Processamento Digital de Sinais - Aula 6 - Amostragem de Sinais de Tempo Contínuo

Processamento Digital de Sinais Aula 6 Amostragem de Sinais de Tempo Contínuo Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente Departamento de Engenharia Elétrica Sumário 1 Amostragem periódica 2 Representação da amostragem no domínio da frequência 3 Reconstrução de um sinal de banda limitada a partir de suas amostras 4 Processamento em tempo discreto de sinais de tempo contínuo 5 Invariância ao impulso 6 Mudança de taxa de amostragem 2 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Amostragem Periódica Amostragem periódica 4 Amostrandose o sinal de tempo contínuo 𝑥𝑐 𝑡 em instantes de tempo igualmente espaçados temos 𝑥 𝑛 𝑥𝑐 𝑛𝑇 𝑛 em que 𝑇 é o período de amostragem em segundos 𝑓𝑠 1𝑇 é a frequência de amostragem em amostras por segundo Ω𝑠 2𝜋𝑇 é frequência de amostragem em radianos por segundo CD 𝑥𝑐𝑡 𝑥 𝑛 𝑥𝑐𝑛𝑇 𝑇 Representação em diagrama de blocos de um conversor de tempo contínuo para tempo discreto CD ideal TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Amostragem periódica Representação matemática da amostragem 𝑥𝑠 𝑡 𝑥𝑐 𝑡 𝑠 𝑡 𝑥𝑐 𝑡 𝑛 𝛿 𝑡 𝑛𝑇 𝑛 𝑥𝑐 𝑡 𝛿 𝑡 𝑛𝑇 Aplicando a propriedade do produto pelo impulso peneiramento temos 𝑥𝑠 𝑡 𝑛 𝑥𝑐 𝑛𝑇 𝛿 𝑡 𝑛𝑇 A representação acima é conveniente para possibilitar o entendimento do processo da amostragem Não é uma apresentação aproximada dos circuitos físicos 5 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Amostragem periódica 6 Conversão de um trem de impulsos em uma sequência de tempo discreto 𝑥𝑠𝑡 𝑥 𝑛 𝑥𝑐𝑛𝑇 𝑠𝑡 𝑥𝑐𝑡 0 2𝑇 4𝑇 2𝑇 4𝑇 𝑡 𝑥𝑐𝑡 𝑥𝑠𝑡 0 𝑇 2𝑇 𝑇 2𝑇 𝑡 𝑥𝑐𝑡 𝑥𝑠𝑡 0 2 4 2 4 𝑛 𝑥𝑐𝑡 𝑥𝑛 1 3 1 3 0 2 2 𝑛 𝑥𝑐𝑡 𝑥𝑛 1 1 𝑇 𝑇1 𝑇 2𝑇1 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Representação da Amostragem no Domínio da Frequência Domínio da frequência Transformadas de Fourier de 𝑥𝑐 𝑡 e 𝑠𝑡 𝑥𝑐𝑡 𝑋c𝑗Ω 𝑠 𝑡 𝑛 𝛿 𝑡 𝑛𝑇 𝑆 𝑗Ω 2𝜋 𝑇 𝑘 𝛿 Ω 𝑘Ω𝑠 Se aplicarmos a propriedade do produto podemos obter a transformada de Fourier de 𝑥𝑠𝑡 𝑥𝑠 𝑡 𝑥𝑐 𝑡 𝑠 𝑡 𝑋𝑠 𝑗Ω 1 2𝜋 𝑋𝑐 𝑗Ω 𝑆 𝑗Ω 𝑥𝑠 𝑡 𝑥𝑐 𝑡 𝑛 𝛿 𝑡 𝑛𝑇 𝑋𝑠 𝑗Ω 1 2𝜋 𝑋𝑐 𝑗Ω 2𝜋 𝑇 𝑘 𝛿 𝑗 Ω 𝑘Ω𝑠 𝑋𝑠 𝑗Ω 1 𝑇 𝑘 𝑋𝑐 𝑗 Ω 𝑘Ω𝑠 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR 8 9 Ω Ω𝑁 Ω𝑁 𝑋𝑐𝑗Ω 1 𝑆𝑗Ω 2𝜋 𝑇 0 Ω𝑠 2Ω𝑠 Ω𝑠 2Ω𝑠 Ω 𝑋𝑠𝑗Ω 0 Ω𝑠 2Ω𝑠 Ω𝑠 2Ω𝑠 Ω Ω𝑠 Ω𝑁 1 𝑇 𝑋𝑠𝑗Ω Ω Ω𝑠 Ω𝑁 1 𝑇 0 Ω𝑠 Ω𝑠 3Ω𝑠 4Ω𝑠 2Ω𝑠 3Ω𝑠 4Ω𝑠 2Ω𝑠 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR 10 𝑋𝑠𝑗Ω 0 Ω𝑠 2Ω𝑠 Ω𝑠 2Ω𝑠 Ω 1 𝑇 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR 0 𝑓𝑠 Ω𝑠 2𝜋 2𝑓𝑠 𝑓𝑠 2𝑓𝑠 𝑓 𝑓𝑁 Ω𝑁 2𝜋 𝑓𝑁 Normalização do eixo de frequência Relação entre Ω rads e f Hz Ω𝑁 Ω𝑁 𝐻𝑟𝑗Ω 𝑇 Domínio da frequência Se Ω𝑆 Ω𝑁 Ω𝑁 ou Ω𝑆 2Ω𝑁 não há sobreposição das réplicas de 𝑋𝑐 𝑗Ω Sendo assim 𝑥𝑐𝑡 pode ser recuperado através do uso de um filtro passa baixas ideal 11 𝐻𝑟𝑗Ω 𝑥𝑠𝑡 𝑥𝑟𝑡 𝑠𝑡 𝑥𝑐𝑡 𝑋𝑟 𝑗Ω 𝐻𝑟 𝑗Ω 𝑋𝑠 𝑗Ω Filtro passabaixas ideal 𝐻𝑟 𝑗Ω ቊ𝑇 Ω Ω𝑐 0 Ω Ω𝑐 Ω𝑐 frequência de corte tal que Ω𝑁 Ω𝑐 Ω𝑠 Ω𝑁 𝑋𝑠𝑗Ω 0 Ω𝑠 Ω𝑠 Ω Ω𝑠 Ω𝑁 1 𝑇 Ω Ω𝑁 Ω𝑁 𝑋𝑐𝑗Ω 1 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR 𝑇 𝑇 Exemplo 𝑥𝑐 𝑡 cos Ω0𝑡 𝑋𝑐 𝑗Ω 𝜋𝛿 Ω Ω0 𝜋𝛿Ω Ω0 12 𝑋𝑠𝑗Ω 0 Ω𝑠 Ω𝑠 Ω Ω𝑠 2 Ω0 𝜋 𝑇 Ω𝑠 2 Ω0 𝜋 𝑇 𝜋 𝑇 Ω0 𝑋𝑠𝑗Ω 0 Ω𝑠 Ω𝑠 Ω Ω𝑠 2 Ω𝑠 2 Ω0 Ω𝑠 Ω0 𝜋 𝑇 𝜋 𝑇 Ω0 0 Ω 𝑋𝑐𝑗Ω Ω0 𝜋 𝜋 Ω0 0 Ω 𝑋𝑟 𝑗Ω Ω0 𝜋 𝜋 Ω0 0 Ω 𝑋𝑟𝑗Ω Ω𝑠 Ω0 𝜋 𝜋 Ω𝑠 Ω0 Sem aliasing Com aliasing Se Ω𝑠 2Ω𝑁 haverá sobreposição das réplicas não sendo possível recuperar 𝑋𝑐𝑗Ω através da filtragem passabaixas ideal o sinal 𝑥𝑟 𝑛 ℱ1 𝑋𝑟 𝑗Ω terá distorção de 𝑎𝑙𝑖𝑎𝑠𝑖𝑛𝑔 no tempo TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Exemplo cont 13 1 1 06 02 02 06 1 05 𝑡 normalizado cos Ω0𝑡 SEM aliasing cos Ω𝑠 Ω0 𝑡 COM aliasing TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Domínio da frequência Teorema da amostragem de NyquistShannon Seja 𝑥𝑐𝑡 um sinal banda limitada com 𝑋𝑐 𝑗Ω 0 para Ω Ω𝑁 Então 𝑥𝑐𝑡 é determinado unicamente por suas amostras 𝑥 𝑛 𝑥𝑐 𝑛𝑇 𝑛 0 1 2 se Ω𝑠 2𝜋 𝑇 2Ω𝑁 14 Ω𝑁 frequência de Nyquist 2Ω𝑁 taxa de Nyquist TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Normalização do eixo de frequência A transformada de Fourier de 𝑥𝑠 𝑡 σ𝑛 𝑥𝑐 𝑛𝑇 𝛿 𝑡 𝑛𝑇 é 𝑋𝑠 𝑗Ω 𝑛 𝑥𝑐 𝑛𝑇 𝑒𝑗Ω𝑇𝑛 Como 𝑥 𝑛 𝑥𝑐 𝑛𝑇 e 𝑋 𝑒𝑗𝜔 σ𝑛 𝑥 𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛 temos que 𝑋𝑠 𝑗Ω 𝑋 𝑒𝑗𝜔 ቚ 𝜔Ω𝑇 𝑋 𝑒𝑗Ω𝑇 Consequentemente 15 𝑋𝑠 𝑗Ω 1 𝑇 𝑘 𝑋𝑐 𝑗 Ω 𝑘Ω𝑠 𝑋 𝑒𝑗Ω𝑇 1 𝑇 𝑘 𝑋𝑐 𝑗 Ω 𝑘Ω𝑠 𝑋 𝑒𝑗𝜔 1 𝑇 𝑘 𝑋𝑐 𝑗 𝜔 𝑇 𝑘 2𝜋 𝑇 Mudança de escala em frequência Ω𝑠 em 𝑋𝑠 𝑗Ω é normalizado para 𝜔 2𝜋 em 𝑋 𝑒𝑗𝜔 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Normalização do eixo de frequência A transformação de 𝑋𝑠 𝑗Ω para 𝑋 𝑒𝑗𝜔 é um resultado direto da normalização do tempo na transformação de 𝑥𝑠 𝑡 para 𝑥 𝑛 𝑥𝑠 𝑡 tem espaçamento entre amostras 𝑇 𝑥 𝑛 tem espaçamento entre amostras unitário Na domínio da frequência o eixo da frequência é normalizado por 𝑓𝑠 1 𝑇 16 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR 17 𝑋𝑠𝑗Ω 0 Ω𝑠 2Ω𝑠 Ω𝑠 2Ω𝑠 Ω 1 𝑇 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR 0 2𝜋 Ω𝑠𝑇 Ω𝑠 𝑓𝑠 4𝜋 2𝜋 4𝜋 𝜔 0 𝑓𝑠 Ω𝑠 2𝜋 2𝑓𝑠 𝑓𝑠 2𝑓𝑠 𝑓 𝑓𝑁 Ω𝑁 2𝜋 𝑓𝑁 𝜔𝑁 𝜔𝑁 Ω𝑁𝑇 Ω𝑁 𝑓𝑠 Normalização do eixo de frequência Relação entre Ω rads f Hz e 𝜔 rad ou radamostra Ω𝑁 Ω𝑁 Exemplo Sinal de tempo contínuo 𝑥𝑐 𝑡 cos 4000𝜋𝑡 Período de amostragem 𝑇 16000 Sinal de tempo discreto 𝑥 𝑛 𝑥𝑐 𝑛𝑇 cos 4000𝜋𝑇𝑛 cos 𝜔0𝑛 com 𝜔0 4000𝜋𝑇 2𝜋3 Frequência de amostragem Ω𝑠 2𝜋 𝑇 2𝜋6000 12000𝜋 Transformada de Fourier de 𝑥𝑐𝑡 𝑋𝑐 𝑗Ω 𝜋𝛿 Ω 4000𝜋 𝜋𝛿 Ω 4000𝜋 18 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR 𝑇 𝐻𝑟 𝑗Ω 6000𝜋 6000𝜋 Exemplo 19 16000𝜋 12000𝜋 8000𝜋 4000𝜋 Ω 0 𝜋 𝑇 𝜋 𝑇 𝜋 𝑇 𝜋 𝑇 𝜋 𝑇 𝜋 𝑇 𝑋𝑠 𝑗Ω 4000𝜋 8000𝜋 16000𝜋 12000𝜋 8𝜋 3 2𝜋 4𝜋 3 2𝜋 3 𝜔 0 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝑋 𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑠𝑗𝜔𝑇 2𝜋 3 4𝜋 3 8𝜋 3 2𝜋 𝜋 𝜋 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Reconstrução de um Sinal de Banda Limitada a partir de suas Amostras Reconstrução de um sinal de banda limitada Filtro de reconstrução ideal ℎ𝑟 𝑡 sen Τ 𝜋𝑡 𝑇 Τ 𝜋𝑡 𝑇 𝐻𝑟 𝑗Ω ቊ𝑇 Ω 𝜋𝑇 0 Ω 𝜋𝑇 Conversor de sequência em trem de impulsos 𝑥 𝑛 𝑥𝑠 𝑡 𝑛 𝑥 𝑛 𝛿 𝑡 𝑛𝑇 Filtro de reconstrução ideal 𝐻𝑟 𝑗Ω 𝑥𝑟 𝑡 𝑛 𝑥 𝑛 ℎ𝑟 𝑡 𝑛𝑇 Período de amostragem 𝑇 Sistema de reconstrução ideal 0 𝜋 𝑇 𝜋 𝑇 2𝜋 𝑇 2𝜋 𝑇 Ω 𝐻𝑟 𝑗Ω 𝑇 𝑡 1 0 ℎ𝑟 𝑡 𝑇 𝑇 2𝑇 2𝑇 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR 21 𝑡 𝑇 Reconstrução de um Sinal de Banda Limitada Sinal reconstruído 𝑥𝑟 𝑡 𝑛 𝑥 𝑛 sen 𝜋 𝑡 𝑛𝑇 Τ 𝑇 𝜋 𝑡 𝑛𝑇 Τ 𝑇 22 𝑡 𝑥𝑐 𝑡 𝑡 𝑇 𝑥𝑠 𝑡 𝑥𝑟 𝑡 Interpolação com banda limitada ideal TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Reconstrução de um Sinal de Banda Limitada No domínio da frequência 𝑋𝑟 𝑗Ω ℱ 𝑛 𝑥 𝑛 ℎ𝑟 𝑡 𝑛𝑇 𝑛 𝑥 𝑛 𝐻𝑟 𝑗Ω 𝑒𝑗Ω𝑇𝑛 𝑋𝑟 𝑗Ω 𝐻𝑟 𝑗Ω 𝑋 𝑒𝑗Ω𝑇 23 Converso de sequência em trem de impulsos 𝑥 𝑛 𝑥𝑠 𝑡 Filtro de reconstrução ideal 𝐻𝑟 𝑗Ω 𝑥𝑟 𝑡 Período de amostragem 𝑇 DC 𝑥 𝑛 𝑥𝑟 𝑡 𝑇 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Processamento em Tempo Discreto de Sinais de Tempo Contínuo Processamento em tempo discreto de sinais de tempo contínuo Sinal na saída do conversor CD 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛𝑇 Sinal na saída do conversor DC 𝑦𝑟 𝑡 𝑛 𝑦 𝑛 sen 𝜋 𝑡 𝑛𝑇 Τ 𝑇 𝜋 𝑡 𝑛𝑇 𝑇 𝑌𝑟 𝑗Ω ℱ 𝑦𝑟 𝑡 𝐻𝑟 𝑗Ω 𝑌 𝑒𝑗Ω𝑇 ൝𝑇𝑌 𝑒𝑗Ω𝑇 Ω Τ 𝜋 𝑇 0 caso contrário DC 𝑦 𝑛 𝑦𝑟 𝑡 𝑇 CD 𝑥𝑐 𝑡 𝑥𝑛 𝑇 Sistema de tempo discreto TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR 25 Sistema LIT Saída amostrada 𝑌 𝑒𝑗𝜔 𝐻 𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 Saída reconstruída 𝑌𝑟 𝑗Ω 𝐻𝑟 𝑗Ω 𝐻 𝑒𝑗Ω𝑇 𝑋 𝑒𝑗Ω𝑇 𝑌𝑟 𝑗Ω 𝐻𝑟 𝑗Ω 𝐻 𝑒𝑗Ω𝑇 1 𝑇 𝑘 𝑋𝑐 𝑗 Ω 𝑘 2𝜋 𝑇 O filtro de reconstrução passabaixas ideal 𝐻𝑟𝑗Ω cancela o fator 1𝑇 𝑌𝑟 𝑗Ω ൝𝐻 𝑒𝑗Ω𝑇 𝑋𝑐 𝑗Ω Ω 𝜋𝑇 0 Ω 𝜋𝑇 A saída está relacionada à entrada por uma equação na forma 𝑌𝑟 𝑗Ω 𝐻eff 𝑗Ω 𝑋𝑐 𝑗Ω com 𝐻eff 𝑗Ω ൝𝐻 𝑒𝑗Ω𝑇 Ω 𝜋𝑇 0 Ω 𝜋𝑇 26 Resposta em frequência efetiva TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Exemplo filtragem passabaixa ideal 27 𝜔𝑐 𝜔𝑐 𝜔 2𝜋 2𝜋 1 𝐻 𝑒𝑗𝜔 𝜔𝑐 𝑇 𝜔𝑐 𝑇 Ω 1 𝐻𝑒𝑓𝑓 𝑗Ω Resposta em frequência do sistema de tempo discreto Resposta em frequência do sistema de tempo contínuo efetiva correspondente para entradas banda limitada TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR 𝐻𝑟 𝑗Ω 𝑇 𝐻 𝑒𝑗𝜔 Exemplo filtragem passabaixa ideal 28 𝑋𝑠 𝑗Ω 𝑋 𝑒𝑗Ω𝑇 0 2𝜋 𝑇 2𝜋 𝑇 Ω 2𝜋 𝑇 Ω𝑁 𝜋 𝑇 Ω𝑁 𝜋 𝑇 1 𝑇 Ω Ω𝑁 Ω𝑁 𝑋𝑐𝑗Ω 1 𝑋 𝑒𝑗𝜔 0 2𝜋 2𝜋 𝜔 2𝜋 Ω𝑁𝑇 Ω𝑁𝑇 Ω𝑁𝑇 𝜔𝑐 𝜔𝑐 1 𝑇 𝑌 𝑒𝑗𝜔 0 2𝜋 2𝜋 𝜔 𝜔𝑐 𝜔𝑐 1 𝑇 𝑌𝑟 𝑗Ω 0 Ω 𝜔𝑐 𝑇 𝜔𝑐 𝑇 1 2𝜋 𝑇 𝑌 𝑒𝑗Ω𝑇 0 2𝜋 𝑇 Ω 𝜔𝑐 𝑇 𝜔𝑐 𝑇 𝜋 𝑇 𝜋 𝑇 1 𝑇 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Invariância ao Impulso Invariância ao impulso Queremos implementar um sistema equivalente do tempo contínuo no tempo discreto ou seja 𝐻 𝑒𝑗𝜔 𝐻𝑐 Τ 𝑗𝜔 𝑇 𝜔 𝜋 em que 𝑇 deve ser escolhido de forma que 𝐻𝑐 𝑗Ω 0 Ω Τ 𝜋 𝑇 Como consequência ℎ 𝑛 𝑇ℎ𝑐 𝑛𝑇 com 𝑇 sendo um fator escala 𝑦𝑟 𝑡 Sistema de tempo contínuo ℎ𝑐 𝑡 𝐻𝑐𝑗Ω 𝑥𝑐 𝑡 DC 𝑦 𝑛 𝑦𝑟 𝑡 𝑇 CD 𝑥𝑐 𝑡 𝑥𝑛 𝑇 Sistema de tempo discreto ℎ𝑛 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝐻eff 𝑗Ω 𝐻𝑐 𝑗Ω Quando ℎ𝑛 e ℎ𝑐𝑡 relacionamse conforme acima o sistema de tempo discreto é considerado uma versão invariante ao impulso do sistema de tempo contínuo TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR 30 Exemplo 1 Queremos obter um filtro passabaixas ideal de tempo discreto com frequência de corte 𝜔𝑐 𝜋 Uma forma de fazer isso é amostrando um filtro passabaixas ideal de tempo contínuo com frequência de corte Ω𝑐 𝜔𝑐 𝑇 𝜋 𝑇 Filtro passabaixas ideal ℎ𝑐 𝑡 sen Ω𝑐𝑡 𝜋𝑡 𝐻𝑐 𝑗Ω ቊ1 Ω Ω𝑐 0 Ω Ω𝑐 Amostragem de ℎ𝑐𝑡 ℎ 𝑛 𝑇ℎ𝑐 𝑛𝑇 𝑇 sen Ω𝑐𝑛𝑇 𝜋𝑛𝑇 sen 𝜔𝑐𝑛 𝜋𝑛 com 𝜔𝑐 Ω𝑐𝑇 Resposta em frequência 𝐻 𝑒𝑗𝜔 𝐻𝑐 Τ 𝑗𝜔 𝑇 ቊ1 𝜔 𝜔𝑐 0 𝜔𝑐 𝜔 𝜋 31 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Mudanças de Taxa de Amostragem Usando Processamento no Tempo Discreto 33 Decimação Decimar um sinal discreto 𝑥𝑛 por um fator 𝑀 é o mesmo que reduzir a sua taxa de amostragem 𝑀 vezes A relação entre o sinal decimado e o sinal original é dada por 𝑥𝑑 𝑛 𝑥 𝑛𝑀 𝑥𝑐𝑛𝑀𝑇 34 𝑀 𝑥𝑛 𝑥d 𝑛 𝑥 𝑛𝑀 𝑛 7 8 9 10 11 6 𝑥 𝑛 0 1 2 3 4 5 𝑛 4 5 3 0 1 2 𝑥d 𝑛 Exemplo Decimação por um fator 𝑀 2 𝑥d 𝑛 𝑥 0 𝑥 2 𝑥 4 𝑥 6 Período de amostragem 𝑇 Período de amostragem 𝑇𝑑 𝑀𝑇 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Decimação Sendo 𝑥𝑐𝑡 𝑋𝑐𝑗Ω o espectro do sinal decimado no domínio da frequência é dado por 𝑋𝑑 𝑒𝑗𝜔 1 𝑀𝑇 𝑟 𝑋𝑐 𝑗 𝜔 𝑀𝑇 2𝜋𝑟 𝑀𝑇 Se 𝑟 𝑖 𝑘𝑀 com 𝑘 e 0 𝑖 𝑀 1 temos 𝑋𝑑 𝑒𝑗𝜔 1 𝑀 𝑖0 𝑀1 1 𝑇 𝑘 𝑋𝑐 𝑗 𝜔 2𝜋𝑖 𝑀𝑇 2𝜋𝑘 𝑇 35 𝑋𝑑 𝑒𝑗𝜔 1 𝑀 𝑖0 𝑀1 𝑋 𝑒𝑗 𝜔2𝜋𝑖 𝑀 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Exemplo 36 𝑋𝑠 𝑗Ω 𝑋 𝑒𝑗Ω𝑇 0 Ω 2𝜋 𝑇 2𝜋 𝑇 Ω𝑁 1 𝑇 Ω𝑁 Ω Ω𝑁 Ω𝑁 𝑋𝑐𝑗Ω 1 𝑋 𝑒𝑗𝜔 0 𝜔 Ω𝑇 2𝜋 2𝜋 𝜋 𝜋 𝜔𝑁 Ω𝑁𝑇 1 𝑇 𝜔𝑁 𝑋𝑑 𝑒𝑗𝜔 1 2 𝑋 𝑒𝑗𝜔2 𝑋 𝑒𝑗 𝜔2𝜋 2 0 𝜔 Ω𝑇𝑑 2𝜋 2𝜋 𝜋 𝜋 1 𝑀𝑇 𝑀 2 𝑋𝑑 𝑒𝑗Ω𝑇𝑑 0 Ω 𝜔 𝑇𝑑 4𝜋 𝑇𝑑 2𝜋 𝑇 2𝜋 𝑇𝑑 2𝜋 𝑇𝑑 4𝜋 𝑇𝑑 1 𝑇𝑑 𝑀 2 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Decimação Para evitar aliasing após a decimação a largura de faixa de 𝑥𝑛 tem que ser limitada no intervalo 𝜋 𝑀 𝜋 𝑀 Portando a operação de decimação é geralmente precedida de um filtro passabaixas que aproxima a seguinte resposta em frequência 𝐻𝑑 𝑒𝑗𝜔 ቐ1 𝜔 𝜋 𝑀 𝜋 𝑀 0 caso contrário 37 𝑀 𝑥𝑛 𝑥𝑑 𝑛 𝑥 𝑛𝑀 Filtro passabaixas Ganho 1 Frequência de corte 𝜋𝑀 𝑥𝑛 Período de amostragem 𝑇 Período de amostragem 𝑇𝑑 𝑀𝑇 Período de amostragem 𝑇 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Exemplo subamostragem com aliasing 38 Ω Ω𝑁 Ω𝑁 𝑋𝑐𝑗Ω 1 𝑋 𝑒𝑗𝜔 0 𝜔 Ω𝑇 2𝜋 2𝜋 𝜋 𝜋 𝜔𝑁 𝜋 2 1 𝑇 𝜔𝑁 𝑋𝑑 𝑒𝑗𝜔 0 𝜔 Ω𝑇𝑑 2𝜋 3𝜋 2 𝜋 2 2𝜋 𝜋 𝜋 1 𝑀𝑇 𝑀 3 2𝜋 2𝜋 𝜔 𝐻𝑑 𝑒𝑗𝜔 𝜔𝑐 𝜋 𝑀 𝜋 𝑀 1 𝜋 𝜋 ෨𝑋 𝑒𝑗𝜔 𝐻𝑑 𝑒𝑗𝜔 𝑋 𝑒𝑗𝜔 0 𝜔 Ω𝑇 2𝜋 2𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝑀 𝜋 3 1 𝑇 𝜋 3 ෨𝑋𝑑 𝑒𝑗𝜔 0 𝜔 Ω𝑇𝑑 2𝜋 2𝜋 𝜋 𝜋 1 𝑀𝑇 𝑀 3 Subamostragem com aliasing Subamostragem com préfiltragem para evitar aliasing TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Interpolação Aumentar taxa de amostragem de um sinal discreto 𝑥𝑛 por um fator 𝐿 é incluir 𝐿 1 zeros entre cada duas amostras suas A relação entre o sinal superamostrado e o sinal original é dada por 39 𝑛 7 8 9 10 11 6 𝑥𝑖 𝑛 0 1 2 3 4 5 𝑛 4 5 3 0 1 2 𝑥 𝑛 Exemplo Interpolação por um fator 𝐿 2 𝑛 8 10 6 𝑥𝑒 𝑛 0 2 4 7 9 11 1 3 5 𝐿 𝑥𝑒 𝑛 Filtro passabaixas Ganho 𝐿 Freq de corte 𝜋𝐿 𝑥𝑛 𝑇 𝑇𝑖 𝑇 𝐿 𝑥𝑖 𝑛 𝑇𝑖 𝑇 𝐿 𝑥𝑒 𝑛 ቊ𝑥 Τ 𝑛 𝐿 𝑥𝑐 Τ 𝑛𝑇 𝐿 𝑛 0 𝐿 2𝐿 0 caso contrário O sinal interpolado é dado por 𝑥𝑖 𝑛 𝑥𝑒 𝑛 ℎ𝑖 𝑛 em que ℎ𝑖𝑛 é o filtro de interpolação TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Interpolação Saída do expansor no domínio do tempo 𝑥𝑒 𝑛 𝑘 𝑥 𝑘 𝛿 𝑛 𝑘𝐿 Saída do expansor no domínio da frequência 𝑋𝑒 𝑒𝑗𝜔 𝑛 𝑘 𝑥 𝑘 𝛿 𝑛 𝑘𝐿 𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑘 𝑥 𝑘 𝑒𝑗𝜔𝑘𝐿 𝑋 𝑒𝑗𝜔𝐿 Note que 𝜔 é substituído por 𝜔𝐿 de modo que 𝜔 agora é normalizado por 𝜔 Ω𝑇 𝐿 Ω𝑇𝑖 40 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Exemplo interpolação com filtro ideal 41 Ω Ω𝑁 Ω𝑁 𝑋𝑐𝑗Ω 1 𝑋 𝑒𝑗𝜔 0 𝜔 Ω𝑇 2𝜋 2𝜋 𝜋 𝜋 1 𝑇 2𝜋 2𝜋 𝜔 Ω𝑇𝑖 𝐻𝑖 𝑒𝑗𝜔 𝜋 𝐿 𝜋 𝐿 𝐿 𝜋 𝜋 𝑋𝑒 𝑒𝑗𝜔 𝑋 𝑒𝑗𝜔𝐿 0 𝜔 Ω𝑇𝑖 4𝜋 𝐿 2𝜋 4𝜋 𝐿 2𝜋 𝐿 2𝜋 𝐿 𝜋 𝐿 𝜋 𝐿 1 𝑇 𝐿 2 𝑋𝑖 𝑒𝑗𝜔 0 𝜔 Ω𝑇𝑖 2𝜋 2𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝐿 𝜋 𝐿 1 𝑇𝑖 𝐿 𝑇 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Interpolação com filtro ideal Filtro passabaixas ideal ℎ𝑖 𝑛 sen 𝜋𝑛𝐿 𝜋𝑛𝐿 𝐻𝑖 𝑒𝑗𝜔 ቊ𝐿 𝜔 Τ 𝜋 𝐿 Τ 𝜋 𝐿 0 caso contrário Saída do interpolador 𝑥𝑖 𝑛 𝑘 𝑥 𝑘 𝛿 𝑛 𝑘𝐿 ℎ𝑖 𝑛 𝑘 𝑥 𝑘 ℎ𝑖 𝑛 𝑘𝐿 𝑥𝑖 𝑛 𝑘 𝑥 𝑘 sen 𝜋 𝑛 𝑘𝐿 Τ 𝐿 𝜋 𝑛 𝑘𝐿 Τ 𝐿 Note que 42 ℎ𝑖 0 1 ℎ𝑖 𝑛 0 𝑛 𝐿 2𝐿 𝑥𝑖 𝑛 𝑥 Τ 𝑛 𝐿 𝑥𝑐 Τ 𝑛𝑇 𝐿 𝑥𝑐 𝑛𝑇𝑖 𝑛 0 𝐿 2𝐿 3𝐿 A partir de análise no domínio da frequência concluise que 𝑥𝑖 𝑛 𝑥𝑐 𝑛𝑇𝑖 para todo o 𝑛 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Interpolação com filtro linear Reposta ao impulso ℎlin 𝑛 ቊ1 𝑛 Τ 𝐿 𝑛 𝐿 0 𝑛 𝐿 43 𝑛 0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 6 1 Τ 4 5 Τ 3 5 Τ 2 5 Τ 1 5 ℎlin 𝑛 𝐿 5 𝑘 0 𝐿 2𝐿 3𝐿 4𝐿 5𝐿 𝑛 ℎlin 𝑛 𝑘 𝑥𝑒 𝑘 𝐿 5 𝑘 0 𝐿 2𝐿 3𝐿 4𝐿 5𝐿 𝑥lin 𝑛 Sinal interpolado 𝑥𝑙𝑖𝑛 𝑛 𝑘𝑛𝐿1 𝑛𝐿1 𝑥𝑒 𝑘 ℎlin𝑛 𝑘 Exemplo TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Interpolação com filtro linear Resposta em frequência do interpolador linear comparada com a do filtro de interpolação passabaixas ideal 44 𝜋 5 2𝜋 5 4𝜋 5 𝜋 𝐿 𝐿 5 𝐻𝑖 𝑒𝑗𝜔 𝐻lin 𝑒𝑗𝜔 𝜔 𝜋 5 2𝜋 5 4𝜋 5 𝜋 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Mudança de taxa por um fator não inteiro 45 𝑇 𝑇 𝐿 𝑇 𝐿 𝑇𝑀 𝐿 𝑇 𝐿 𝐿 𝑥𝑒 𝑛 Filtro passabaixas Ganho 𝐿 Freq de corte min Τ 𝜋 𝐿 𝜋𝑀 𝑥𝑛 𝑥𝑖 𝑛 𝑀 𝑥𝑑 𝑛 𝐿 𝑥𝑒 𝑛 Filtro passabaixas Ganho 𝐿 Freq de corte 𝜋𝐿 𝑥𝑛 𝑥𝑖 𝑛 𝑀 𝑥𝑖𝑛 𝑥𝑑 𝑛 Filtro passabaixas Ganho 1 Freq de corte 𝜋𝑀 Interpolador Decimador 𝑇 𝑇 𝐿 𝑇 𝐿 𝑇𝑀 𝐿 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR Referências Referências A V Oppenheim R W Shaefer Discretetime signal processing 3ª Edição Pearson 2010 47 TE352 Processamento Digital de Sinais I 20242 Profs Ândrei Camponogara e Eduardo Parente DELTUFPR