Lista - Geral de Eletromagnetismo - 2021-1

Lista Geral de Eletromagnetismo 2021.1 M. A. Corréa?: ®) Departamento de Fisica, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal 59078-900, Brazil (Dated: 3 de setembro de 2021) Neste documento vocé encontrara os exercicios a serem realizados durante nossa disciplina de Eletromagne- tismo ou Eletricidade e Magnetismo. Serao exercicios de carater geral com problemas classicos que auxiliarao no entendimento dos conceitos trabalhados em sala de aula. E de inteira responsabilidade sua o desenvol- vimento desta lista, cabendo a mim apenas orientar e indicar caminhos para que alcancem o sucesso. Boa sorte I. PRIMEIRA PARTE - CARGA E CARGAS ELETRICAS é orientado ao longo desse eixo e possui uma inten- EM CAMPO ELETRICO sidade E, = 2kqx(x?+a?)~3/?. (b) Mostre que nas vizinhangas da origem, quando x é muito menor do 1. A carga de uma quantidade de protons igual ao que a, E, ¢ aproximadamente igual a 2kqx/a*. (c) nimero de Avogadro (N4 = 6,01 107%) 6 chamada Mostre que para valores de « muito maiores do que de faraday. Calcule o nimero de coulombs em um a, Ey é aproximadamente igual a 2kq/x?. Explique faraday. por que esse resultado seria esperado antes mesmo 4 de ser calculado. Resposta: 1 Faraday = 9.63x10* C Resposta: 2. Uma carga qi = 4,0uC é@ posicionada na origem Demonstragoes - Faga vocé mesmo. e uma carga gg = 6,0uC é posicionada no eixo x . wpe ~ . _ . 6. Duas cargas puntiformes positivas +q sao posicio- em x = 3,0m. (a) Determine a forca sobre a carga . . . ° nadas sobre 0 eixo yem y = +ae y = —a, conforme gz. (b) Determine a forga sobre qi. (c) Quais seria . . . ocorreu no Problema anterior. Uma massa m com suas repostas nos itens (a) e (b) se go fosse igual a . : : ~6, uC? carga negativa +q desliza sem atrito ao longo de , , um fio orientado na direcao do eixo x, podendo gi- Resposta: . rar em seu entorno. (a) Mostre que para pequenos (a) Fig = 24mNi deslocamentos préximos a « << a, a massa fica (b) F, 1 = —24mN i sob acao de uma forca restauradora proporcional a (c) Fy» — _24mNj we, portanto, sujeita a um movimento harmonico simples. (b) Determine 0 perfodo desse movimento. 3. Uma carga de 5uC’ é posicionado sobre o eixo y Resposta: em y = 3 cm e uma segunda carga de —5uiC' é ( _ __ 2kq? ae . . a) fF, = -2@ posicionada também sobre o eixo y em y = —3 i— cm . Determine a forga sobre uma carga de 2uC (b) T = 2ry/ Deqz localizada sobre 0 eixo x em x = 8cm. 7. (a) Calcule e/m para um proton e determine sua Resposta: * aceleragao em um campo elétrico uniforme com in- B= —8.65Nj tensidade de 100 N/C. (b) Determine o tempo ne- . . cessario para um proton, inicialmente em repouso 4. Uma carga de 5,0uC esta localizada no ponto de nesse campo, atingir a velocidade de 0,01 c (onde coordenadas « = 0 e y = 0 e uma carga Qe esta . : ~ 8 -_ c éa velocidade da luz ~ 3 x 10° m/s) posicionada no ponto de coordenadas x = 4,0 cm, y = 0. A forga sobre uma carga de 2,0uC em x = Resposta: 13 5 8,0 cm, y = 0 é de 19,7N, orientada no sentido (a) a = 1.76 x 10°°m/s negativo do eixo x. Determine o valor da carga Qo. (b) AT = 0.28 Resposta: 8. Um elétron com energia cinética de 2 x 1071°J se Qe = —3.0uC move para a direita ao longo do eixo de um tubo - de raios catédicos, conforme mostrado na figura 5. Duas cargas q, iguais e positivas, sao posiciona- abaixo. Na regiao entre as placas defletoras existe das sobre o eixo y, uma em y = +a ca outra em um campo elétrico FE = 2x 10+ N/Cj. Em qualquer y = —a. (a) Mostre que o campo elétrico no eixo x outro lugar, E = 0. (a) A que distancia o elétron estara do eixo do tubo quando atingir as extremi- dades das placas? (b) A que Angulo o elétron se moveraé em relacao ao eixo? (c) A que distancia do *) Electronic mail: marciocorrea@dfte.ufrn. br eixo o elétron colidira com a tela fluorescente? 2 Resposta: Demonstragao - Faca vocé mesmo (a) a = —6.40mm (b) @ = —17.8° (c) y= —4.47cm | q = 2Lsin(9)y/ HHO) 4cm 12 cm | L /\ L 0 0 Figura 1. Tubo de raios onde o elétron descreverd seu mo- ‘ a vimento sendo defletido pelas placas defletoras com compri- ' mento de 4 cm. q q 9. Uma régua rigida com um metro de comprimento é pivotada em seu centro. Uma carga q; = 5 x 10-7 Figura 3. Sistema de massa para o exercicio 10. C é colocada em uma das extremidades da régua, e uma carga go igual e oposta a qi é colocada a uma 11. A figura 4 mostra um haltere consistindo de duas distancia d = 10 cm diretamente abaixo de qi. (a) massas idénticas m fixadas as extremidades de uma Qual é a forga resultante entre as duas cargas? (b) barra esbelta (de massa desprezivel) com compri- Qual o torque (medido do centro da régua) devido a mento a, rotulada no seu centro. As massas pos- esta forga? (c) Para contrabalangar a atracéo entre suem cargas de +q e —q, e 0 sistema é colocado as duas cargas, pendura-se um bloco a 25 cm do sob a ac&o de um capo elétrico uniforme E. Mos- pivé do lado oposto ao das cargas. Qual deve ser tre que para pequenos valores do Angulo @ entre a o valor da massa m do bloco? (d) Mova-se agora diregéo do dipolo e a direcéo do campo elétrico o o bloco para uma distancia a 25 cm do ponto de sistema apresenta um movimento harménico sim- apoio, no mesmo lado das cargas. Mantendo os ples. Obtenha uma expressAo para o periodo desse mesmo valores de q; e d, qual deve ser o valor de movimento. q2 para manter esse aparato em equilibrio? Resposta: Resposta: Dicas: Para pequenos angulos sen(@) = 0 (a) F = 0.225N Dicas: E.D.O para MHS: © = —ka (b) 7 =0.112N -m Ton, [me (c) m = 45.89 ~ 27 \/ gE (d) @=5 x 10°C 12. Para o haltere do exercicio anterior, considere m = ae nee 0,02 kg, a = 0,3 me E = 600N/Ci. Inicialmente ee o haltere esté em repouso a faz um Angulo de 60° 8 com o eixo x. O haltere é, entao, abandonado do 3 repouso, e quando fica momentaneamente alinhado como campo elétrico sua energia cinética é de 5 x 10-° J. Determine a intensidade de q. Figura 2. Sistema representativo para resolucao do exercicio 9. E ea 10. Duas pequenas esferas de massa m sao suspensas de um ponto comum por fios de comprimento L. Quando cada uma das esferas possui uma carga q, -q o Angulo entre os fios e a direcao vertical é igual a , 6, conforme mostrado na Figura 3. (a) Mostre que a carga q pode ser expressa por Figura 4. Haltere fixado no centro sob a influéncia de um Resposta: campo elétrico E 3 Resposta: y q = 56uC r 13. Duas cargas positivas e idéntica @ estao sobre o eixo xem z= 4 Lex =—3 L. (a) Obtenha uma Yo) expressao para 0 campo elétrico no eixo y. (b) Uma rd particula de massa m e carga g se move ao longo de . uma barra fina sem atrito posicionada sobre o eixo y. Determine a forca atuante em uma carga gq em fungao de y. Determine o sinal de gq de modo que essa forga seja sempre orientada para y = 0. (c) A particula esta inicialmente em repouso na origem. Se ela receber um pequeno cutucao na direcao +y, qual a velocidade da particula no instante que a Figura 5. Anel com distribuic&o (8). forga resultante sobre ela for maxima? Resposta: (a) E, _ 2kQy j Resposta: - “Y (y? + (1/4) LE?) 9/7 4 Demonstracao - Faca vocé mesmo (b) Fy = ways y?+(1/4)L?)3/ (c)v= 1L.21)/ ka 16. Um anel de raio R possui uma distribuicao de carga definida por \(0) = Ao sin, conforme mostrado na figura 5. (a) Qual é a orientagéo do campo no centro do anel? (b) Qual é o médulo do campo no . centro do anel? Il. SEGUNDA PARTE - CAMPOS ELETRICOS - DISTRIBUICAO CONTINUA Resposta: . (a) B= —™HAsj (b) B= 2s 14. Um segmento de reta com densidade de carga linear " A\ = 3,5 nC/m € posicionado de x = 0 até x = 5 17. Qual o fluxo através de um dos lados de um cubo m. (a) Qual é o valor de carga total? Determine que em uma carga puntiforme isolada de -3.0uC o campo elétrico sobre 0 eixo x em (b) = 6m, colocada no seu centro? (c)« =9me(d) a= 250 m. (e) Determine o Resposta: campo em x = 250 m considerando que a carga seja (a) dp = —5.65 x 104N - m?/C puntiforme e posicionada na origem, e compare o resultado com o obtido pelo calculo exato utilizado no item (d). 18. Uma casca esférica com 6 cm de raio apresenta uma densidade superficial de carga uniforme 0 = Resposta: 9nC/m?. (a) Qual é a carga total sobre a casca? (a) Q = 18nC Determine o capo elétrico em (b) r = 2 cm, (c) (b) B = 26N/C r= 5,9 cm, (d) r=6,1 cme (e) r=10 cm. (c) E=4.4N/C (d) E=2.6 x 10-3N/C Resposta; | (e) EB =2.6 x 10-3N/C (a) B= “to" (b) E=0 (c) E=0 15. Um segmento de reta carregado com densidade de (d) B = 983 N/C carga linear uniforme A apdia-se sobre 0 eixo & (ce) £ = 366 N/C desde a coordenada x = x; até x = 22, onde 19. Uma esfera de 6 cm de raio tem uma densidade t1 < £2. Mostre que a componente x do campo volumétrica de carga uniforme p = 450nC/m?. (a) elétrico em um ponto sobre o eixo y pode ser ex- Qual é a carga total da esfera? Determine 0 capo pressa por, elétrico em (b) r = 2 cm, (c) r = 5,9 em, (d) r = 6,1 cm e (e) r = 10 cm. Compare suas respostas com o do problema anterior. Ey = kA (cos(@2) — cos(61)) Resposta: y (a) B = “Seer (b) EF = 339 N/C onde 6, = tg~!(x1/y) e 02 = tg! (x2/y) (c) EF = 1000 N/C 4 (d) E = 983 N/C (e) E = 366 N/C 20. Uma casca esférica grossa não-condutora, com raios interno a e externo b, tem densidade volumétrica de carga uniforme ρ. Determine (a) a carga total e (b) o campo elétrico em qualquer local. Resposta: (a) Q = 4πρ 3 (b3 − a3) (b)(r < a) − E = 0N/C (b)(a < r < b) − E = ρ 3ϵ◦r2 (r3 − a3) (b)(r > b) − E = ρ 3ϵ◦r2 (b3 − a3) 21. Um cilindro não-condutor infinitamente longo de raio R tem densidade volumétrica de carga uni- forme ρ(r) = ρ0. Mostre que o campo elétrico é dado por, Resposta: Demonstração - Faça você mesmo Er = ρR2 2ϵ◦r = 1 2πϵ◦ λ R, r > R Er = ρ 2ϵ◦ r = λ 2πϵ◦R2 r, r < R 22. Uma casca cilíndrica não-condutora, grossa, de comprimento infinito, raio interno a e raio externo b, tem densidade volumétrica de carga uniforme ρ. Determine o campo elétrico para um ponto qual- quer. Resposta: (r < a) − E = 0 (a < r < b) − E = ρ(r2−a2) 2ϵ◦r (r > b) − E = ρ(b2−a2) 2ϵ◦r 23. Uma carga superficial não-uniforme é distribuída no plano yz. Na origem, a densidade superficial de carga é σ = 3, 10µC/m2. Outros corpos carregados também podem estar presentes. Imediatamente a direita da origem, a componente do campo elétrico vale Ex = 4, 65×105N/C. Qual é o valor do campo Ex imediatamente a esquerda da origem? Resposta: E = 115 kN/C 24. Uma esfera não-condutora de raio a, carregada uni- formemente, tem seu centro na origem e uma den- sidade volumétrica de carga ρ. (a) Mostre que em um ponto no interior da esfera a uma distância r do centro, ⃗E = ρ 3ϵ◦ rˆr. (b) Material é removido da esfera, deixando uma cavidade esférica de raio b = a/2 com centro em x = b sobre o eixo x. Cal- cule o campo elétrico nas posições 1 e 2 mostradas na figura 6. Resposta: (a) ⃗E = ρ 3ϵ◦ rˆr (b) ⃗E1 = ⃗E2 = ρb 3ϵ◦ˆi Figura 6. Esfera não-condutora para o exercício. 25. Um segmento de reta carregado uniformemente, com densidade λ, apóia-se sobre o eixo x entre x = 0 e x = L. Sua carga total é Q = 8nC. O campo elétrico em x = 2L é de 600N/Cˆi. Deter- mine o campo elétrico elétrico em x = 3L. Resposta: Figura 7 Figura 7. Resposta exercício 25. III. POTENCIAL ELÉTRICO 26. A distância entre os íons K+ e Cl− na substância KCl é 2, 8 × 10−10 m. Calcule a energia necessária para separar os dois íons até uma distância de sepa- ração infinita, admitindo-se como cargas puntifor- mes inicialmente em repouso. Expresse a resposta em eV . 5 Resposta: W = 5.14 eV 27. Três cargas puntiformes são posicionadas são po- sicionadas sobre o eixo x: q1 na origem, q2 em x = 3 m e q3 em x = 6 m. Determine o poten- cial no ponto de coordenadas x = 0, y = 3 m se (a) q1 = q2 = q3 = 2µ C, (b) q1 = q2 = 2µ C e q3 = −2µ C e (c) q1 = q3 = 2µ C e q2 = −2µ C. Resposta: (a) V = 12.9 × 103V = 12.9kV (b) V = 7.55kV (c) V = 4.43kV 28. O potencial devido a uma distribuição particular de carga é medida em vários ponto ao longo do eixo x conforme mostrado na figura 8. Para que valor(es) na faixa 0 < x < 10 m Ex = 0? Resposta: Dica: Lembre-se que podemos calcular Ex = − dV dx Figura 8. Potencial elétrico em função da posição x. 29. Um segmento de reta infinito carregado com densi- dade linear de carga λ = 1, 5µC/m apóia-se sobre o eixo z. Determine o potencial para as seguintes distâncias de segmento de reta carregado: (a) 2, 0 m, (b) 4, 0 m, (c) 12 m. Admita que V = 0 a uma distância de 2, 5 m. Resposta: (a) V = 6.02 kV (b) V = −12.7 kV (c) V = −42.3 kV 30. Um dipolo elétrico tem carga positiva de 4, 8×10−19 C a 6, 4×10−10 m de uma carga negativa de mesma intensidade. qual é o potencial elétrico em um ponto distante 9, 2×−10 m de cada uma das duas cargas? Resposta: (a) V = 0V 31. Das cargas positivas +q estão sobre o eixo y em y = +a e y = −a. (a) Determine o potencial V para um ponto arbitrário sobre o eixo x. (b) Utilize o resultado do item (a) para obter o campo elétrico em um ponto qualquer sobre o eixo x. Figura 9. Sistema linear de carga. Resposta: (a) V = 2kq √ x2+a2 (b) ⃗E = 2kqx (x2+a2)3/2ˆi 32. Uma carga puntiforme positiva +Q é posicionada em x em x = −a. (a) Qual é o trabalho necessário para trazer uma segunda carga puntiforme positiva idêntica +Q do infinito até x = +a? (b) Com duas cargas puntiformes positivas iguais em x = −a e x = +a, qual é o trabalho necessário para trazer uma terceira carga −Q do infinito até a origem? (c) Qual é o trabalho necessário para mover a carga −Q da origem até o ponto x = 2a segundo a trajetória semicircular mostrada na figura 9. Resposta: (a) W = kQ2 2a (b)W = − 2kQ2 a (c) W = 2kQ2 3a 33. Uma partícula de massa m contendo uma carga po- sitiva q está restrita a mover-se ao longo do eixo x. Em x = −L e x = L são posicionados dois anéis carregados com raio L. Cada anel está centrado no eixo x e apoia-se em um plano perpendicular a ele. Cada um possui uma caga positiva Q. (a) Obtenha uma expressão para o potencial devido ao anéis carregados em função de x. (b) Mostre que a função potencial V (x) tem um mínimo em x = 0. (c) Mostre que para x << L o potencial tem a forma V (x) = V (0) + αx2. (d) Deduza uma ex- pressão para a frequência angular de oscilação da massa m quando ela é ligeiramente deslocada da origem e liberada. Veja configuração das cargas na figura 10 Resposta: (a) V (x) = kQ √ (x+L)2+L2 + kQ √ (x−L)2+L2 (b)Dica: Encontre o mínimo da função acima usando derivadas. (c) V (0) = √ 2kQ L , na solução α = kQ 4 √ 2L3 34. Qual o valor da energia potencial eletrostática de um condutor esférico isolado de 10 cm de raio car- regado por um fonte de 2 kV?. Resposta: U = 22.3µJ 6 y ao centro da esfera, para 0 < r < oo. (b) Cal- Q Q cule a energia associada com o campo eletrostatico em uma casca esférica entre os condutores que tem | L I raio r, espessura dr e volume 4rr?dr. (c) Integre | | sua expressao para a parte (b) para determinar a Bee | Th | energia total e compare seu resultado com o obtido -L fe L ca usando U = 5QV. a = Resposta: (a) Parar < Ry - E=0,u=0 2 (a) Para Ry <r < Ry - E = 82,u = S29" — kQ? 10° fe) Figura 10. Anéis carregados com massa oscilante. Ameo Ki Re 39. Um capacitor de 10uF é conectado em PARALELO com outro de 20uF entre os terminais de uma bate- 35. Quatro cargas sAo posicionadas nos vértices de um ria de 6V. (a) Determine a carga em cada capacitor. quadrado com centro geométrico na origem da se- (b) Determine a diferenga de potencial entre os ter- guinte forma: qg no ponto de coordenadas (—a, +a); minais de cada capacitor. 2q em (+a, +a), —3q em(+a, —a) e 6g em (—a, Resposta: —a). Uma quinta carga +4 é colocada na origem (a) Ceq = 30uF e abandonada a partir do repouso. Determine sua (b) V =6V velocidade quando estiver a uma grande distancia da origem. 40. Para o circuito mostrado na figura 11, determine (a) a capacitancia equivalente total entre os termi- Resposta: . . nais, (b) a carga armazenada em cada capacitor e v=qy Sv2k (c) a energia total armazenada. Resposta: (a) Cog = 15.2uF (b) Qa = Qis = 0.632mC, Qi2 = 2.4 mC IV. CAPACITORES (c) U = 304mJ 36. Duas esferas condutoras isoladas de raio R idénticos possuem cargas +Q e —Q, respectivamente, os cen- tros estao separadas por uma distancia d, grande e or ee Lc em comparagao ao raios de cada uma das esferas. N 15 uF | Se elas forem separadas de uma grande distancia | comparativamente e seus raios, qual sera a capaci- tancia desse capacitor pouco usual? Resposta: R Figura 11. Associagaéo de capacitores. C= Ra, para d >> R vem C= dreok 41. Qual é a capacitancia de uma combinacao com in- 37. (a) Um capacitor de 3uF é carregado por um po- finitos capacitores na configuragao na configuragao tencial de 100 V. Qual a energia armazenada no de escada mostrada na figura 12. capacitor? (b) Qual o valor da energia adicional Resposta: necessdria para carregar o capacitor de um poten- Ceq = 0.618C cial 100 V para outro de 200 V? Resposta: (a) U = 15mJ (b) AU = 45mJ 42. Um goniémetro é um instrumento preciso para me- 38. Uma capacitor esférico € composto de uma esfera dicéo de Angulos. A figura 13 mostra um gonié- interna que tem raio R, e carga +Q e uma fina metro capacitivo. Cada placa do capacitor varidvel casta esférica concéntrica que tem raio Rz e carga consiste em uma placa metalica plana smicircular —Q. (a) Determine o campo elétrico e a densidade com raio interno R; e raio externo Rp. As pla de energia como fungao de r, onde r é a distancia cas podem girar em relagao a um eixo de rotacao 7 Figura 12. Associação de capacitores. comum e a distância de separação entre elas, pre- enchida com ar, é d. Calcule a capacitância em função do ângulo θ e dos parâmetros fornecidos. Resposta: C = ϵ◦(R2 2−R2 1) 2d (θ − ∆θ) Figura 13. Goniômetro de placas metálicas. 43. Um capacitor de placas planas e paralelas é cons- tituído de uma folha de polietileno (κ = 2.3) colo- cada entre duas folhas de alumínio. A área de cada folha de alumínio é de 400 cm2, e a espessura do polietileno é de 0.3 mm. Determine a capacitância. Resposta: C = κ ϵ◦A d - Cuidado com as unidades 44. Deseja-se projetar um capacitor de placas parale- las para armazenar 100 kJ de energia, utilizando ar como dielétrico. (a) Qual é o volume mínimo neces- sário entre as placas desse capacitor? (b) Suponha que você desenvolveu um dielétrico que possa re- sistir a 3 × 108 V/m e que possua uma constante dielétrica κ = 5. Qual o volume desse dielétrico, idêntico ao volume entre as placas do capacitor, necessário para ele ser capaz de armazenar 100 kJ de energia? Resposta: (a) O volume deve ser de 2.51 × 103 m3 (b) Agora o volume deve ser 5.02 × 10−2 m3 45. Determine a capacitância do capacitor de placas paralelas mostrado na figura 14 Resposta: C = (κ3 + 2κ1κ2 κ1+κ2 )( ϵ◦A 2d ) Figura 14. Capacitor com dois dielétricos distintos. 46. A figura 15 mostra quatro capacitores conectados segundo um arranjo conhecido como ponte de ca- pacitores. Os capacitores estão inicialmente des- carregados. Qual deve ser a relação entre as quatro capacitâncias de modo que o potencial entre os pon- tos c e d seja nulo quando a tensão V é aplicada entre os terminais a e b? Resposta: C2C3 = C1C4 Figura 15. Associação de capacitores no formato de uma ponte. V. RESISTORE, CORRENTE ELÉTRICA E CIRCUITOS 47. Um cilindro de vidro com 1, 0 cm de comprimento tem resistividade de 1012 Ωm. Qual deve ser o cum- primento de um fio de cobre com a mesma área de seção transversal que tenha a mesma resistência do cilindro de vidro? Resposta: 5, 94 × 1017 m. 48. Uma bateria de 12V de automóvel possui resistên- cia interna desprezível e pode fornecer uma carga total de 160 A.h. (a) Qual é a energia total arma- zenada na bateria? (b) Durante quanto tempo essa bateria pode fornecer 150 W a um par de faróis? Respostas: (a) ∆U = 6, 91 MJ, (b) 12, 8 h. 8 49. Considere o circuito de malhas multiplas descrito pela figura 16. (a) Encontre a corrente que atra- vessa cada resistor. (b) A potência entregue pela bateria. Resposta: (a) I3 = 1.58A, I2 = 0.632A, I4 = 0.316 (b) P = 9.47W Figura 16. Associação de Resistires conectados a uma fonte de 6V. 50. Dada a malha resistiva mostrada na figura 17, de- termine (a) a resistência R3, de modo que Rab = R1. (b) a resistência R2 de modo que Rab = R3. (c) a resistência R1, de modo que Rab = R1. Resposta: (a) R1 = R2 1 R1+R2 (b) R2 = 0 (c) R1 = R3+√ R2 3+4R2R3 2 Figura 17. Associação de Resistires onde Rab significa a re- sistência equivalente do circuito. 51. As baterias de circuito mostrado na figura 18 têm resistência internas desprezíveis. Determine (a) a corrente que passa por cada resistor. (b) a diferença de potencial entre os pontos a e b. (c) a potência fornecida por cada uma das baterias. Respostas: (a) I4 = 0.667A, I3 = 0.889A, I6 = 1.56A (b) Vab = 9.36V (c) Pesq. = 8W, Pdir = 10.7W 52. Dado o circuito mostrado na figura 19, determine. (a) A corrente que passa por cada resistor. (b) Figura 18. Baterias conectadas ao circuito para solução do exercício 51. A potência fornecida por cada fonte FEM e (c) A potência dissipada em cada um dos resistores. Respostas: (a) I1 = I2 = 2.0A, I2 = 1.0A, I6 = 1.0A (b) P8V = 16.0W, P4V = −4W (c) P1 = 4.0W, P2 = 8.0W, P2meio = 2.0W, P6 = 6.0W Figura 19. Baterias e receptores associados em uma malha múltipla para solução do exercício 52. 53. Um voltímetro digital pode ser modelado como um voltímetro ideal com resistência interna infinita em paralelo com um resistor de 10 MΩ. Calcule a ten- são medida pelo voltímetro no circuito mostrado na figura 20 quanto (a) R = 1kΩ. (b) R = 10kΩ. (c)R = 1MΩ. (d)R = 10MΩ. (e)R = 100MΩ. (f) Qual é o maior valor possível de R de modo que a tensão medida apresente uma variação de 10% da tensão verdadeira (isto é, a queda de tensão sem o voltímetro)? Respostas: (a) V = 3.3V (b) V = 3.3V (c) V = 3.1V (d) V = 2.0V (e) V = 0.43V (f) R = 1.67MΩ VI. FORÇA MAGNÉTICA, CAMPO MAGNÉTICO, LEI DE AMPERE 54. Encontre a força magnética sobre um próton se mo- vendo co uma velocidade de 0.446 Mm/s no sentido 9 Figura 20. Simulação de um voltímetro IDEAL. positivo de x em um campo magnético de 1.75 T no sentido positivo de z. Resposta: ⃗F = −0.125pNˆj 55. No segmento de fio mostrado na figura 21 passa uma corrente de 1.8 A desde a até b. Existe um campo magnético ⃗B = 1.2 Tˆk. Encontre a força to- tal sobre o fio e mostre que a força total é a mesma que ocorreria sobre o fio se ele fosse um segmento reto de a até b. Resposta: ⃗F = 86mNˆi − 65mNˆj Figura 21. Fio com segmentos 3 cm e 4 cm orientado em um plano cartesiano. 56. Um próton com velocidade v = 1.0×106 m/s entra em uma região de um campo magnético uniforme B = 0.8 T, que está para dentro do papel, como mostrado na figura 22. O ângulo θ = 60◦. Encontre o ângulo ϕ e a distância d. Resposta: d = r = 13.1mm 57. Uma corrente I passa por uma espira quadrada rí- gida de lado L e massa m em repouso no plano xy sobre uma mesa plana e rugosa. Existe um campo magnético horizontal de módulo B que atua para- lelamente a dois lados desta espira. Qual é o valor mínimo de B para que uma das extremidades da espira se eleve da mesa? Resposta: B = mg 2IL Figura 22. Região de campo magnético uniforme entrando na pagina e representação dos ângulos iniciais e finais. 58. Um cilindro vazado tem comprimento L e raios in- ternos Ri e Re, respectivamente. O cilindro tem carga uniformemente distribuída e com densidade ρ. Desenvolva uma expressão para o momento mag- nético como uma função de ω, a velocidade angular de rotação do cilindro em torno do seu eixo princi- pal. Resposta: ⃗µ = 1 4Lρπ(R4 e − R4 i )⃗ω Figura 23. Cilindro carregados eletricamente. 59. Duas cargas iguais q, localizadas em (0,0,0) e em (0,b,0) no instante de tempo zero, estão se movendo com velocidade v no sentido positivo de x (v << c, onde c é a velocidade da luz no vácuo). Encontre a razão dos módulos das forças magnética e eletros- tática sobre cada carga. Resposta: FB FE = ϵ◦µ◦v2 60. Se as correntes na Figura 24 estão na direção ne- gativa do x, encontre ⃗B nos pontos sobre o eixo y em (a) y = −3cm. (b) y = 0 cm. (c) y = 3 cm. (d)y = 9 cm. A corrente sobre os fios é de 20A. Resposta: (a) ⃗B = −89µT ˆk (b) ⃗B = 0 (c) ⃗B = 89µT ˆk (d) ⃗B = −160µT ˆk 61. Um solenóide tem n voltas por unidade de compri- mento, raio R e transporta uma corrente I. Seu 10 z C ween Ene 2. . oe oe / C wo € we \ re v / -€-- 1 i \ \ y / rae ~S, / \ \ 'ous ‘i \t | (x) : (*) | | yy i} hi x + 4 \ fi \ \ vo \ / i \ eet \ vw / Figura 24. Fios paralelos passando corrente para o cdlculo do \ J campo magnético sobre o eixo y. we a eixo esta ao longo do eixo x, com uma das extre- . . . 1 . Figura 25. Corrente entrando e saindo o plano do papel para midades em « = —35l e a outra extremidade em . . 1 , . . o calculo da Lei de Ampere. x = 5l, onde | é o comprimento total do solendide. Mostre que o campo magnético B em um onto so- 3 bre o eixo externo do solendide é dado por ° < - L-C b|Y A SRB eee oe 1 ly | B= =ponI (cos 6; — cos 62) ie | | > . \\ onde nesta expressao temos que, \\ 1 cos 6, = c+ 3 Figura 26. Solendide com caminho pontilhado que dever ser 21/2 utilizado para calcular uma expressao para 0 campo magné- [Re + (x + 51) 2 tico. v1 Vil. CAMPO MAGNETICO, FLUXO MAGNETICO E cos 0) = ———2__, INDUGAO MAGNETICA 1 2 [R? + (x = $1)"] 64. Um campo magnético de médulo 2000 G é paralelo Resposta: Demonstragao faga vocé mesmo... ao eixo x. Uma espira quadrada de lado 5 cm pos- sui uma Unica volta e faz um Angulo 6 com o eixo 62. Na Figura 25, uma corrente é 8 A para dentro do z, como mostrado na figura 27. Encontre o fluxo papel, a outra corrente é 8 A para fora do papel magnético através da espira quando. (a) @ = 0°, e cada curva é uma trajetoria circular. Encontre (b) 8 = 30°, (c) 6 = 60° e (d) 6 = 90° fo B-dl para cada trajetoria indicada, onde cada Respostas: integral é tomada com dl no sentido anti-horario. (a) dm = 0.5mWb Resposta: (b) dy = 0.43mW b fo, B- dl = 81, (c) dm = 0.25mWb tooo. d =0 fo, B- dl =0 (d) dm ¢ B-di=+8 65. Um campo magnético de 1.2 T é perpendicular a C3 = TOHo ; : uma espira quadrada de 14 voltas. O comprimento 63. A Figura 26 mostra um solendide com n voltas por de cada lado da espira é de 5 cm. (a) Encontre o unidade de comprimento transportando uma cor- fluxo magnético através da espira. (b) Encontre o rente I. Aplique a lei de Ampere para a curva re- fluxo magnético através da espira se 0 campo mag- tangular mostrada para desenvolver uma expressao nético faz um Angulo de 60° com a normal ao plano para B, supondo que B é uniforme dentro do sole- da espira. ndide e que B é nulo externamente ao solendide. Respostas: Resposta: (a) dm = 42mWb B= pont (b) dm = 21mWb 11 Figura 27. Espira com 5 cm de raio em um campo uniforme. 66. Encontre o fluxo magnético através de um solenóide de 400 voltas, comprimento 25 cm e raio de 1 cm que transporta uma corrente de 3 A. Resposta: φm = 758 µWb 67. Refaça o exercício anterior para um solenóide de 800 voltas, comprimento de 30 cm e raio de 3 cm que transporta uma corrente de 2 A. Resposta: φm = 6.74 mWb 68. Um fio reto e longo transporta uma corrente I. Uma espira retangular com dois lados paralelos ao fio reto possui lados a e b, com o seu lado mais pró- ximo a uma distância d do fio reto, como mostrado na figura 28. (a) Calcule o fluxo magnético atra- vés da espira retangular (sugestão: Calcule o fluxo através da faixa de área dA = bdx e integre x = d até x = d + a). (b) Avalie sua resposta para a = 5 cm, b = 10 cm, d = 2 cm e I = 20 A. Respostas: (a) φm = µ◦Ib 2π ln( d+a d ) (b) φm = 0.5 µWb Figura 28. Fluxo sobre uma espira próxima a um fio subme- tido a uma corrente I. 69. O fluxo através de uma espira é dado por φm = (t2 − 4t) × 10−1 Wb, onde t está em segundos. (a) Encontre a fem induzida ϵ para t = 0 s, t = 2 s, t = 4 s e t = 6 s. Respostas: (a) ε(t) = −0.2t + 0.4 ε(t = 0) = 0.4V ε(t = 2) = 0V ε(t = 4) = −0.4V ε(t = 6) = −0.8V 70. Na figura 29, seja B = 0.8 T, v = 10 m/s, l = 20 cm e R = 2Ω. Encontre (a) a fem induzida no circuito (b) a corrente no circuito, (c) a força ne- cessária para mover a haste com velocidade cons- tante, presumindo atrito desprezível. Encontre (d) a potência de entrada devida a força encontrada na Parte (c) e (e) a taxa de efeito joule I2R. Respostas: (a) ε = 1.6V (b) I = 0.8 A (c) F=0.13 N (d) P=1.3 W Figura 29. Movimento por indução magnética. 71. Um solenóide possui comprimento de 25 cm, raio de 1 cm, 400 voltas e transporta uma corrente de 3 A. Encontre (a) B sobre o eixo no centro do sole- nóide. (b) o fluxo através do solenóide, admitindo B como uniforme. (c) a auto-indutância do sole- nóide, e (d) a fem induzida no solenóide quando a corrente varia a 150 A/s. 72. No circuito mostrado na figura 30, seja ϵ◦ = 12 V, R = 3Ω e L = 0, 6 H. A chave é fechada no instante t = 0. No instante t = 0.5 encontre (a) a taxa na qual a bateria fornece potência, (b) a taxa de efeito joule e (c) a taxa na qual a energia está sendo armazenada no indutor. VIII. CORRENTE ALTERNADA 73. Um enrolamento de 200 voltas tem uma área de 4 cm2 e gira em um campo magnético de 0.5 T. (a) Qual frequência irá gerar uma fem máxima de 10 V? (b) Se o enrolamento gira em 60 Hz, qual é a máxima fem? 12 Figura 30. Circuito referente ao exercício 72 da lista. 74. Uma lâmpada de 100 W é conectada em uma saída padrão de 120 V (rms). Encontre (a) Irms, (b) Imx e (c) a potência máxima. 75. EM qual frequência a reatância de um capacitor de 10µF é igual aquela de um indutor de 1 mH? 76. Mostre a partir das definições de henry e farad que, 1 √ LC possui unidade de s−1. 77. Um capacitor de 5µF é carregado até 30 V e é co- nectado a um indutor de 10 mH. (a) Quanta energia é armazenada no sistema? (b) Qual é a frequência de oscilação do circuito? (c) Qual é a máxima cor- rente no circuito? 78. Uma resistência R e uma indutância de 1, 4 H estão em série com uma fonte de tensão ca de 60 Hz. A tensão através do resistor é 30V, e a tensão através do indutor é de 40 V. (a) Qual é a resistência R? (b) Qual é a tensão ca de entrada? 79. Uma única linha de transmissão transporta dois sinais de tensão dados por V1 = 10V cos 100t e V2 = 10V cos 10.000t, onde t esta em segundos Um indutor de 1H em série e um resistor de 1kΩ são in- seridos na linha de transmissão, como indicado na Figura 31. (a) Qual é o sinal de tensão observado no lado de saída da linha de transmissão? (b) Qual é a razão entre a amplitude de baixa frequência e a amplitude de alta frequência? 80. A Figura 32 mostra um resistor de carga Rc = 20Ω conectado a um filtro passa-alta consistindo de um indutor L = 3.2 mH e um resistor R = 4Ω. A tensão de entrada é V = 100V cos 2πft. Encontre as correntes rms em R, L e Rc se (a) f = 500 Hz e (b) f = 2000 Hz. (c) Qual fração da potência total liberada pela fonte de tensão é dissipada no resistor de carga se a frequência é de 500 Hz e a frequência é de 2000 Hz. Figura 31. Circuito referente ao exercício 79 da lista. Figura 32. Circuito referente ao exercício 80 da lista. 81. O gerador de tensão da Figura 33 é dado por V = 100V cos 2πft. (a) Para cada malha, qual é a amplitude da corrente e qual é a sua fase re- lativamente a da tensão aplicada? (b) Qual é a frequência angular ω de tal modo que a corrente no gerador desapareça? (c) Nessa ressonância, qual é a corrente no indutor? Qual é a corrente no capaci- tor? (d) Desenhe um diagrama fasorial mostrando as relações gerais entre a tensão aplicada, acorrente gerada, a corrente no capacitor, e a corrente no in- dutor para o campo onde a reatância indutiva é maior que a reatância capacitiva. Figura 33. Circuito referente ao exercício 81 da lista. 82. Mostre que a fórmula Pmd = Rϵ2 rms/Z2 fornece o resultado corrente um circuito contendo apenas um gerador e (a) um resistor, (b) um capacitor e (c) um indutor. 83. Uma tensão ca de 24V é necessária para um dis- positivo cuja impedância é de 12Ω. (a) Qual deve ser a razão de voltas do transformador, de tal modo 13 que o dispositivo possa ser operado a partir de uma linha de 120 V? (b) Suponha que o transformador é acidentalmente conectado invertido (ou seja, com o enrolamento secundário ligado a linha de 120 V e a carga de 12 Ω no primário). Quanta corrente irá então fluir através do enrolamento primário? 84. O circuito de distribuição de uma linha de potência residencial está operando em 2000 v rms. Essa tensão deve ser reduzida para 240 V rms para o uso interno nas residências. Se o lado secundário do transformador possui 400 voltas, quantas voltas existem no primário?