Exame Final Resolvido-2023 1

UFPR - Departamento de Engenharia Elétrica Disciplina: TE319 - Eletricidade e Magnetismo Professora: Juliana L. M. Iamamura Nome: ___________________________________________ GRR____________________________ Data: ____/____/________ Exame final Atenção: Os cálculos devem ser apresentados de maneira clara e organizada. Os resultados devem ser passados a caneta. Cada questão só deve ser resolvida uma vez. Questões resolvidas mais de uma vez serão anuladas. As respostas devem apresentar seu desenvolvimento para que sejam consideradas. A folha de consulta, inteiramente manuscrita, deverá ser entregue com a prova e a folha de resolução. Não será permitido o uso de nenhum tipo de calculadora. Os resultados podem ficar em forma de fração e em função de constantes como π. Simplifique suas expressões encontradas. Não é permitido ausentar-se da sala após a saída do primeiro aluno. 1 Considere a figura abaixo, na qual dois filamentos carregados - cada um com a carga Q - geram um campo elétrico no ponto P. Calcule o módulo e a orientação do campo elétrico que se estabelece no ponto P. (30 pontos) 2 Seja o segmento de espira circular abaixo, de raio R e abertura 60°, percorrido pela corrente I. (a) Calcule o campo magnético gerado no ponto P. (15 pontos) (b) Desenhe o vetor campo magnético resultante na figura abaixo, perto do ponto P. (5 pontos) 3 Seja o circuito magnético da figura abaixo, alimentado pela bobina com força magnetomotriz NI, conforme o desenho. Considere que os campos magnéticos são constantes nos entreferros, normais à superfície, e não sofrem espalhamento. Além disso, a permeabilidade do núcleo é muito elevada, fazendo com que o campo magnético no ferro possa ser desprezado. (a) Escreva as equações de circulação do campo e conservação do fluxo magnético. (10 pontos) (b) Calcule os campos magnéticos nos entreferros (h1 e h2). (10 pontos) (c) Calcule a indução magnética no entreferro 1. (10 pontos) (d) Calcule a indutância própria do enrolamento. (10 pontos) (e) Utilize o tensor de Maxwell para calcular as forças F1 e F2 exercidas sobre a peça móvel, bem como as componentes da resultante: FR = F1 + F2 ; Fx = Fij + Fkl ; Fy = Fij + Fkl. (10 pontos) 1) Vamos calcular o potencial elétrico no eixo que passa pelo filamento horizontal. Vamos calcular os potenciais separadamente e somá-los. Para o filamento 1: V = \frac{1}{4 \pi E_0} \int \frac{dq}{x} = \frac{1}{4 \pi E_0} \int_{x}^{x+R} \frac{Q}{R} dx , onde usamos dq = \frac{Q}{R} dx, Logo, V = \frac{Q}{4 \pi E_0 R} \ln \left(\frac{x+R}{x}\right). Para o filamento 2, V = \frac{Q}{4 \pi E_0 R} \int_{-R/2}^{R/2} \frac{dq}{\sqrt{x^2 + y^2}} V = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R_1} \left[ \ln \left( y + \sqrt{x^2 + y^2} \right) \right]_{-R/2}^{R/2} \newline Temos, entao, \newline V = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R_1} \ln \left[ \frac{R + \sqrt{R^2 + 4x^2}}{-R + \sqrt{R^2 + 4x^2}} \right] \newline \text{Com a origem na extremidade esquerda do filamento horizontal,} \newline \text{Temos o potencial total:} \newline V = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R_1} \ln \left( \frac{x + R_1}{x} \right) + \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R_1} \ln \left[ \frac{R + \sqrt{R^2 + 4(x-2R)^2}}{-R + \sqrt{R^2 + 4(x-2R)^2}} \right] \newline \text{O campo eletrico no ponto P sera:} \newline \mathbf{E} = - \frac{\partial V}{\partial x} \hat{x} \bigg|_{x=R} \newline \text{Logo:} \newline \mathbf{E} = -\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 L} \hat{x} \left[ \frac{-R}{xR + x^2} + \frac{2R}{(2R-x)\sqrt{17R^2 - 16Rx + 4x^2}} \right]_{x=R} \newline \text{Logo,} \newline \mathbf{E} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 L} \hat{x} \left[ \frac{1}{2R} - \frac{9}{\sqrt{5} R} \right]