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Decaimento Radioativo\n\nComo se pode ver na Fig. 42-5, a maioria dos núcleos conhecidos são radioativos. Os núcleos radioativos emitem espontaneamente uma ou mais partículas, transformando-se em outros núcleos, que ocupam um lugar diferente na carta de núcleos.\n\nO decaimento radioativo foi a primeira indicação de que as leis que governam o mundo subatômico são estatísticas. Considere, por exemplo, uma amostra de 1 mg de tório. A amostra contém 2,5 × 10^18 átomos de radionuclídio de longa vida 238U. Os átomos presentes na amostra foram criados em supernovas, provavelmente muito antes da formação do sistema solar. Em um segundo, apenas 12 dos núcleos presentes na amostra se desintegram, emitindo uma partícula alfa para se transformar em núcleos de 234Th. Entretanto,\n\nNão existe nenhum meio de prever se um dado núcleo de uma amostra radioativa estará entre os que decairão no segundo seguinte. Embora seja impossível prever quais serão os núcleos a decair, podemos dizer que se uma amostra contém N núcleos radioativos, a taxa de decaimento dos núcleos, -dN/dt, é proporcional a N:\n\n-dN/dt = λN, (42-11)\n\nem que λ, a constante de desintegração (ou constante de decaimento) tem um valor diferente para cada radionuclídio. A unidade de λ no SI é o inverso do segundo (s^-1).\n\nPara determinar N em função do tempo t, separaremos as variáveis da Eq. 42-11, o que nos dá\ndN/N = -λ dt, (42-12)\n\ne integramos ambos os membros, obtendo\n\n∫(N/N0)dN = -λ∫dt. ou\n\nln N – ln N0 = -λ(t – t0). (42-13)\n\nen que N0 é o número de núcleos radioativos em um instante inicial arbitrário t0. Fazendo t0 = 0 e transformando a diferença de logaritmos no logaritmo de uma fração, obtemos:\n\n ln(N/N0) = -λt. (42-14)\n\nTomando o exponencial de ambos os membros (a função exponencial é a função inversa do logaritmo natural), obtemos:\n\n N/N0 = e^-λt.\n\nou\n\n N = N0e^-λt (decaimento radioativo). (42-15)\n\nen que N é o número de núcleos radioativos no instante t = 0 e N é o número de núcleos que restam na amostra em um instante t > 0. Observe que as lâmpadas elétricas (para dar um exemplo) não obedecem a uma lei semelhante. Se medirmos a vida útil de 1000 lâmpadas, todas \"decairão\" (ou seja, queimaram) dentro de um intervalo de tempo relativamente estreito. O decaimento dos radionuclídios segue uma lei muito diferente. Frequentemente, estamos mais interessados na taxa de decaimento R (e = -dN/dt) que no valor de N. Derivando a Eq. 42-15 em relação ao tempo, obtemos:\nR = -dN/dt\nou\nR = R0 e^(-λt) (decaimento radioativo),\n\nque pode ser considerada uma forma alternativa da lei do decaimento radioativo.\n\n(Eq. 42-15). Na Eq. 42-16, R e é a taxa de decaimento no instante t = 0 e R é a taxa de decaimento em um instante t > 0. Podemos escrever a Eq. 42-11 em termos da taxa de decaimento R da amostra:\nR = λN,\n\nem que R e N, o número de núcleos radioativos que ainda não decaíram, devem ser calculados ou medidos para o mesmo valor de t. A soma das taxas de decaimento R de todos os radionuclídeos presentes em uma amostra é chamada de atividade da amostra. A unidade de atividade no SI recebe o nome de becquerel em homenagem a Henri Becquerel, o descobridor da radioatividade:\n1 becquerel = 1 Bq = 1 decaimento por segundo.\n\nUma unidade mais antiga, o curie, continua a ser usada até hoje:\n1 curie = 1 Ci = 3,7 x 10^10 Bq.\n\nEis um exemplo do uso dessas unidades: \"A atividade da barra de combustível #5658 no dia 15 de janeiro de 2004 era 3,5 x 10^5 Bq (= 9,5 x 10^10 Ci)\". Isso significa que, nesse dia, 3,5 x 10^5 átomos radioativos da barra de combustível nuclear estavam decaindo por segundo. Frequentemente, uma amostra radioativa é colocada nas proximidades de um detector que, por motivos de geometria ou de falta de sensibilidade, não registra todas as desintegrações ocorridas na amostra. Nesse caso, a leitura do detector é menor que a atividade da amostra, embora, em muitos casos, possa ser considerada proporcional à atividade. Medidas desse tipo não são expressas em becquerels e sim em contagens por unidade de tempo.\n\nExistem duas medidas principais de tempo de sobrevivência de um tipo particular de radioisótopo. Uma dessas medidas é a meia-vida T1/2 de um radionuclídeo, que é o tempo necessário para que N e R caiam a metade do valor inicial; outra é a vida média τ, que é o tempo necessário para que N e R caiam a 1/e do valor inicial.\n\nPara determinar a relação entre T1/2 e a constante de desintegração λ, fazemos R = R0/e^(-λt) na Eq. 42-16 e substituímos t por T1/2, obtendo a seguinte equação:\n1/2 R0 = R0 e^(-λT1/2).\n\nTomando o logaritmo natural de ambos os membros e explicitando T1/2, obtemos:\nT1/2 = ln 2 / λ.\n\nDa mesma forma, para relacionar R a λ, fazemos R = R0 e^(-λt) na Eq. 42-16, substituímos t por τ e explicitamos τ, obtendo τ = 1 / λ. Esses resultados podem ser resumidos da seguinte forma:\n\nT_{1/2} = \\frac{\\ln 2}{\\lambda} = \\tau \\ln 2.\n\nExemplo\n\nDeterminação da constante de desintegração\ne da meia-vida a partir de um gráfico\n\nA tabela a seguir mostra a taxa de decaimento para vários intervalos de tempo de uma amostra de 1g, um radionuclídio muito usado na medicina, especialmente para mar-cação da rapidez com a qual o os-cópio pelo glândula\n\n\\begin{tabular}{|c|c|}\n\\hline\nTempo (min) & R \\\\\n\\hline\n392.2 & 132 \\\\\n164 & 4.56 \\\\\n66 & 66.8 \\\\\n30 & 1.86 \\\\\n21 & 1.00 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\nDetermine a constante de desintegração \\lambda e a meia-vida T_{1/2} do 131I. Cálculos Tomando o logaritmo natural de ambos os membros da Eq. 42-16, obtemos\n\n\\ln R = \\ln(R_{0}-x_{t}) = \\ln R_{0} + \\ln(e^{-\\lambda t}) \n\n(42-19)\n\nComo a Eq. 42-19 é da forma y = b + mx, com b e m constantes, a equação de \\ln R em função de t é a equação de uma linha reta. Assim, se plotarmos \\ln R (em vez de R) em função de t, devemos obter uma linha reta. Além disso, a inclinação da reta será igual a -\\lambda.\n\nAssim,\n\n\\inclinação = \\frac{225-20}{25-10} = -0.276 \\ \\text{min}^{-1}.\n\nAssim,\n\n\\lambda = 0.276 \\ \\text{min}^{-1}. \\text{(Resposta)}\n\nO tempo que a taxa de decaimento leva para diminuir é medido está relacionado à constante de desintegração \\lambda através da Eq. 42-18 [T_{1/2} = \\frac{\\ln 2}{\\lambda}]. Assim, temos:\n\nT_{1/2} = \\frac{\\ln 2}{0.276 \\ \\text{min}^{-1}} = 25 \\ \\text{min.} \\text{(Resposta)} Exemplo\n\nDeterminação da meia-vida a partir da atividade e da massa\n\nUma amostra de 2,71 g de KCl encontrada em um depósito de produtos químicos e radiativa e está decaindo a uma taxa constante de 44,90 Bq. As desintegrações são atribuídas ao elemento potássio e em particular ao isótopo 40K, que está presente no estado natural com uma abundância de 0,0117%. Determine a meia-vida desse nuclídeo.\n\nCálculos\n\n1. Como a atividade R da amostra é aparentemente cons-tante, não podemos determinar a meia-vida T_{1/2} plotando o logaritmo de R em função de t, como fizemos no an-terior e resolvemos para T_{2 = 0}. Portanto, podemos prosseguir para as ideias:\n\n2. Podemos relacionar a meia-vida T_{1/2} à constante de desintegração \\lambda através da Eq. 42-18 [T_{1/2} = \\frac{\\ln 2}{\\lambda}]. A atividade R através da Eq. 42-17 (R = N \\lambda), em que N é o número de núcleos presentes na amostra. Cálculos Combinando as Eqs. 42-18 e 42-17, obtemos:\n\n T = N ln 2.\n \n (42-20)\n\nSabemos que Na na Eq. 42-20 é 0,01174% do número total N da átomos de rótulo da amostra. Sabemos também que Na está igual ao número NCX da moléculas da amostra. Podemos determinar o valor de NCX a partir da massa molar Mdx de KCl e da massa da amostra Ma, combinando as Eqs. 19-2 (n = N/Na) e 19-3:\n\n NCX = número de\n mols\n = Ma/Mdx\n Na.\n \n (42-21)\n\nonde Na é o número de Avogadro (6.02 X 10²³ mol⁻¹).\n Consultando o Apêndice E, vemos que a massa molar do sódio é 22.99 g/mol e a massa molar do cloro é 35.45 g/mol; essa massa molar do KCl é 74.555 g/mol.\n\n NCX = (271.61g/0.22g mol⁻¹) = 2.188 X 10²²\n 74.555 g/mol
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Decaimento Radioativo\n\nComo se pode ver na Fig. 42-5, a maioria dos núcleos conhecidos são radioativos. Os núcleos radioativos emitem espontaneamente uma ou mais partículas, transformando-se em outros núcleos, que ocupam um lugar diferente na carta de núcleos.\n\nO decaimento radioativo foi a primeira indicação de que as leis que governam o mundo subatômico são estatísticas. Considere, por exemplo, uma amostra de 1 mg de tório. A amostra contém 2,5 × 10^18 átomos de radionuclídio de longa vida 238U. Os átomos presentes na amostra foram criados em supernovas, provavelmente muito antes da formação do sistema solar. Em um segundo, apenas 12 dos núcleos presentes na amostra se desintegram, emitindo uma partícula alfa para se transformar em núcleos de 234Th. Entretanto,\n\nNão existe nenhum meio de prever se um dado núcleo de uma amostra radioativa estará entre os que decairão no segundo seguinte. Embora seja impossível prever quais serão os núcleos a decair, podemos dizer que se uma amostra contém N núcleos radioativos, a taxa de decaimento dos núcleos, -dN/dt, é proporcional a N:\n\n-dN/dt = λN, (42-11)\n\nem que λ, a constante de desintegração (ou constante de decaimento) tem um valor diferente para cada radionuclídio. A unidade de λ no SI é o inverso do segundo (s^-1).\n\nPara determinar N em função do tempo t, separaremos as variáveis da Eq. 42-11, o que nos dá\ndN/N = -λ dt, (42-12)\n\ne integramos ambos os membros, obtendo\n\n∫(N/N0)dN = -λ∫dt. ou\n\nln N – ln N0 = -λ(t – t0). (42-13)\n\nen que N0 é o número de núcleos radioativos em um instante inicial arbitrário t0. Fazendo t0 = 0 e transformando a diferença de logaritmos no logaritmo de uma fração, obtemos:\n\n ln(N/N0) = -λt. (42-14)\n\nTomando o exponencial de ambos os membros (a função exponencial é a função inversa do logaritmo natural), obtemos:\n\n N/N0 = e^-λt.\n\nou\n\n N = N0e^-λt (decaimento radioativo). (42-15)\n\nen que N é o número de núcleos radioativos no instante t = 0 e N é o número de núcleos que restam na amostra em um instante t > 0. Observe que as lâmpadas elétricas (para dar um exemplo) não obedecem a uma lei semelhante. Se medirmos a vida útil de 1000 lâmpadas, todas \"decairão\" (ou seja, queimaram) dentro de um intervalo de tempo relativamente estreito. O decaimento dos radionuclídios segue uma lei muito diferente. Frequentemente, estamos mais interessados na taxa de decaimento R (e = -dN/dt) que no valor de N. Derivando a Eq. 42-15 em relação ao tempo, obtemos:\nR = -dN/dt\nou\nR = R0 e^(-λt) (decaimento radioativo),\n\nque pode ser considerada uma forma alternativa da lei do decaimento radioativo.\n\n(Eq. 42-15). Na Eq. 42-16, R e é a taxa de decaimento no instante t = 0 e R é a taxa de decaimento em um instante t > 0. Podemos escrever a Eq. 42-11 em termos da taxa de decaimento R da amostra:\nR = λN,\n\nem que R e N, o número de núcleos radioativos que ainda não decaíram, devem ser calculados ou medidos para o mesmo valor de t. A soma das taxas de decaimento R de todos os radionuclídeos presentes em uma amostra é chamada de atividade da amostra. A unidade de atividade no SI recebe o nome de becquerel em homenagem a Henri Becquerel, o descobridor da radioatividade:\n1 becquerel = 1 Bq = 1 decaimento por segundo.\n\nUma unidade mais antiga, o curie, continua a ser usada até hoje:\n1 curie = 1 Ci = 3,7 x 10^10 Bq.\n\nEis um exemplo do uso dessas unidades: \"A atividade da barra de combustível #5658 no dia 15 de janeiro de 2004 era 3,5 x 10^5 Bq (= 9,5 x 10^10 Ci)\". Isso significa que, nesse dia, 3,5 x 10^5 átomos radioativos da barra de combustível nuclear estavam decaindo por segundo. Frequentemente, uma amostra radioativa é colocada nas proximidades de um detector que, por motivos de geometria ou de falta de sensibilidade, não registra todas as desintegrações ocorridas na amostra. Nesse caso, a leitura do detector é menor que a atividade da amostra, embora, em muitos casos, possa ser considerada proporcional à atividade. Medidas desse tipo não são expressas em becquerels e sim em contagens por unidade de tempo.\n\nExistem duas medidas principais de tempo de sobrevivência de um tipo particular de radioisótopo. Uma dessas medidas é a meia-vida T1/2 de um radionuclídeo, que é o tempo necessário para que N e R caiam a metade do valor inicial; outra é a vida média τ, que é o tempo necessário para que N e R caiam a 1/e do valor inicial.\n\nPara determinar a relação entre T1/2 e a constante de desintegração λ, fazemos R = R0/e^(-λt) na Eq. 42-16 e substituímos t por T1/2, obtendo a seguinte equação:\n1/2 R0 = R0 e^(-λT1/2).\n\nTomando o logaritmo natural de ambos os membros e explicitando T1/2, obtemos:\nT1/2 = ln 2 / λ.\n\nDa mesma forma, para relacionar R a λ, fazemos R = R0 e^(-λt) na Eq. 42-16, substituímos t por τ e explicitamos τ, obtendo τ = 1 / λ. Esses resultados podem ser resumidos da seguinte forma:\n\nT_{1/2} = \\frac{\\ln 2}{\\lambda} = \\tau \\ln 2.\n\nExemplo\n\nDeterminação da constante de desintegração\ne da meia-vida a partir de um gráfico\n\nA tabela a seguir mostra a taxa de decaimento para vários intervalos de tempo de uma amostra de 1g, um radionuclídio muito usado na medicina, especialmente para mar-cação da rapidez com a qual o os-cópio pelo glândula\n\n\\begin{tabular}{|c|c|}\n\\hline\nTempo (min) & R \\\\\n\\hline\n392.2 & 132 \\\\\n164 & 4.56 \\\\\n66 & 66.8 \\\\\n30 & 1.86 \\\\\n21 & 1.00 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\nDetermine a constante de desintegração \\lambda e a meia-vida T_{1/2} do 131I. Cálculos Tomando o logaritmo natural de ambos os membros da Eq. 42-16, obtemos\n\n\\ln R = \\ln(R_{0}-x_{t}) = \\ln R_{0} + \\ln(e^{-\\lambda t}) \n\n(42-19)\n\nComo a Eq. 42-19 é da forma y = b + mx, com b e m constantes, a equação de \\ln R em função de t é a equação de uma linha reta. Assim, se plotarmos \\ln R (em vez de R) em função de t, devemos obter uma linha reta. Além disso, a inclinação da reta será igual a -\\lambda.\n\nAssim,\n\n\\inclinação = \\frac{225-20}{25-10} = -0.276 \\ \\text{min}^{-1}.\n\nAssim,\n\n\\lambda = 0.276 \\ \\text{min}^{-1}. \\text{(Resposta)}\n\nO tempo que a taxa de decaimento leva para diminuir é medido está relacionado à constante de desintegração \\lambda através da Eq. 42-18 [T_{1/2} = \\frac{\\ln 2}{\\lambda}]. Assim, temos:\n\nT_{1/2} = \\frac{\\ln 2}{0.276 \\ \\text{min}^{-1}} = 25 \\ \\text{min.} \\text{(Resposta)} Exemplo\n\nDeterminação da meia-vida a partir da atividade e da massa\n\nUma amostra de 2,71 g de KCl encontrada em um depósito de produtos químicos e radiativa e está decaindo a uma taxa constante de 44,90 Bq. As desintegrações são atribuídas ao elemento potássio e em particular ao isótopo 40K, que está presente no estado natural com uma abundância de 0,0117%. Determine a meia-vida desse nuclídeo.\n\nCálculos\n\n1. Como a atividade R da amostra é aparentemente cons-tante, não podemos determinar a meia-vida T_{1/2} plotando o logaritmo de R em função de t, como fizemos no an-terior e resolvemos para T_{2 = 0}. Portanto, podemos prosseguir para as ideias:\n\n2. Podemos relacionar a meia-vida T_{1/2} à constante de desintegração \\lambda através da Eq. 42-18 [T_{1/2} = \\frac{\\ln 2}{\\lambda}]. A atividade R através da Eq. 42-17 (R = N \\lambda), em que N é o número de núcleos presentes na amostra. Cálculos Combinando as Eqs. 42-18 e 42-17, obtemos:\n\n T = N ln 2.\n \n (42-20)\n\nSabemos que Na na Eq. 42-20 é 0,01174% do número total N da átomos de rótulo da amostra. Sabemos também que Na está igual ao número NCX da moléculas da amostra. Podemos determinar o valor de NCX a partir da massa molar Mdx de KCl e da massa da amostra Ma, combinando as Eqs. 19-2 (n = N/Na) e 19-3:\n\n NCX = número de\n mols\n = Ma/Mdx\n Na.\n \n (42-21)\n\nonde Na é o número de Avogadro (6.02 X 10²³ mol⁻¹).\n Consultando o Apêndice E, vemos que a massa molar do sódio é 22.99 g/mol e a massa molar do cloro é 35.45 g/mol; essa massa molar do KCl é 74.555 g/mol.\n\n NCX = (271.61g/0.22g mol⁻¹) = 2.188 X 10²²\n 74.555 g/mol