Teoremas sobre Continuidade e o Teorema do Valor Intermediário

Teoremas sobre Continuidade Funcao Composta e o Teorema do Valor Intermediario Profa Liliana Jurado Funcoes Contınuas Teorema Teorema de Valor Intermediario Suponha que f seja uma funcao contınua em um intervalo fechado a b e seja M um numero qualquer entre f a e f b em que f a f b Entao existe pelo menos um numero c em a b tal que f c M y y fb fb M yfx M fa fa yfx a c b x a c1 c2 c3 b x fc M fc1fc2fc3M Profa Liliana Jurado Teoremas sobre Continuidade Funcao Composta e o Teorema do Valor Intermediario Funcoes Contınuas Corolario Existˆencia de zeros de uma funcao contınua Se f e uma funcao contınua em um intervalo fechado a b e se f a e f b tˆem sinais opostos entao existe pelo menos uma solucao da equacao f x 0 no intervalo a b y y fa fb a c b x a c1 c2 b x fa fc1fc20 fb Profa Liliana Jurado Teoremas sobre Continuidade Funcao Composta e o Teorema do Valor Intermediario Funcoes Contınuas Exemplo Seja f x x3 x 1 a Mostre que f e contınua para todos os valores de x b Calcule f 1 e f 1 e use os resultados para deduzir que deve existir ao menos um ponto x c onde c pertence ao intervalo 1 1 tal que f c 0 Solucao a A funcao f e uma funcao polinomial de grau 3 e portanto e contınua em toda a reta b f 1 13 1 1 1 e f 1 13 1 1 3 Como f 1 e f 1 tem sinais opostos o Teorema anterior nos diz que existe pelo menos um ponto x c com 1 c 1 ta que f c 0 Profa Liliana Jurado Teoremas sobre Continuidade Funcao Composta e o Teorema do Valor Intermediario Funcoes Contınuas Exemplo Seja f x x3 x 1 Como f e uma funcao polinomial ela e contınua em toda a reta Observe que f 0 1 e f 1 1 de modo que o Teorema garantiza a existˆencia de pelo menos uma raiz da equacao f x 0 em 0 1 Uma aplicacao do Teorema se refere a imagem de uma funcao contınua de um intervalo Corolario Se I R e um intervalo e f I R e contınua entao f I e um intervalo Profa Liliana Jurado Teoremas sobre Continuidade Funcao Composta e o Teorema do Valor Intermediario Funcoes Contınuas Definicao Um conjunto X R chamase compacto quando e limitado e fechado Exemplo a b e compacto a b e limitado mas nao e fechado Z nao e compacto pois e ilimitado embora seja fechado pois seu complementar e a reuniao dos intervalos abertos n n 1 n Z Profa Liliana Jurado Teoremas sobre Continuidade Funcao Composta e o Teorema do Valor Intermediario Funcoes Contınuas Teorema Um conjunto X R e compacto see somente se toda sequˆencia de pontos em X possui uma subsequˆencia que converge para um ponto de X Exercıcio Exemplo Analisar as funcoes f 0 1 R dada por f x x g R R dada por gx 1 1x2 Profa Liliana Jurado Teoremas sobre Continuidade Funcao Composta e o Teorema do Valor Intermediario Funcoes Contınuas Teorema Sejam X R um conjunto compacto e f X R uma funcao contınua entao f X e um conjunto compacto Teorema Weierstrass Sejam X R um conjunto compacto e f X R uma funcao contınua entao existem x0 x1 X tais que f x0 f x f x1 para todo x X Profa Liliana Jurado Teoremas sobre Continuidade Funcao Composta e o Teorema do Valor Intermediario Funcoes Contınuas Exemplo Se I a b e um intervalo compacto entao f I e tambem um intervalo compacto Se I nao e fechado nem limitado f I pode nao ser do mesmo tipo que I Seja f R R dada por f x sen x Sejam I1 0 7 I2 0 π2 e I3 0 π temos f I1 1 1 f I2 0 1 e f I3 0 1 Profa Liliana Jurado Teoremas sobre Continuidade Funcao Composta e o Teorema do Valor Intermediario