Limites de Sequências de Números Reais

3 Sequˆencias de Numeros Reais Neste capıtulo sera apresentada a nocao de limite sob sua forma mais simples o limite de uma sequˆencia A partir daqui todos os conceitos importantes da Analise de uma forma ou de outra reduzirseao a algum tipo de limite 1 Limite de uma sequˆencia Uma sequˆencia de numeros reais e uma funcao x N R que associa a cada numero natural n um numero real xn chamado o nesimo termo da sequˆencia Escrevese x1 x2 xn ou xnnN ou simplesmente xn para indicar a sequˆencia cujo nesimo termo e xn Nao se confunda a sequˆencia xn com o conjunto x1 x2 xn dos seus termos Por exemplo a sequˆencia 1 1 1 nao e o mesmo que o conjunto 1 Ou entao as sequˆencias 0 1 0 1 e 0 0 1 0 0 1 sao diferentes mas o conjunto dos seus termos e o mesmo igual a 0 1 Uma sequˆencia xn dizse limitada superiormente respectivamente inferiormente quando existe c R tal que xn c respectivamente xn c para todo n N Dizse que a sequˆencia xn e limitada quando ela e limitada superior e inferiormente Isto equivale a dizer que existe k 0 tal que xn k para todo n N 24 Sequˆencias de Numeros Reais Cap 3 Exemplo 1 Se a 1 entao a sequˆencia a a2 an e limitada inferiormente porem nao superiormente Com efeito multiplicando am bos os membos da desigualdade 1 a por an obtemos an an1 Seguese que a an para todo n N logo an e limitada inferiormente por a Por outro lado temos a 1 d com d 0 Pela desigualdade de Bernoulli para todo n 1 em N vale an 1 nd Portanto dado qualquer c R podemos obter an c desde que tomemos 1 nd c isto e n c 1d Dada uma sequˆencia x xnnN uma subsequˆencia de x e a res tricao da funcao x a um subconjunto infinito N n1 n2 nk de N Escrevese x xnnN ou xn1 xn2 xnk ou xnkkN para indicar a subsequˆencia x xN A notacao xnkkN mostra como uma subsequˆencia pode ser considerada como uma sequˆen cia isto e uma funcao cujo domınio e N Lembremos que N N e infinito se e somente se e ilimitado isto e para todo n0 N existe nk N com nk n0 Exemplo 2 Dado o numero real a 1 formemos a sequˆencia annN Se N N e o conjunto dos numeros pares e N N e o conjunto dos numero ımpares entao a subsequˆencia annN e limitada apenas inferiormente enquanto a subsequˆencia annN e limitada ape nas superiormente Dizse que o numero real a e limite da sequˆencia xn quando para todo numero real ε 0 dado arbitrariamente podese obter n0 N tal que todos os termos xn com ındice n n0 cumprem a condicao xn a ε Escrevese entao a lim xn Esta importante definicao significa que para valores muito grandes de n os termos xn tornamse e se mantˆem tao proximos de a quanto se deseje Mais precisamente estipulandose uma margem de erro ε 0 existe um ındice n0 N tal que todos os termos xn da sequˆencia com ındice n n0 sao valores aproximados de a com erro menor do que ε Simbolicamente escrevese a lim xn ε 0 n0 N n n0 xn a ε Acima o sımbolo significa que o que vem depois e a definicao do que vem antes significa para todo ou qualquer que seja significa existe O pontoevırgula quer dizer tal que e a seta significa implica Secao 1 Limite de uma sequˆencia 25 Convem lembrar que xn a ε e o mesmo que a ε xn a ε isto e xn pertence ao intervalo aberto a ε a ε Assim dizer que a lim xn significa afirmar que qualquer intervalo aberto de centro a contem todos os termos xn da sequˆencia salvo para um numero finito de ındices n a saber os ındices n n0 onde n0 e escolhido em funcao do raio ε do intervalo dado Em vez de a lim xn escrevese tambem a limnN xn a limn xn ou xn a Esta ultima expressao lˆese xn tende para a ou converge para a Uma sequˆencia que possui limite dizse convergente Caso contrario ela se chama divergente Teorema 1 Unicidade do limite Uma sequˆencia nao pode con vergir para dois limites distintos Demonstracao Seja lim xn a Dado b a podemos tomar ε 0 tal que os intervalos abertos I a ε a ε e J b ε b ε sejam disjuntos Existe n0 N tal que n n0 implica xn I Entao para todo n n0 temos xn J Logo nao e lim xn b Teorema 2 Se lim xn a entao toda subsequˆencia de xn converge para o limite a Demonstracao Seja xn1 xnk a subsequˆencia Dado qual quer intervalo aberto I de centro a existe n0 N tal que todos os termos xn com n n0 pertencem a I Em particular todos os termos xnk com nk n0 tambem pertencem a I Logo lim xnk a Teorema 3 Toda sequˆencia convergente e limitada Demonstracao Seja a lim xn Tomando ε 1 vemos que existe n0 N tal que n n0 xn a 1 a 1 Sejam b o menor e c o maior elemento do conjunto finito x1 xn0 a 1 a 1 Todos os termos xn da sequˆencia estao contidos no intervalo b c logo ela e limitada Exemplo 3 A sequˆencia 2 0 2 0 cujo nesimo termo e xn 1 1n1 e limitada mas nao e convergente porque possui duas sub sequˆencias constantes x2n1 2 e x2n 0 com limites distintos Exemplo 4 A sequˆencia 1 2 3 com xn n nao converge porque nao e limitada Uma sequˆencia xn chamase monotona quando se tem xn xn1 para todo n N ou entao xn1 xn para todo n No primeiro caso 26 Sequˆencias de Numeros Reais Cap 3 dizse que xn e monotona naodecrescente e no segundo que xn e monotona naocrescente Se mais precisamente tivermos xn xn1 respect xn xn1 para todo n N diremos que a sequˆencia e crescente respectivamente decrescente Toda sequˆencia monotona naodecrescente respect naocrescente e limitada inferiormente respect superiormente pelo seu primeiro termo A fim de que ela seja limitada e suficiente que possua uma subsequˆencia limitada Com efeito seja xnnN uma subsequˆencia li mitada da sequˆencia monotona digamos naodecrescente xn Temos xn c para todo n N Dado qualquer n N existe n N tal que n n Entao xn xn c O teorema seguinte da uma condicao suficiente para que uma se quˆencia convirja Foi tentando demonstralo ao preparar suas aulas na metade do seculo 19 que R Dedekind percebeu a necessidade de uma conceituacao precisa de numero real Teorema 4 Toda sequˆencia monotona limitada e convergente Demonstracao Seja xn monotona digamos naodecrescente limi tada Escrevamos X x1 xn e a sup X Afirmamos que a lim xn Com efeito dado ε 0 o numero a ε nao e cota su perior de X Logo existe n0 N tal que a ε xn0 a Assim n n0 a ε xn0 xn a ε e daı lim xn a Semelhantemente se xn e naocrescente limitada entao lim xn e o ınfimo do conjunto dos valores xn Corolario Teorema de BolzanoWeierstrass Toda sequˆencia limitada de numeros reais possui uma subsequˆencia convergente Com efeito basta mostrar que toda sequˆencia xn possui uma sub sequˆencia monotona Diremos que um termo xn da sequˆencia dada e destacado quando xn xp para todo p n Seja D N o conjunto dos ındices n tais que xn e um termo destacado Se D for um con junto infinito D n1 n2 nk entao a subsequˆencia xnnD sera monotona naocrescente Se entretanto D for finito seja n1 N maior do que todos os n D Entao xn1 nao e destacado logo existe n2 n1 com xn1 xn2 Por sua vez xn2 nao e destacado logo existe n3 n2 com xn1 xn2 xn3 Prosseguindo obtemos uma subsequˆencia crescente xn1 xn2 xnk Secao 2 Limites e desigualdades 27 Exemplo 5 A sequˆencia cujo nesimo termo e xn 1n e monotona decrescente limitada Temos entao lim 1n inf1n n N 0 pelo Teorema 3 Capıtulo 2 Exemplo 6 Seja 0 a 1 A sequˆencia a a2 an for mada pelas potˆencias sucessivas de a e decrescente limitada pois mul tiplicando 0 a 1 por an resulta 0 an1 an Afirmamos que limn an 0 Com efeito dado ε 0 como 1a 1 segue se do Exemplo 1 que dado arbitrariamente ε 0 existe n0 N tal que 1an0 1ε ou seja an0 ε Seguese que lim an infan n N 0 2 Limites e desigualdades Seja P uma propriedade referente aos termos de uma sequˆencia xn Diremos que para todo n suficientemente grande xn goza da proprie dade P para significar que existe n0 N tal que n n0 xn goza da propriedade P Teorema 5 Seja a lim xn Se b a entao para todo n suficien temente grande temse b xn Analogamente se a b entao xn b para todo n suficientemente grande Demonstracao Tomando ε a b temos ε 0 e b a ε Pela definicao de limite existe n0 N tal que n n0 aε xn aε b xn A outra afirmacao se prova analogamente Corolario 1 Seja a lim xn Se a 0 entao para todo n suficien temente grande temse xn 0 Analogamente se a 0 entao xn 0 para todo n suficientemente grande Corolario 2 Sejam a lim xn e b lim yn Se xn yn para todo n suficientemente grande entao a b Em particular se xn b para todo n suficientemente grande entao lim xn b Com efeito se fosse b a entao tomarıamos c R tal que b c a e terıamos pelo Teorema 5 yn c xn para todo n suficientemente grande contradizendo a hipotese Observacao Se fosse xn yn nao se poderia concluir a b Basta tomar xn 0 yn 1n Teorema 6 Teorema do sanduıche Se lim xn lim yn a e xn zn yn para todo n suficientemente grande entao lim zn a 28 Sequˆencias de numeros reais Cap 3 Demonstracao Dado arbitrariamente ε 0 existem n1 n2 N tais que n n1 a ε xn a ε e n n2 a ε yn a ε Seja n0 maxn1 n2 Entao n n0 a ε xn zn yn a ε zn a ε a ε logo lim zn a 3 Operacoes com limites Teorema 7 Se lim xn 0 e yn e uma sequˆencia limitada convergente ou nao entao limxn yn 0 Demonstracao Existe c 0 tal que yn c para todo n N Dado arbitrariamente ε 0 existe n0 N tal que n n0 xn εc Entao n n0 xn yn xn yn εc c ε logo limxn yn 0 Exemplo 7 Se xn 1n e yn senn entao yn nao converge mas como 1 yn 1 temse limxnyn limsennn 0 Por outro lado se lim xn 0 mas yn nao e limitada o produto xnyn pode divergir tome xn 1n yn n2 ou convergir para um valor qualquer tome xn 1n e yn c n Para uso posterior observemos que segundo resulta diretamente da definicao de limite temse lim xn a limxn a 0 lim xn a 0 Teorema 8 Se lim xn a e lim yn b entao 1 limxn yn a b 2 limxn yn a b 3 lim xn yn a b se b 0 Demonstracao 1 Dado arbitrariamente ε 0 existem n1 n2 N tais que n n1 xn a ε2 e n n2 yn b ε2 Seja n0 maxn1 n2 Entao n n0 n n1 e n n2 logo xn yn a b xn a yn b xn a yn b ε2 ε2 ε Portanto limxn yn a b Mesmo argumento para xn yn 2 Temos xnynab xnynxnbxnbab xnynbxnab Pelo Teorema 3 xn e limitada Alem disso limyn b limxn a 0 Seguese do Teorema 7 e da parte 1 que limxnyn ab limxnyn b limxn a b 0 donde limxnyn ab Secao 3 Operacoes com limites 29 3 Vale tp Ynab LnbYnaYnb Como limxzpbypa abba 0 basta provar que 1ynb é uma seqiiéncia limitada para concluir que limapYn ab 0 e portanto que limrpy ab Ora pondo c b2 temos 0 c b Como limyb b seguese do Teorema 5 que para todo n suficientemente grande temse c yb e portanto 1ynb 1c completando a demonstragao Oj Exemplo 8 Se z 0 para todo n N e limp41a a 1 entao lim xz 0 Com efeito tomemos c R com a c 1 Entao 0 n41n c para todo n suficientemente grande Seguese que 0 ng1 fn41LnLn C Xp Lp logo para n suficientemente grande a seqiiéncia 6 mondétona limitada Seja b limz De In1 CXy para todo n suficientemente grande resulta fazendo n co que bcb isto é 1cb 0 Como b0e0c 1 concluimos que b 0 Exemplo 9 Como aplicacao do exemplo anterior vése que se a 1 e k N sao constantes entao lim nt lim ve lim mo noo q noo n noo Nn Com efeito pondo x na yn an e Zn nn vem Yn41Yn an 1 logo limyn41yn 0 e pelo Exemplo 8 lim y 0 Temos também an41n 1 18 a portanto pelo Teorema 8 liman1 In 1a 1 Seguese do Exemplo 8 que limz 0 Finalmente Zn412n nn 1 donde limzn412n 1e Veja Exemplo 13 abaixo Como 1e 1 seguese que lim z 0 Exemplo 10 Dado a 0 mostremos que a seqtiéncia dada por tr Va a tem limite igual a 1 Com efeito tratase de uma seqiiéncia monotona decrescente se a 1 crescente se a 1 limitada portanto existe L limypo5 a Temse L 0 Com efeito se0 a1 entao a a para todo n N donde L a Se porém a 1 entao a 1 para todo n N donde L 1 Consideremos a subseqiiéncia almrD qlal6 al2 Como 1nn1 1n1n1 o Teorema 2 e 0 item 3 do Teorema 8 nos dao ain L Llimal lim amb Eo 1 Exemplo 11 Seja0 a 1 A seqiiéncia cujo termo geral é 7 lataa 1a1 a é crescente limitada pois 30 Seqiiéncias de nimeros reais Cap 3 Ln 11a para todo n EN Além disso limy 11 a 2 limnsoo at 1a 0 portanto limp oo n limnso 1 at a 11a A igualdade acima vale ainda quando se tem 1 a 1 isto é a 1 Com efeito o argumento se baseou no fato de que limy4 a 0 que persiste quando se tem apenas a 1 pois lim ja 0 lima 0 Exemplo 12 A seqiiéncia cujo termo geral é 1 1 m 1154 2 n é evidentemente crescente Ela também é limitada pois c c 1 1 1 25a SI lt zt ate toa 3 Escreveremos e lima O ntmero e é uma das constantes mais importantes da Andlise Matematica Como vimos temse 2 e 3 Na realidade vale e 27182 com quatro decimais exatas Exemplo 13 Consideremos a seqtiéncia cujo termo geral é b 1 1n n1n Pela formula do bindmio n1l nn1 1 nn 1n21 1 bp aig Mb ReaD JE Main M n 2 n n ne 1 1 1 1 2 1 1 n1 14111141 1 5 n Tay n nt a n n Logo b 6 uma soma de parcelas positivas O numero dessas parcelas bem como cada uma delas cresce com n Portanto a seqiiéncia bn é crescente E claro que by a Ver Exemplo 12 Seguese que b 3 para todo n N Afirmamos que limb lima e Com efeito quando n p vale 1 1 1 1 2 p1 b 1141 111 pertitaAa4aHa202 4 Fixando arbitrariamente p N e fazendo n oo na desigualdade acima obtemos limp bn 11121p ay Como esta desigualdade vale para todo p N seguese que limpoo bn limpoo Gp e Mas ja vimos que b ay para todo n N Logo lim b lima Isto completa a prova de que limb e Secao 4 Limites infinitos 31 Exemplo 14 Consideremos a sequˆencia cujo nesimo termo e xn nn n1n Temos xn 1 para todo n N Esta sequˆencia e de crescente a partir do seu terceiro termo Com efeito a desigualdade nn n1n 1 e equivalente a nn1 n1n isto e a n 11nn o que e verdade para n 3 pois como vimos acima 11nn 3 para todo n Portanto existe L lim n1n e temse L 1 Considerando a subsequˆencia 2n12n temos L2 lim2n12n2 lim21n n1n lim 21n lim n1n L Cfr Exemplo 10 Como L 0 de L2 L resulta L 1 Concluımos portanto que lim nn 1 Exemplo 15 Aproximacoes sucessivas da raiz quadrada O seguinte metodo iterativo para obter com erro tao pequeno quanto se deseje valores aproximados para a raiz quadrada de um dado numero real a 0 ja era conhecido pelos babilˆonios 17 seculos antes da era crista Toma se arbitrariamente um valor inicial x1 a e definese indutivamente xn1 xn axn2 Para mostrar que a sequˆencia xn assim obtida converge para a comecamos observando que para qualquer x R a x ax a x Multiplique ambos os membros da desigualdade a x por a Em seguida notemos que pondo y x ax2 y e a media aritmetica dos numeros ax e x logo e menor do que x e maior do que a media geometrica desses numeros que e a Logo a y x Portanto temos uma sequˆencia decrescente x1 x2 xn xn1 cujos termos sao todos maiores do que a Esta sequˆencia converge para um numero real c Fazendo n na igualdade xn1 xn axn2 obtemos c c ac2 donde c2 a isto e lim xn a Vemos entao que todo numero real a 0 possui uma raiz quadrada real Mais ainda o processo iterativo xn1 xn axn2 fornece rapidamente boas aproximacoes para a como se pode verificar tomando exemplos concretos 4 Limites infinitos Dada uma sequˆencia xn dizse que o limite de xn e mais infinito e escrevese lim xn para significar que dado arbitrariamente A 0 existe n0 N tal que n n0 implica xn A 32 Sequˆencias de numeros reais Cap 3 Analogamente lim xn significa que para todo A 0 dado podese achar n0 N tal que n n0 xn A Devese enfatizar que e nao sao numeros e que se lim xn e lim yn as sequˆencias xn e yn nao sao convergentes Como lim xn limxn limitaremos nossos comenta rios ao primeiro caso Se lim xn entao a sequˆencia xn nao e limitada superior mente A recıproca e falsa A sequˆencia dada por xn n 1nn e ilimitada superiormente porem nao se tem lim xn pois x2n1 0 para todo n N Mas se xn e naodecrescente entao xn ilimitada lim xn No Exemplo 1 ao mostrar que as potˆencias a a2 a3 de um numero a 1 formam uma sequˆencia ilimitada superiormente provou se na realidade que lim an Teorema 9 1 Se lim xn e yn e limitada inferiormente entao limxn yn 2 Se lim xn e existe c 0 tal que yn c para todo n N entao limxnyn 3 Se xn c 0 yn 0 para todo n N e lim yn 0 entao lim xn yn 4 Se xn e limitada e lim yn entao lim xn yn 0 Demonstracao 1 Existe c R tal que yn c para todo n N Dado arbitrariamente A 0 existe n0 N tal que n n0 xn A c Seguese que n n0 xnyn Acc A logo limxnyn 2 Dado arbitrariamente A 0 existe n0 N tal que n n0 xn Ac Logo n n0 xnyn Ac c A donde limxnyn 3 Dado A 0 existe n0 N tal que n n0 yn cA Entao n n0 xnyn c Ac A e daı limxnyn 4 Existe c 0 tal que xn c para todo n N Dado arbitrariamente ε 0 existe n0 N tal que n n0 yn cε Entao n n0 xnyn c εc ε logo limxnyn 0 As hipoteses feitas nas diversas partes do teorema anterior tˆem por objetivo evitar algumas das chamadas expressoes indeterminadas No Secao 4 Limites infinitos 33 item 1 procurase evitar a expressao De fato se lim xn e lim yn nenhuma afirmacao geral pode ser feita sobre limxn yn Este limite pode nao existir como no caso em que xn n 1n e yn n pode ser igual a se xn 2n e yn n pode ser tome xn n e yn 2n ou pode assumir um valor arbitrario c R por exemplo se xn n c e yn n Por causa desse compor tamento erratico dizse que e uma expressao indeterminada Nos itens 2 3 e 4 as hipoteses feitas excluem os limites do tipo 0 tambem evitado no Teorema 7 00 e respectivamente os quais constituem expressoes indeterminadas no sentido que acabamos de explicar Outras expressoes indeterminadas frequentemente encontradas sao 0 1 e 00 Os limites mais importantes da Analise quase sempre se apresentam sob forma de uma expressao indeterminada Por exemplo o numero e limn 1 1nn e da forma 1 E como veremos mais adiante a derivada e um limite do tipo 00 Agora uma observacao sobre ordem de grandeza Se k N e a e um numero real 1 entao limn nk limn an limn n limn nn Todas estas sequˆencias tˆem limite infinito Mas o Exemplo 9 nos diz que para valores muito grandes de n temos nk an n nn onde o sımbolo quer dizer e uma fracao muito pequena de ou e insignificante diante de Por isso dizse que o crescimento exponencial supera o polinomial o crescimento fatorial supera o exponencial com base constante mas e superado pelo crescimento exponencial com base ilimitadamente crescente Por outro lado o crescimento de nk mesmo quando k 1 supera o crescimento logarıtmico como mostraremos agora No Capıtulo 11 provaremos a existˆencia de uma funcao crescente log R R tal que logxy log x log y e log x x para quaisquer x y R Daı resulta que log x logx x 2 log x donde log x log x2 Alem disso log x log1 x log 1 log x donde log 1 0 Como log e crescente temse log x 0 para todo x 1 Vale tambem log2n n log 2 portanto limn log2n Como log e crescente seguese limn log n Provaremos agora que lim n log n n 0 34 Sequˆencias de numeros reais Cap 3 Para todo n N temos log n n Como log n 1 2 log n seguese que log n 2n Dividindo por n resulta que 0 log nn 2n Fazendo n vem lim n log n n 0 5 Exercıcios Secao 1 Limite de uma sequˆencia 1 Uma sequˆencia xn dizse periodica quando existe p N tal que xnp xn para todo n N Prove que toda sequˆencia periodica convergente e constante 2 Dadas as sequˆencias xn e yn defina zn pondo z2n1 xn e z2n yn Se lim xn lim yn a prove que lim zn a 3 Se lim xn a prove que lim xn a 4 Se uma sequˆencia monotona tem uma subsequˆencia convergente prove que a sequˆencia e ela propria convergente 5 Um numero a chamase valor de aderˆencia da sequˆencia xn quando e limite de uma subsequˆencia de xn Para cada um dos conjuntos A B e C abaixo ache uma sequˆencia que o tenha como conjunto dos seus valores de aderˆencia A 1 2 3 B N C 0 1 6 A fim de que o numero real a seja valor de aderˆencia de xn e necessario e suficiente que para todo ε 0 e todo k N dados exista n k tal que xn a ε 7 A fim de que o numero real b nao seja valor de aderˆencia da sequˆencia xn e necessario e suficiente que existam n0 N e ε 0 tais que n n0 xn b ε Secao 2 Limites e desigualdades 1 Se lim xn a lim yn b e xn yn ε para todo n N prove que a b ε 2 Sejam lim xn a e lim yn b Se a b prove que existe n0 N tal que n n0 xn yn 3 Se o numero real a nao e o limite da sequˆencia limitada xn prove que alguma subsequˆencia de xn converge para um limite b a Secao 5 Exercicios 35 4 Prove que uma seqiiéncia limitada converge se e somente se possui um unico valor de aderéncia 5 Quais sao os valores de aderéncia da seqiiéncia 2 tal que 21 nN Ln 1n Esta seqiiéncia converge 6 Dados ab R defina indutivamente as seqiiéncias rp e Yn pondo 2 Vab yy a b2 Ena SEnYns Ynt1 Ln Yn2 Prove que tp Yn convergem para o mesmo limite 7 Dizse que a uma seqtiéncia de Cauchy quando para todo 0 dado existe no N tal que mn no am In é a Prove que toda seqiiéncia de Cauchy é limitada b Prove que uma seqiiéncia de Cauchy nao pode ter dois valores de aderéncia distintos c Prove que uma seqiiéncia x convergente se e somente se é de Cauchy Secao 3 Operagoes com limites 1 Prove que para todo p EN temse limp n 1 2 Se existem ec O0ek EN tais quee ry nk para todo n sufici entemente grande prove que lim z 1 Use este fato para cal cular limp 6 Vnk lim n Jn lim VYlogn e lim nlog n 3 Dado a 0 defina indutivamente a seqiiéncia x pondo x1 a Inti Vat2y Prove que x é convergente e calcule seu limite LatVatvat A Seja en aVaa0 erro relativo na nésima etapa do calculo de a Prove que én41 e221 en Conclua que en 001 n1 000005 entre 000000000125 e observe a rapidez de convergéncia do método 5 Dado a 0 defina indutivamente a seqiiéncia x pondo 7 1a In41 1a ap Considere 0 numero c raiz positiva da equacao xar1 0 unico ntimero positivo tal que 1ac Prove que LQL4 St SK Lan Se SLES SM Xan1 3 S13 21 36 Seqiiéncias de nimeros reais Cap 3 e que limz c O numero c pode ser considerado como a soma da fracao continua 1 1 a a 1 a a eae 6 Dado a 0 defina indutivamente a seqiiéncia y pondo y a Ynti at1yn Mostre que limy ac onde c é como no exercicio anterior 7 Defina a seqiiéncia a indutivamente pondo a az le An42 An1 Gn para todo n N Escreva rp ananti prove que lima c onde c é o tnico ntimero positivo tal que 1e 1 c O termo a chamase 0 nésimo niimero de Fi bonacci e 1 V52 é 0 mimero de ouro da Geometria Classica Secao 4 Limites infinitos 1 Prove que lim Wn 00 2 Se lima 00 ea ER prove que lim Vlog in a Viog en 0 noco 3 Dados k Ne a 0 determine o limite n lim eon noo Nn q Supondo a 0e a e calcule an nk an lim elim W noo nn no0o nr Para o caso a e ver exercicio 9 secao 1 capitulo 11 4 Mostre que limn logn 1logn 1 Secao 5 Exercıcios 37 5 Sejam xn uma sequˆencia arbitraria e yn uma sequˆencia crescente com lim yn Supondo que limxn1xnyn1 yn a prove que lim xnyn a Conclua que se limxn1xn a entao lim xnn a Em particular de lim log11n 0 con clua que limlog nn 0 6 Se lim xn a e tn e uma sequˆencia de numeros positivos com limt1 tn prove que lim t1x1 tnxn t1 tn a Em particular se yn x1 xn n temse ainda lim yn a Séries Numéri Uma série 6 uma soma s aj a2 4 com um nimero infinito de parcelas Para que isto faca sentido poremos slimyo9a4 4an Como todo limite este pode existir ou nao Por isso ha séries convergentes e séries divergentes Aprender a distinguir umas das outras é a principal finalidade deste capitulo 1 Séries convergentes Dada uma seqiiéncia a de nimeros reais a partir dela formamos uma nova seqiiéncia s onde Sa s2aa2 SnaragtG4n etc Os ntimeros s chamamse as reduzidas ou somas parciais da série dian A parcela ay é 0 nésimo termo ou termo geral da série Se existir o limite s limp 8 diremos que a série ay é convergente Sloan Soy dn a Fag 4 a4 serd chamado a soma da série Se lims nao existir diremos que So an é uma série divergente As vezes é conveniente considerar séries do tipo 77 dn que come cam com ap em vez de a Exemplo 1 Como jd vimos Exemplos 11 e 12 Capitulo 3 quando la 1a série geométrica 1aaa 6 convergente com Secao 1 Séries convergentes 39 soma igual a 11a ea série 1 1412441n também converge com soma igual a e Exemplo 2 A série 11114 de termo geral 1t é divergente pois a soma parcial s é igual a zero quando n é par e igual a 1 quando n é impar Portanto nao existe lim s Exemplo 3 A série 1nn1 cujo termo geral é a 1nn1 1n1n 1 tem nésima soma parcial 42 022 2 1 3 en 2 2 3 n nl n1 Portanto lim s 1 isto 6 1nn 1 1 Se ad 0 para todo n N as reduzidas da série a formam uma seqiiéncia naodecrescente Portanto uma série a de termos naonegativos converge se e somente se existe uma constante k tal que aj a k para todo n N Por isso usaremos a notacao Gn 00 para significar que a série ay com ay 0 6 convergente Se ay 0 para todo n N e aj 6 uma subseqiiéncia de a entao S dn 00 implica So ai 00 Exemplo 4 A série harmonica A série 5 1n é divergente De fato se 5 1n s fosse convergente entao 5 12n t e S12n1 u também seriam convergentes Além disso como san tn Un fazendo n oo terfiamos stu Mas t 012n 12 0 1n 82 portanto u t s2 Por outro lado 1 1 1 1 1 01 fim om to Jim 094 g a an li 0 1m wee nooo 12 34 56 2n 12n logo u t Contradigao Teorema 1 Critério de comparagao Sejam oan bn séries de termos naonegativos Se existem c 0 eng EN tais que an chp para todo n no entao a convergéncia de by implica a de Y an enquanto a divergéncia de ay implica a de by Demonstragao Sem perda de generalidade podemos supor an cbn para todo n N Entao as reduzidas s e tn de an e bn respec tivamente formam seqiiéncias naodecrescentes tais que s cty para 40 Séries numéricas Cap 4 todo n N Como c 0 tn limitada implica s limitada e s ilimitada implica tp ilimitada pois tn snc O Exemplo 5 Se r 1 a série 1n converge Com efeito seja ca soma da série geométrica 9 Mostraremos que toda reduzida Sm da série 1n é c Seja n tal que m 2 1 Entao c 1 1 1 1 1 1 8m 1 ot ar gota et ae geet ty 44 2rlr 2 1 2 4 gmt Nf 2 im ltet et toa D c i0 Como a série harmonica diverge resulta do critério de comparacao que 5 1n diverge quando r 1 pois neste caso 1n 1n Teorema 2 O termo geral de uma série convergente tem limite zero Demonstragao Se a série a convergente entao pondo s a ap existe s limyo Consideremos a seqiiéncia t com ty 0e tn Sn1 quando n 1 Evidentemente limt s e Sn tyaGy Portanto lim alims tlim s limtss0 O O critério contido no Teorema 2 constitui a primeira coisa a verificar quando se quer saber se uma série é ou nao convergente Se o termo geral nao tende a zero a série diverge A série harm6nica mostra que a condicao lima 0 nao é suficiente para a convergéncia de ay 2 Séries absolutamente convergentes Uma série a dizse absolutamente convergente quando a con verge Exemplo 6 Uma série convergente cujos termos nao mudam de sinal é absolutamente convergente Quando 1 a 1 a série geométrica yg a é absolutamente convergente pois a a com 0 a 1 O exemplo classico de uma série convergente a tal que an oo 6 dado por S31tn 1124 13 14 Quando tomamos a soma dos valores absolutos obtemos a série harmonica que diverge A convergéncia da série dada seguese do Secao 2 Séries absolutamente convergentes 41 Teorema 3 Leibniz Se a uma seqtiéncia monétona decrescente que tende para zero entéo S1 an uma série convergente Demonstracao Seja s a a2 14a Entao son 9n2 Gan1 G2n 2n41 2n1 Gan G2n41 Logo as reduzidas de ordem par formam uma seqitiéncia naodecrescente pois d21G2n 0 e as de ordem impar uma seqiiéncia naocrescente pois d2n dan41 0 Além disso como san S2n1 Gan teMOS 2n1 2n G2n 0 Isto mostra que 82 S84 S S an Si S San1 SS 83S 51 e lim sg lim s21 pois lima 0 Logo s converge e o teorema esté provado Oo Exemplo 7 Pelo Teorema 3 a série S1 log1 1n é con vergente Mas ela nao é absolutamente convergente pois a reduzida de ordem n da série log1 1n So logn 1n é 3 4 n1 Sn log2 log 5 log 3 log log2 log3 log 2 log 4 log3 logn 1 logn logn 1 Portanto lim s 00 Uma série convergente 5 a tal que 5 a 00 chamase condi cionalmente convergente O teorema seguinte pode ser interpretado assim se tomarmos uma série convergente cujos termos sao todos 0 e de uma maneira com pletamente arbitraria trocarmos os sinais de alguns dos seus termos mesmo um numero infinito deles obteremos ainda uma série conver gente Teorema 4 Toda série absolutamente convergente convergente Demonstragao Seja a convergente Para cada n N definamos os numeros Py Gdn pondo pn An Se Gn 0 e Pn 0 se an 0 analogamente gn Gn Se Gn 0 e gn 0 se ayn 0 Os numeros py dn chamamse respectivamente a parte positiva e a parte negativa de Gn Entao pn 0 dn 0 Pn dn an em particular pn an e dn Gn Pn In Gn Note que para cada n N pelo menos um dos ntimeros pn gn zero Pelo Teorema 1 as séries pn e dn 42 Séries numéricas Cap 4 sao convergentes Logo é convergente a série an Yopn dn dE Pn In O Dada a série 5 a definimos acima os nimeros py maxa 0 e dn maxay0 a parte positiva e a parte negativa de a Se an é condicionalmente convergente devese ter pn 00 dn 00 Com efeito se apenas uma destas duas séries digamos a primeira convergisse teriamos dn Pn dn S OO 00 E se ambas pn Yo dn convergissem teriamos an pn D dn 00 e Gn seria absolutamente convergente 3 Testes de convergéncia Teorema 5 Seja b uma série absolutamente convergente com by 0 para todon EN Se a seqtiéncia anbp for limitada em particular se for convergente entao a série an serd absolutamente convergente Demonstragao Se para algum c 0 tivermos ab c seja qual for n N entao a clb Pelo critério de comparagao Teorema 1 a série a é absolutamente convergente O Coroldrio Teste de dAlembert Seja a 4 0 para todo n N Se existir uma constante c tal que an4ian 1 para todo n suficientemente grande em particular se lim an41an 1 entdo a série dn sera abolutamente convergente Com efeito se para todo n suficientemente grande vale a41an c cte entao la 44err anc Assim a seqiiéncia de nimeros naonegativos ac é naocrescente a partir de uma certa ordem logo é limitada Como a série c é absolutamente convergente seguese do Teorema 5 que a converge absolutamente No caso particular de existir lim a41an L 1 escolhemos um ntmero c tal que Lc1e teremos an1an c para todo n suficientemente grande Teorema 5 do Capitulo 3 Entao recaimos no caso j4 demonstrado O Observagao Quando se aplica o teste de dAlembert usualmente se procura calcular lim an41an L Se L 1 entao a série diverge pois se tem n41an 1 donde an41 an para todo n suficientemente grande e dai resulta que 0 termo geral a nao tende para zero Se L 1 o teste 6 inconclusivo A série pode convergir como no caso 1n ou divergir como no caso 5 1n Secao 3 Testes de convergéncia 43 Exemplo 8 Seja a 1n 3n 1 Considerando a série conver gente 1n como limnn3n1 lim113n1n 1 concluimos que a é convergente Exemplo 9 Seguese do Exemplo 9 do Capitulo 3 e do teste de dAlembert que as séries San Sonn e Sona esta tiltima com a 1 sao convergentes Teorema 6 Teste de Cauchy Quando existe um nimero real c tal que an c 1 para todon N suficientemente grande em particu lar quando lim an 1 a série apn absolutamente convergente Demonstragao Se a c 1 entao a c para todo n suficien temente grande Como a série geométrica 5 c é convergente seguese do critério de comparagaéo que a converge absolutamente No caso particular de existir lim an L 1 escolhemos c tal que L c 1 e teremos a c para todo n suficientemente grande Teorema 5 Capitulo 3 recaindo assim no caso anterior O Observagao Também no teste de Cauchy tentase calcular lim an L Se L 1 a série Sa diverge Com efeito neste caso temse Xan 1 para todo n suficientemente grande donde a 1 logo a série a diverge pois seu termo geral nao tende a zero Quando L 1 a série pode divergir como no caso 1n ou convergir como S1n Exemplo 10 Seja a lognn Como a lognn tende a zero a série ap convergente O teorema seguinte relaciona os testes de dAlembert e Cauchy Teorema 7 Seja an uma seqtiéncia cujos termos sao diferentes de zero Se lim an4ian L entdo lim Va L Demonstragao Para simplificar a notacgao suporemos que a 0 para todo n N Dado 0 fixemos ntimeros positivos K M tais queLeKLMLe ExistepeNtalquenpsK An41An M Multiplicando membro a membro as n p desigualdades K dp4idppi1 Mi 1np obtemos K anap M para todo n p Ponhamos a aK e 8 aM Entao Ka dn MG Extraindo raizes vem K a an M V para todo n p Levando em conta que Le kK MLe lim VYa1 e lim 78 1 conclufmos que existe nop p tal quen no Le KvaeMVBLe Entaon ng Le va Le 0 que 44 Séries numéricas Cap 4 prova o teorema quando L 0 Se L 0 basta considerar M em vez dek eM Oo Exemplo 11 Resulta do Teorema 7 que limn Vn e Com efeito pondo a nn vem n Vn a Ora Qn41 n1 nl n 1n1 nl n1 Qn ntl n n1n on Yin logo liman41dn e e dai lim ay e 4 Comutatividade Uma série ay dizse comutativamente convergente quando para qual quer bijegao y N N pondo bp ayyn a série 7 bp 6 convergente Em particular tomando yn n vemos que a é convergente Resulta do que mostraremos a seguir que se a é comutativamente convergente entao b 5 an qualquer que seja a bijegao y Esta éa maneira precisa de afirmar que a soma a nao depende da ordem das parcelas Mas isto nem sempre ocorre Exemplo 12 A série 1 1 4 1 41 4 2 3 4 converge para a soma s 0 mas nao comutativamente Com efeito temos s1 11 1 2 2 4 6 8 Podemos entao escrever 1 1 4 1 41 4 1 ol 4 1 41 4 s eae 2 3 4 5 6 7 8 S 1 1 1 1 94 490404 40H4 5 OF 50F0FE054 Somando termo a termo vem 3s jt fyiyt Piss ty 2 3 2 5 7 49 11 6 A série acima cuja soma é 352 tem os mesmos termos da série inicial cuja soma é s apenas com uma mudanga na sua ordem Secao 4 Comutatividade 45 Teorema 8 Se a absolutamente convergente entaéo para toda bijegao p NN pondo bn agin temse bn D7 an Demonstracgao Supomos inicialmente a 0 para todo n Escreva MOS Sy 4 n etn 01 b Para cada n N os nimeros y1 yn pertencem todos ao conjunto 12m onde m é o maior dos yi Entao n m th S aca Soa Sm i1 jl Assim para cada n N existe m N tal que tn 5 Reciprocamente considerandose y em vez de y para cada m N existe n N tal que Sm tn Seguese que limt lims isto 6 bn Doan No caso geral temos an Pn dn Onde pp a parte positiva dn a parte negativa de a Toda reordenagao b dos termos ay determina uma reordenagéo u para os py e uma reordenacaéo vp dos gn de modo que un a parte positiva e vn a parte negativa de b Pelo que acabamos de ver Un Pn Yo Un Y5dn Logo Yo an Youn Youn Yo bn O O teorema seguinte implica que somente as séries absolutamente con vergentes sao comutativamente convergentes Teorema 9 Riemann Alterandose convenientemente a ordem dos termos de uma série condicionalmente convergente podese fazer com que sua soma fique igual a qualquer numero real préfixado Demonstragao Seja a a série dada Fixado 0 numero c comegamos a somar os termos positivos de a na sua ordem natural um a um parando quando ao somar ap a soma pela primeira vez ultrapasse c Isto é possivel porque a soma dos termos positivos de 5 an é 00 A esta soma acrescentamos os termos negativos também na sua ordem natural um a um parando logo que ao somar a 0 o total resulte inferior a c o que possivel porque a soma dos termos negativos é oo Prosseguindo analogamente obtemos uma nova série cujos termos sao os mesmos de a numa ordem diferente As reduzidas desta nova série oscilam em torno do valor c de tal modo que a partir da ordem n1 a diferenga entre cada uma delas e c é inferior em valor absoluto ao termo Gn onde houve a ultima mudanga de sinal Ora limgoo n 0 porque a série a converge Logo as reduzidas da nova série conver gem para c O 46 Séries numéricas Cap 4 5 Exercicios Secao 1 Séries convergentes 1 Dadas as séries 0 an e S bn com Gdn Ynt1Jne by log1 1 mostre que lima limb 0 Calcule explicitamente as nésimas reduzidas s e tn destas séries e mostre que lim s limt 00 logo as séries dadas sao divergentes 2 Use o critério de comparacao para provar que 1n é conver gente a partir da convergéncia de 2nn 1 3 Seja s a nésima reduzida da série harmonica Prove que para n 2 temse s 1 e conclua daf que a série harmonica é divergente 4 Mostre que a série alogn diverge 5 Mostre que se r 1 a série oo alognyr converge 6 Prove que a série oan converge 7 Prove sea dn an converge entao lim nay 0 nCoO Secao 2 Séries absolutamente convergentes 1 Se o apn é convergente e a 0 para todo n N entao a série Y anxz absolutamente convergente para todo x 1 1 e S Ap sennz Ss An Cosnx sao absolutamente convergentes para todo x R Aas 12 12 12 12 1 2 A série l333t4atssteet tem termos alter nadamente positivos e negativos e seu termo geral tende para zero Entretanto é divergente Por que isto nao contradiz o Teorema de Leibniz 3 Dé exemplo de uma série convergente a e de uma seqiiéncia limitada x tais que a série 5 anXp seja divergente Examine o que ocorre se uma das hipoteses seguintes for verificada a an é convergente b a é absolutamente convergente 4 Prove que é convergente a série obtida alterandose os sinais dos termos da série harmonica de modo que fiquem p termos positivos p N fixado seguidos de p termos negativos alternadamente Secao 5 Exercicios 47 5 Se 724 an absolutamente convergente e limb 0 ponha cy aobn aybn1 anbo e prove que limc 0 6 Se ay 6 absolutamente convergente prove que a2 converge 7 Se Sa e b2 convergem prove que anby converge absoluta mente 8 Prove uma série a é absolutamente convergente se e somente se é limitado o conjunto de todas as somas finitas formadas com os termos Gp Secao 3 Testes de convergéncia 1 Prove que se existir uma infinidade de indices n tais que a 1 entao a série a diverge Se a 0 para todo ne adn41an 1 para todo n no entao a diverge Por outro lado a série 1241212 12 123 123 converge mas se tem An41AQn 1 para todo n impar 2 Se0ab 1 asérieatbabab 6 convergente Mostre que o teste de Cauchy conduz a este resultado mas o teste de dAlembert 6 inconclusivo 3 Determine se a série lognn é convergente usando ambos os testes de dAlembert e Cauchy 4 Dada uma seqiiéncia de nimeros positivos 7 com limz a prove que limyo 12n 4 5 Determine para quais valores de cada uma das séries abaixo é convergente S neg S na Ss x n Ss nia S a n Secao 4 Comutatividade 1 Se uma série é condicionalmente convergente prove que existem alteracoes da ordem dos seus termos de modo a tornar sua soma igual a 00 e a oo 2 Efetue explicitamente uma reordenacao dos termos da série 1 124 13 14 15 de modo que sua soma se torne igual a Zero 48 Séries numéricas Cap 4 3 Dizse que a seqiiéncia a 6 somdvel com soma s quando para todo 0 dado existe um subconjunto finito Jo C N tal que para todo J finito com Jo C J CN temse s 0 ey an e Prove a Se aseqiiéncia a 6 somavel entao para toda bijegao y N N a seqiiéncia b definida por b ayn somavel com a mesma soma b Se a seqiiéncia a 6 somdvel com soma s entao a série Gn s é absolutamente convergente c Reciprocamente se 5 a é uma série absolutamente conver gente entao a seqiiéncia a 6 somavel