Lista 3 Potencial Elétrico - 2024-1

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Disciplina de Física 3 Professora Sheyse Martins Departamento de Física Lista 3 – Potencial Elétrico 1. Suponha que, em um relâmpago, a diferença de potencial entre uma nuvem e a terra é 1,0 × 109 V e a carga transferida pelo relâmpago é 30 C. (a) Qual é a variação da energia da carga transferida? (b) Se toda a energia liberada pelo relâmpago pudesse ser usada para acelerar um carro de 1000 kg, qual seria a velocidade final do carro? 2. Uma bateria de automóvel, de 12 V, pode fazer passar uma carga de 84 A h (ampères- horas) por um circuito, de um terminal para o outro da bateria. (a) A quantos coulombs corresponde essa quantidade de carga? (Sugestão: Veja a Eq. 21-3.) (b) Se toda a carga sofre uma variação de potencial elétrico de 12 V, qual é a energia envolvida? 3. Quando um ônibus espacial atravessa a ionosfera da Terra, formada por gases rarefeitos e ionizados, o potencial da nave varia de aproximadamente −1,0 V a cada revolução. Supondo que o ônibus espacial é uma esfera com 10 m de raio, estime a carga elétrica recolhida a cada revolução. 4. Qual é o potencial elétrico produzido pelas quatro partículas da Fig. 24-38 no ponto P, se V = 0 no infinito, q = 5,00 fC e d = 4,00 cm? 5. Uma barra de plástico tem a forma de uma circunferência de raio R = 8,20 cm. A barra possui uma carga Q1 = +4,20 pC uniformemente distribuída ao longo de um quarto de circunferência e uma carga Q2= −6Q1 distribuída uniformemente ao longo do resto da circunferência. Com V = 0 no infinito, determine o potencial elétrico (a) no centro C da circunferência e (b) no ponto P, que está no eixo central da circunferência a uma distância D = 6,71 cm do centro. 6. A Figura mostra uma barra fina, de plástico, que coincide com o eixo x. A barra tem um comprimento L = 12,0 cm e uma carga positiva uniforme Q = 56,1 fC uniformemente distribuída. Com V= 0 no infinito, determine o potencial elétrico no ponto P1 do eixo x, a uma distância d = 2,50 cm de uma das extremidades da barra. 7. Uma esfera isolante tem raio R = 2,31 cm e carga uniformemente distribuída q = +3,50 fC. Considere o potencial elétrico no centro da esfera como V0 = 0. Determine o valor de V para uma distância radial (a) r = 1,45 cm e (b) r = R. Lista 3 - Potencial elétrico 1- a) A variação de energia de carga transferida pelo relâmpago é dada pela equação da energia potencial elétrica: ΔU = qΔV => q = 30C => V = 1.10^9V ΔU = 30.10^9 J b) Com a variação da energia dada pelo relâmpago sendo transformada em energia cinética do carro, levando em consideração que ele parte do reposo: ΔU = K = \frac{1}{2} mv^2 => K = energia cinética do carro v = \sqrt{\frac{2ΔU}{m}} m = 1000Kg => ΔU = 30.10^9 J => v = \sqrt{\frac{2.30.10^9}{1000}} = \sqrt{60.10^6} => v = 7750 m/s 2- a) Como a bateria faz uma carga de 84 A.h, vemos que [A] = \frac{[C]}{[s]} (coulomb por segundos) 1h = 3600 s logo, 84C/s * 3600s = 302400C = Q b) A energia é dada por ΔU = Q.ΔV => fórmula da energia potencial elétrica => Q = 302400C => ΔV = 12V ΔU = 3628800 J 3- Consideremos a nave espacial desenhada abaixo R = 10m Para uma carga pontual, no centro da nave, o potencial é dado por V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{R} Só que, à medida que a nave atravessa a ionosfera, a carga se distribui uniformemente ao redor da nave, ou seja: V = \frac{\Sigma q_i}{R} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} Q = R.V4\pi\varepsilon_0 = 10(.1).4\pi.8,85.10^{-12}=1,11.10^{-9}C logo, essa é a carga recolhida pela nave a cada revolução. 4. q |\ q | +q | \ +q/____\ d d q = 5.10^{-15}C d = 4.10^{-2}m O potencial elétrico de uma carga pontual é dado por: V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r} Assim, no ponto, o potencial, Vp, é simplesmente a soma da contribuição de cada carga: Vp = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum\frac{q_i}{r_i}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} (\frac{q}{d} + \frac{q}{d} + \frac{q}{d} + \frac{q}{2d}) => Vp = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} ( \frac{q}{d} - \frac{q}{2d} )-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{(2dq-dq)}{2d^2} => Vp = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{2d} = 5,62.10^{-4}V 5. P | Q2 | /| | / | \ Q1 |/____\ R = 8,2.10^{-2} m Q1 = 4,2.10^{-12}C Q2 = -6 Q1 d = 6,7.10^{-2}m a) Utilizemos a forma integral do potencial elétrico. Vi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{dq}{r} => A\ carga\ Q_1,\ sempre\ está\ a\ uma\ distância\ R\ do\ centro\ C,\ logo,\ \pi\rightarrow R=> Vi = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0\ R} \int dq = -\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0\ R} (1) Para\ a\ carga\ Q_2, V2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{dq}{\pi} = \frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0\ R} (2)=> logo,\ no\ centro\ C: Vc = V_1 + V_2 = \frac{Q_1 - 5Q_1}{4\pi\varepsilon_0\ R} = -\frac{5Q_1}{4\pi\varepsilon_0 R} => \boxed{Vc = -2,3\ V} b) Assim\ como\ as\ cargas\ Q_1\ e\ Q_2\ estão\ sempre\ a\ uma\ distância\ R\ do\ centro\ C\ da\ circunferência,\ essas\ cargas\ estão\ sempre\ a\ uma\ distância\sqrt{D^2 + R^2}\ do\ ponto\ P,\ como\ mostrado\ abaixo: \text{(Diagram)} Desta\ forma, Vp = -\frac{5Q_1}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{D^2+R^2}} = -1,78 V L = 12\cdot10^{-2} m Q = 56,1\cdot10^{-15} C => d = 2,5\cdot10^{-2} m Para\ calcular\ o\ potencial,\ vamos\ utilizar\ a\ forma\ integral\ do\ potencial\ elétrico. (1) V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{dq}{\pi} \rightarrow carga\ infinitesimal \rightarrow distância\ em\ que\ a\ carga\ infinitesimal\ está\ do\ ponto\ de\ interesse No\ caso\ da\ barra,\ a\ carga\ infinitesimal\ está\ distribuída\ ao\ longo\ de\ um\ comprimento\ infinitesimal\ da\ barra,\ dl,\ ou\ seja, \lambda = \frac{q}{L} => d\lambda = \frac{q}{L}\,dL => dq = \lambda dL = \lambda dx => logo,\ em\ (1) V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\lambda dL}{\pi\rightarrow x+d} V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int^L_{0} \frac{Q\,dx}{L(x+d)} \mu = x + d => d\mu = dx => x=0\rightarrow x=d x=L \rightarrow \mu=L+d V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \int^L_d \frac{d\mu}{\mu} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \ln\mu => =\frac{-Q}{4\pi\varepsilon_0}\left((\ln(L+d)-(\ln d)\right) =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\ln\left(\frac{L+d}{d}\right) V = \frac{8,99\cdot10^9}\cdot\frac{56,1\cdot10^{-15}}{12,10^{-2}}\left(\ln\frac{(12+2,5)}{2,5}\right) => V = 7,39\cdot10^{-3} V R = 2,31\cdot10^{-2} m q = 3,5\cdot10^{-15} C A\ densidade\ volumétrica\ de\ carga\ é\ dada\ por \rho = \frac{q}{V} = \frac{3q}{4\pi\ R^3} (1) De\ maneira\ a\ calcular\ o\ potencial\ elétrico,\ primeiramente\ vamos\ calcular\ o\ campo\ elétrico\ pela\ lei\ de\ Gauss,\ com\ a\ devida\ superfície\ gaussiana\ mostrada\ a\ seguir: + superfície gaussiana (SG) Pela lei de Gauss: ∮E·dA = 𝜑_enc = 𝜌_encl ε₀ ε₀ como E e dA têm o mesmo sentido: E ∮dA = EA = 4𝜋R²E = 𝜑_enc => 𝜑_enc = 4𝜋R³𝜌 ε₀ 3 E => 4𝜋R²E = 4𝜋R³𝜌 3ε₀ => E = 𝜌R 3ε₀ (1) => (2) Agora, a diferença de potencial é dada por __ __ V - V₀ = ∫- E·dl => como o potencial não depende da trajetória, a trajetória do centro da esfera até o ponto onde o potencial é avaliado pode ser uma reta com a mesma orientação do campo elétrico (radial), de maneira que -∫ 𝜌r dr = -𝜌r² = -𝜑r² = V = 3ε₀ 6ε₀ 8πε₀R² a) Assim, 3,5·10^(-15)(1,4·5·10^(-2))² V(1,4·5·10^(-2)) = -------------------------------- = 0,268 mV 8πε₀(2,31·10^(-2))³8,85·10^(-12) b) V(R) = ------------------------------- = 0,682 mV 8πε₀2,31·10^(-8)8,85·10^(-12) 3,5·10^(-15)