada através da série eA I Σ k1 Ak k onde Ak representa a potência k de A e I é a matriz identidade n n Teorema Se A é uma matriz constante n n então Φt etA é uma matriz fundamental do sistema X AX Além disso φt et t₀A X₀ é solução do problema de valor inicial X AX Xt₀ X₀