Pontos Singulares Regulares EDOs Solução via Série de Frobenius - Notas de Aula

CM043 Pontos singulares regulares de EDOs Lineares de segunda ordem Solucao via serie de potˆencias de Frobenius 14 de novembro de 2024 CM043 Outline 1 Ponto singulares regulares de EDOS lineares 2 Series de potˆencias de Frobenius Aplicacao a solucao de EDOs lineares CM043 Ponto singular Definicao O ponto x0 I e um ponto singular da equacao y pxy qxy 0 x I se ao menos um dos coeficientes px e qx nao for analıtica em x x0 Exemplos Seguem exemplos ilustrativos 1 Seja a EDO y 1 x y y 0 Neste caso ja que px 1x nao e analıtica em x 0 0 e um ponto singular de EDO 2 x 1 e um ponto singular da equacao y x x 1y 1 x 12 0 CM043 Classificacao dos pontos singulares Definicao Ponto singular regular x x0 e um ponto sigular regular da equacao y Pxy Qxy 0 x I se as funcoes px x x0Px e qx x x02Qx sao analıticas em x0 Exemplos 1 x 0 e um ponto singular regular da equacao y 1 x y y 0 2 x 1 e um ponto singular regular da equacao y x x1y 1 x12 0 CM043 Série de Frobenius Definição Uma série da forma x x0r n0 cn x x0n c0 0 onde r é um número dado e a série de potências n0 cn x x0n é convergente com raio de convergência R é denominada série de potências generalizada Uma série de potência generalizada também é denominada série Frobenius Observação Se r é um inteiro não negativo a série 1 resulta uma série de potência usual Método de Frobenius Teorema Método de Frobenius Suponha que as funções px e qx presentes na equação y pxx x0 y qxx x02 y 0 são analíticas em x x0 tal que px02 qx02 qx02 0 Então a equação 2 tem ao menos uma solução da forma yx x x0r n0 cn x x0n c0 0 O expoente r e os coeficientes cn são determinados substituindo a série 3 na equação 2 De fato n0 n rn r 1 cn xnr2 px n0 n r cn xnr2 qx n0 cn xnr2 0 n0 n rn r 1 pxn r qx cn xn 0 xr2 Destacando a primeira parcela da série temos 0 r0 r 1 px0 r qx c0 x0 n1 n rn r 1 pxn r qx cn xn 0 Para x 0 a equação logo acima se reduz a rr 1 p0 r q0 0 equação indicial Teorema Seja 0 I um ponto singular regular da equação y Pxy Qxy 0 xI 5 e suponha xPx n0 pn xn e x2 Qx n0 qn xn x R onde R 0 é o intervalo de convergência comum Sejam r1 e r2 são as raízes da equação indicial de 5 Fr rr1 p0 r q0 0 Se r1 r2 Z a solução geral de 5 é yx Axr1 n0 an xn Bxr2 n0 bn xn Exemplo Resolva 4xy 2y y 0 em torno de x 0 Solução y 12x y 14x y 0 xPx 12 x2 Qx x4 Substituindo yx xr n0 an xn na equação resulta n0 n rn r 1 an xnr2 12x n0 n r an xnr1 14x n0 an xnr 0 n0 n rn r 1 an xn n0 n r2 an xn n0 an4 xn1 xr2 0 Caso r1 r2 Z Simplificando o fator comum xr2 temos n0 n rn r 1 12 n r an 14 an1 xn 0 Daí respectivamente as equações indicial e de recorrência são rr1 r2 0 e n rn r 1 12 n r an an14 0 n 1 2 As raízes da equação indicial são r1 12 e r2 0 Como a diferença das raízes não é um inteiro o Método de Frobenius garante a existência de duas soluções em série de Frobenius 1 Série de Frobenius associada à raiz r1 12 n 12n 12 1 12 n 12 an an14 0 4n2 2nan an1 0 an an1 2n2n 1 Para a0 1 an 1n 2n 1 Logo a sol associada é y1x x n0 to 1n 2n 1 xn x x33 sin x 2 Para o caso r 0 4n2 2n bn bn1 0 bn cn1 2n2n 1 b0 1 bn 1n 2n y2x n0 to 1n x2n 2n 1 12 x2 14 x4 cos x Caso r1 r2 ℤ 0 Teorema Seja 0 I um ponto singular regular da equação y Pxy Qxy 0 x I 6 Se as raízes da equação indicial de 6r1 e r2 diferem por um número inteiro r1 r2 ℤ 0 a equação 6 tem duas soluções linearmente independentes da forma y1x xr1 n0 to an xn y2x C y1x lnx xr2 n0 to bn xn considerando que r1 r2 Suponha x 0 seja um ponto singular regular da equação x2 y x Px y Qx y 0 L2y xpx n0 to pn xn x2 qx n0 to qn xn 7 Explicitando L2 n0 to cn xnr 0 temse n0 to nrnr1cn xnr n0 to pn xn n0 to nr xnr n0 to qn xn n0 to cn xnr 0 n0 to nrnr1cn xnr n0 to k0 to n kr pnk ck xnr n0 to k0 to n qnk ck xnr 0 rr1c0 xr sumn1infty nrnr1cn xnr r p0 c0 xr sumn1infty sumk0n pnk ck xnr q0 c0 xr sumn1infty sumk0n qnk ck xnr 0 rr1r p0 q0 c0 xr sumn1infty nrnr1 cn xnr sumn1infty nr p0 cn sumk0n1 nrpnk ck xnr sumn1infty q0 cn sumk0n1 qnk ck xnr 0 rr1rp0q0c0 xr sumn1infty nrnr1 nrp0 q0cn xnr sumn1infty sumk0n1 krpnk qnk ck xnr 0 Frc0 xr sumn1infty F0nrcn xnr sumn1infty sumk0n1 Fnk ck xnr 0 Frc0 xr sumn1infty Fnr cn sumk0n1 Fnk ck xnr 0 Frc0 sumn1infty Fnr cn sumk0n1 Fnk ck xn 0 cancelando xr São condições necessárias para a existência de solução em série de potências generalizada Frc0 0 Fr0 eq indicial e 8 Fnr cn sumk0n1 Fnk ck 0 com Fnr 0 9 onde Fr rr1 r p0 q0 Fnr nrnr1 nrp0 q0 Fnk krpnk qnk k01 n1 F0nrcn sumk0n1 Fnkck 0 Eq recorrência cnr fracGnrF01rF02rF0nrc0 n 12 onde Gnr é uma certa função que depende de n e de r Observação Suponha r1 r2 sejam as raízes da equação indicial Fr 0 a De acordo com a fórmula acima a cada raiz lhe corresponde a sequência cnr onde r é uma raiz da equação indicial b Suponha que r r1 é a maior raiz da equação Fr 0 Nesse caso F0r1 n eq 0 forall n geq 1 Portanto a sequência cnr1 pode ser determinada c Caso r r1 r2 também é possível determinar os cnr Conclusões 1 Para a maior raiz r1 da equação indicial o método de Frobenius fornece uma solução da forma y1x sumn0infty cnr1xr1n 2 Para caso de duas raízes distintasr1 r2 e tais que r1 r2 eq N N inteiro o método fornece duas soluções linearmente independentes y1x sumn0infty cnr1xr1n y2x sumn0infty cnr2xr2n 3 Resulta necessário propor uma forma de encontrar uma segunda soluçãoLi para o caso das raízes serem iguais ou diferenciadas por um número inteiro Em cada um dos Problemas 1 a 8 a Encontre todos os pontos singulares regulares da equacao diferencial dada b Determine a equacao indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singular regular 1 xy 2xy 6exy 0 3 y 4xy 6y 0 CM043 6 x21 xy 1 xy 2xy 0 7 x 22x 2y 2xy 3x 2y 0 CM043 Em cada um dos Problemas 9 a 12 a Mostre que x 0 e um ponto singular regular da equacao diferencial dada b Encontre os expoentes no ponto singular x 0 c Encontre os trˆes primeiros termos nao nulos em cada uma das duas solucoes que nao sao multiplas uma da outra em torno de x 0 9 xy y y 0 CM043 11 xy y 0 13 a Mostre que ln xy 1 2y y 0 tem um ponto singular regular em x 1 b Determine as raızes da equacao indicial em x 1 CM043 13 ln x y 12 y y 0 c Determine os três primeiros termos não nulos na série n0 an x 1rn correspondente a raiz maior Você pode supor que x 1 0 d Qual valor covê esperaria para o raio de convergência da série