Transformada Z - Conceitos e Aplicações em Processamento Digital de Sinais

Processamento Digital de Sinais Aula 5 Transformada z Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente Departamento de Engenharia Elétrica Sumário 1 Transformada 𝑧 2 Propriedades da RDC para a transformada z 3 Transformada 𝑧 inversa 4 Transformada 𝑧 e sistemas LIT 5 Exercícios 2 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Transformada z Transformada 𝑧 A transformada 𝑧 é uma generalização da DTFT e é aplicável para uma classe mais ampla de sinais e sistemas Transformada 𝑧 de uma sequência 𝑥𝑛 𝑋 𝑧 𝑛 𝑥 𝑛 𝑧𝑛 𝒵 𝑥 𝑛 Notação 𝑥 𝑛 𝑋𝑧 4 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Transformada 𝑧 1 Representação de sistemas LIT 2 Determinação da estabilidade de sistemas LIT 3 Resolver equações de diferenças 5 Para que usaremos a transformada 𝑧 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Transformada 𝑧 A variável complexa 𝑧 pode ser representada na forma polar como 𝑧 𝑟ej𝜔 Sendo assim 𝑋 𝑟ej𝜔 𝑛 𝑥 𝑛 𝑟ej𝜔 𝑛 𝑛 𝑥 𝑛 𝑟𝑛 ej𝜔𝑛 A transformada 𝑧 pode ser vista como a transformada de Fourier da sequência 𝑥 𝑛 𝑟𝑛 6 Quando 𝑧 𝑟 1 a transformada 𝑧 corresponde a transformada de Fourier de 𝑥𝑛 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Circunferência unitária no plano 𝑧 complexo 7 𝑧 1 corresponde a circunferência de raio unitário circunferência unitária 𝜔 é o ângulo entre o vetor da origem ao ponto 𝑧 e o eixo real no plano complexo 𝑧 A transformada 𝑧 calculada sobre circunferência unitária é a DTFT A frequência 𝜔 passa a ser um círculo e a noção de periodicidade com período 2𝜋 fica clara 𝜔 1 Re Im 𝑧 ej𝜔 Plano 𝑧 Circunferência unitária TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Convergência da transformada 𝑧 𝑋 𝑟ej𝜔 𝑛 𝑥 𝑛 𝑟𝑛 ej𝜔𝑛 Condição de convergência 𝑋 𝑟ej𝜔 𝑛 𝑥 𝑛 𝑟𝑛 𝑋 𝑧 𝑛 𝑥 𝑛 𝑧 𝑛 O conjunto de valores de 𝑧 para os quais a série de potências da transformada 𝑧 converge é chamada de região de convergência RDC 8 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Re Im Plano 𝑧 RDC como um anel no plano 𝑧 Exemplo Calcule a transformada 𝑧 da sequência das sequências abaixo a 𝑥1 𝑛 𝑢 𝑛 b 𝑥2 𝑛 𝑎𝑛𝑢 𝑛 9 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Solução a 𝑋1 𝑧 𝑛 𝑢 𝑛 𝑧𝑛 𝑋1 𝑧 𝑛0 𝑧𝑛 𝑛0 𝑧1 𝑛 𝑧1 0 1 𝑧1 𝑋1 𝑧 1 1 𝑧1 𝑧 1 Resposta b 𝑋2 𝑧 1 1 𝑎𝑧1 𝑧 𝑎 Re 𝑧 Im 𝑧 1 DTFT 𝑋2 𝑒𝑗𝜔 1 1 𝑎𝑒𝑗𝜔 𝑎 1 Re 𝑧 Im 𝑧 1 𝑎 Alguns pares comuns da transformada 𝑧 Sequência Transformada RDC 𝛿𝑛 1 Todo 𝑧 𝑢𝑛 1 1 𝑧1 𝑧 1 𝑢𝑛 1 1 1 𝑧1 𝑧 1 𝛿 𝑛 𝑚 𝑧𝑚 Todo 𝑧 exceto 0 se 𝑚 0 ou se 𝑚 0 𝑎𝑛𝑢 𝑛 1 1 𝑎𝑧1 𝑧 𝑎 𝑎𝑛𝑢𝑛 1 1 1 𝑎𝑧1 𝑧 𝑎 𝑛𝑎𝑛𝑢 𝑛 𝑎𝑧1 1 𝑎𝑧1 2 𝑧 𝑎 𝑛𝑎𝑛𝑢𝑛 1 𝑎𝑧1 1 𝑎𝑧1 2 𝑧 𝑎 10 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Alguns pares comuns da transformada 𝑧 Sequência Transformada RDC cos 𝜔0𝑛 𝑢𝑛 1 cos 𝜔0 𝑧1 1 2 cos 𝜔0 𝑧1 𝑧2 𝑧 1 sen 𝜔0𝑛 𝑢𝑛 sen 𝜔0 𝑧1 1 2 cos 𝜔0 𝑧1 𝑧2 𝑧 1 𝑟𝑛 cos 𝜔0𝑛 𝑢𝑛 1 𝑟 cos 𝜔0 𝑧1 1 2𝑟 cos 𝜔0 𝑧1 𝑟2𝑧2 𝑧 𝑟 𝑟𝑛 sen 𝜔0𝑛 𝑢𝑛 𝑟 sen 𝜔0 𝑧1 1 2𝑟 cos 𝜔0 𝑧1 𝑟2𝑧2 𝑧 𝑟 ቊ𝑎𝑛 0 𝑛 𝑁 1 0 caso contrário 1 𝑎𝑁𝑧𝑁 1 𝑎𝑧1 𝑧 0 11 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Transformada z Inversa Transformada 𝒛 inversa Definição 𝑥 𝑛 1 2𝜋j ර 𝐶 𝑋 𝑧 𝑧𝑛1𝑑𝑧 A transformada 𝑧 inversa é dada pela integral de contorno complexa em que 𝐶 representa um caminho fechado na RDC Seu cálculo é geralmente trabalhoso então obteremos a transformada 𝑧 inversa por meio de métodos indiretos inspeção expansão em frações parciais e expansão em séries de potência 13 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Método da Inspeção Consiste em utilizar o conhecimento de certos pares transformados e das propriedades da transformada 𝑧 Exemplo 𝑋 𝑧 1 1 1 2 𝑧1 𝑧 1 2 Da tabela 𝑎𝑛𝑢 𝑛 1 1𝑎𝑧1 𝑧 𝑎 Conclusão 𝑥 𝑛 1 2 𝑛 𝑢 𝑛 14 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Expansão em frações parciais Assumindo 𝑋𝑧 expresso como uma razão de polinômios em 𝑧1 ou 𝑧 temos 𝑋 𝑧 𝑃 𝑧 𝑄 𝑧 𝑏0 𝑏1𝑧1 𝑏𝑀𝑧𝑀 𝑎0 𝑎1𝑧1 𝑎𝑁𝑧𝑁 𝑧𝑁 𝑧𝑀 𝑏0𝑧𝑀 𝑏1𝑧𝑀1 𝑏𝑀 𝑎0𝑧𝑁 𝑎1𝑧𝑁1 𝑎𝑁 Forma fatorada de 𝑋𝑧 𝑋 𝑧 𝑏0 𝑎0 1 𝑐1𝑧1 1 𝑐2𝑧1 1 𝑐𝑀𝑧1 1 𝑑1𝑧1 1 𝑑2𝑧1 1 𝑑𝑁𝑧1 𝑏0 𝑎0 𝑧𝑁𝑀 𝑧 𝑐1 𝑧 𝑐2 𝑧 𝑐𝑀 𝑧 𝑑1 𝑧 𝑑2 𝑧 𝑑𝑁 em que 𝑐𝑘 e 𝑑𝑘 são respectivamente os zeros e os polos não nulos de 𝑋𝑧 Os zeros são as raízes do polinômio 𝑃 𝑧 valores de 𝑧 que 𝑋 𝑧 0 Os polos são as raízes do polinômio 𝑄𝑧 valores de 𝑧 que 𝑋 𝑧 15 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Expansão em frações parciais 𝑀 𝑁 𝑋 𝑧 𝑏0 𝑎0 1 𝑐1𝑧1 1 𝑐2𝑧1 1 𝑐𝑀𝑧1 1 𝑑1𝑧1 1 𝑑2𝑧1 1 𝑑𝑁𝑧1 Se 𝑀 𝑁 e todos os polos são de primeira ordem polos distintos temos 𝑋 𝑧 𝑘1 𝑁 𝐴𝑘 1 𝑑𝑘𝑧1 𝐴1 1 𝑑1𝑧1 𝐴2 1 𝑑2𝑧1 𝐴𝑁 1 𝑑𝑁𝑧1 Notase que os denominadores são comuns às frações da equação acima Os coeficientes ou resíduos 𝐴𝑘 podem ser calculados da seguinte forma 𝐴𝑘 1 𝑑𝑘𝑧1 𝑋 𝑧 ቚ 𝑧𝑑𝑘 16 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Exemplo transformada 𝒛 de 2ª ordem 𝑋 𝑧 1 1 1 4 𝑧1 1 1 2 𝑧1 𝑧 1 2 Solução 𝑋 𝑧 𝐴1 1 1 4 𝑧1 𝐴2 1 1 2 𝑧1 𝐴1 1 1 4 𝑧1 𝑋 z ቚ z1 4 1 1 4 𝑧1 1 1 4 𝑧1 1 1 2 𝑧1 ቚ z1 4 1 𝐴2 1 1 2 𝑧1 𝑋 z ቚ z1 2 1 1 2 𝑧1 1 1 4 𝑧1 1 1 2 𝑧1 ቚ z1 2 2 𝑥 𝑛 1 4 𝑛 𝑢 𝑛 2 1 2 𝑛 𝑢 𝑛 𝑋 𝑧 1 1 1 4 𝑧1 2 1 1 2 𝑧1 17 Re 𝑧 Im 𝑧 1 4 1 2 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Expansão em frações parciais 𝑀 𝑁 Se 𝑋𝑧 tiver polos de primeira ordem polos distintos e 𝑀 𝑁 temos 𝑋 𝑧 𝑟0 𝑀𝑁 𝐵𝑟𝑧𝑟 𝑘1 𝑁 𝐴𝑘 1 𝑑𝑘𝑧1 Os coeficientes 𝐵𝑟 são obtidos através divisão do numerador pelo denominador até que o resto tenha grau menor do que o denominador Os coeficientes 𝐴𝑘 podem ser obtidos da mesma forma que o caso 𝑀 𝑁 18 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Exemplo 𝑀 𝑁 2 𝑋 𝑧 1 2𝑧1 𝑧2 1 3 2 𝑧1 1 2 𝑧2 1 𝑧1 2 1 1 2 𝑧1 1 𝑧1 𝑧 1 19 Re 𝑧 Im 𝑧 1 1 2 Solução 𝑋 𝑧 𝐵0 𝐴1 1 1 2 𝑧1 𝐴2 1 𝑧1 𝑧2 2𝑧1 1 𝑧2 3𝑧1 2 5𝑧1 1 1 2 𝑧2 3 2 𝑧1 1 2 𝑋 𝑧 2 1 5𝑧1 1 1 2 𝑧1 1 𝑧1 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Exemplo 𝑀 𝑁 2 20 Solução cont 𝑋 𝑧 𝐵0 𝐴1 1 1 2 𝑧1 𝐴2 1 𝑧1 𝐴1 1 1 2 𝑧1 𝑋 z ቚ z1 2 1 1 2 𝑧1 2 1 5𝑧1 1 1 2 𝑧1 1 𝑧1 z1 2 9 𝐴2 1 𝑧1 𝑋 z ቚ z1 1 𝑧1 2 1 5𝑧1 1 1 2 𝑧1 1 𝑧1 z1 8 𝑋 𝑧 2 9 1 1 2 𝑧1 8 1 𝑧1 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Exemplo 𝑀 𝑁 2 21 Re 𝑧 Im 𝑧 1 1 2 Solução cont 𝑋 𝑧 2 9 1 1 2 𝑧1 8 1 𝑧1 Como a RDC é 𝑧 1 por inspeção temos 2𝛿 𝑛 2 1 2 𝑛 𝑢 𝑛 1 1 1 2 𝑧1 𝑢 𝑛 1 1 𝑧1 e por fim 𝑥 𝑛 2𝛿 𝑛 9 1 2 𝑛 𝑢 𝑛 8𝑢𝑛 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Expansão em série de potência Explicitando os termos da transformada z temos 𝑋 𝑧 𝑛 𝑥 𝑛 𝑧𝑛 𝑥 2 𝑧2 𝑥 1 𝑧1 𝑥 0 𝑥 1 𝑧1 𝑥 2 𝑧2 22 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Exemplo 𝑋 𝑧 𝑧2 1 1 2 𝑧1 1 𝑧11 𝑧1 𝑧2 1 2 𝑧 1 1 2 𝑧1 𝑥 𝑛 𝛿 𝑛 2 1 2 𝛿 𝑛 1 𝛿 𝑛 1 2 𝛿 𝑛 1 𝑥 𝑛 1 𝑛 2 1 2 𝑛 1 1 𝑛 0 1 2 𝑛 1 Propriedades da RDC para a Transformada z Propriedades da RDC 1 A RDC é uma região na forma de anel com centro na origem do plano complexo 𝑧 dada por 0 𝑎 𝑧 𝑏 24 Re 𝑧 Im 𝑧 𝑎 𝑧 𝑏 𝑎 𝑏 Re 𝑧 Im 𝑧 𝑏 0 𝑧 𝑏 ou 𝑧 𝑏 Re 𝑧 Im 𝑧 𝑎 0 𝑏 0 𝑧 ou 𝑧 0 ou 𝑧 Re 𝑧 Im 𝑧 𝑎 𝑏 𝑎 𝑧 ou 𝑧 𝑎 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Propriedades da RDC 2 A transformada de Fourier de 𝑥𝑛 converge em valor absoluto se e somente se a RDC da transformada 𝑧 de 𝑥𝑛 incluir a circunferência unitária 3 A RDC não pode conter quaisquer polos é delimitada por eles 25 Re 𝑧 Im 𝑧 𝑧 1 Exemplo 𝑋 𝑧 𝑧 𝑧 1 Polo 𝑧 1 1 Re 𝑧 Im 𝑧 𝑧 1 1 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Propriedades da RDC 4 Se 𝑥𝑛 é uma sequência de duração finita 𝑥 𝑛 0 para 𝑛 𝑁1 e 𝑛 𝑁2 então a RDC é todo o plano 𝑧 exceto possivelmente 𝑧 0 ou 𝑧 Exemplo 𝑥 𝑛 𝑢 𝑛 1 𝑢𝑛 2 26 0 1 2 3 3 1 2 𝑛 𝑥 𝑛 𝑁1 𝑁2 A RDC inclui 𝑧 0 se 𝑁2 0 𝑧 se 𝑁1 0 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Propriedades da RDC 5 Se 𝑥𝑛 é uma sequência lateral direita 𝑥 𝑛 0 para 𝑛 𝑁1 a RDC se estende para o exterior a partir do polo finito mais externo isto é de maior magnitude de 𝑋𝑧 até e possivelmente incluindo 𝑧 Exemplo 𝑥 𝑛 2𝑛𝑢 𝑛 27 A RDC inclui 𝑧 se 𝑁1 0 0 1 2 3 4 1 2 𝑛 𝑥 𝑛 𝑁1 𝑁2 Re 𝑧 Im 𝑧 RDC 𝑧 12 1 2 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Propriedades da RDC 6 Se 𝑥𝑛 é uma sequência lateral esquerda 𝑥 𝑛 0 para 𝑛 𝑁2 a RDC se estende para o interior a partir do polo não nulo mais interno menor magnitude de 𝑋𝑧 até e possivelmente incluindo 𝑧 0 Exemplo 𝑥 𝑛 𝑢 𝑛 28 A RDC inclui 𝑧 0 se 𝑁2 0 𝑛 0 1 2 3 3 1 2 𝑥 𝑛 𝑁2 𝑁1 Re 𝑧 Im 𝑧 RDC 𝑧 1 1 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Propriedades da RDC 7 Uma sequência bilateral é uma sequência de duração infinita que não é nem lateral direita nem lateral esquerda Sua RDC terá formato de anel Exemplo 2 𝑛 29 8 A RDC precisa ser uma região conectada 0 1 2 3 4 1 2 𝑛 𝑥 𝑛 𝑁1 𝑁2 3 4 Re 𝑧 Im 𝑧 RDC 12 𝑧 2 1 2 2 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Propriedades da Transformada z Propriedades da Transformada z Notação 𝑥 𝑛 𝑋 𝑧 RDC 𝑅𝑥 𝑥1 𝑛 𝑋1 𝑧 RDC 𝑅𝑥1 𝑥2 𝑛 𝑋2 𝑧 RDC 𝑅𝑥2 1 Linearidade 𝑎𝑥1 𝑛 𝑏𝑥2 𝑛 𝑎𝑋1 𝑧 𝑏𝑋2 𝑥 RDC contém 𝑅𝑥1 𝑅𝑥2 2 Deslocamento no tempo 𝑥 𝑛 𝑛0 𝑋 𝑧 𝑧𝑛0 RDC 𝑅𝑥 exceto pela possível adição ou exclusão de 𝑧 0 ou 𝑧 3 Multiplicação por uma sequência exponencial 𝑧0 𝑛𝑥 𝑛 𝑋 Τ 1 𝑧0 RDC 𝑧0 𝑅𝑥 31 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Propriedades da Transformada z 4 Diferenciação de 𝑋𝑧 𝑛𝑥 𝑛 𝑧 𝑑𝑋 𝑧 𝑑𝑧 RDC 𝑅𝑥 5 Conjugação de uma sequência complexa 𝑥 𝑛 𝑋 𝑧 RDC 𝑅𝑥 6 Reflexão no tempo 𝑥 𝑛 𝑋 Τ 1 𝑧 RDC 1 𝑅𝑥 7 Convolução 𝑥1 𝑛 𝑥2 𝑛 𝑋1 𝑧 𝑋2 𝑧 RDC contém 𝑅𝑥1 𝑅𝑥2 32 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Transformada z e sistemas LIT Transformada 𝑧 e sistemas LIT A transformada z é particularmente útil na análise de sistemas LIT descritos pelas equações de diferenças 34 ℎ𝑛 𝐻𝑧 𝑦 𝑛 ℎ 𝑛 𝑥 𝑛 𝑌 𝑧 𝐻 𝑧 𝑋𝑧 𝑥𝑛 𝑋 𝑧 Exemplo 𝑦 𝑛 05𝑦 𝑛 1 𝑥 𝑛 03𝑥𝑛 2 𝑌 𝑧 05𝑌 𝑧 𝑧1 𝑋 𝑧 03𝑋 𝑧 𝑧2 𝑌 𝑧 1 05𝑧1 𝑋 𝑧 1 03𝑧2 𝐻 𝑧 𝑌 𝑧 𝑋 𝑧 1 03𝑧2 1 05𝑧1 ℎ 𝑛 𝐻𝑧 𝐻 𝑧 𝑌𝑧𝑋 𝑧 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Exercícios Exercícios 1 Calcule a transformada 𝑧 das sequências abaixo e especifique suas RDCs a 𝑥 𝑛 1 2 𝑛 𝑢 𝑛 b 𝑥 𝑛 1 2 𝑛 𝑢 𝑛 1 c 𝑥 𝑛 1 2 𝑛 𝑢 𝑛 d 𝑥 𝑛 𝛿 𝑛 e 𝑥 𝑛 𝛿 𝑛 1 f 𝑥 𝑛 𝛿 𝑛 1 g 𝑥 𝑛 1 2 𝑛 𝑢 𝑛 𝑢 𝑛 10 36 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Exercícios 2 Calcule a transformada 𝑧 inversa das funções abaixo a 𝑋 𝑧 1 11 2𝑧1 𝑧 1 2 b 𝑋 𝑧 1 11 2𝑧1 𝑧 1 2 c 𝑋 𝑧 11 2𝑧1 13 4𝑧11 8𝑧2 𝑧 1 2 d 𝑋 𝑧 11 2𝑧1 11 4𝑧2 𝑧 1 2 e 𝑋 𝑧 1𝑎𝑧1 𝑧1𝑎 𝑧 1 𝑎 37 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Referências TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR 38 Referências A V Oppenheim R W Shaefer Discretetime signal processing 3a Ed Pearson 2010 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR 39