Lista de Exercícios sobre Funções Contínuas

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ ANÁLISE PARA LINCENCIATURA PROFESSOR DR ALEX SANDRO LOPES SANTOS LISTA DE EXERCÍCIOS FUNÇÕES CONTÍNUAS Questão 1 Seja f a b R contínua Prove que existe uma função F R R contínua que extende f isto é Fx fx para todo x a b Questão 2 Se f X R contínua então f é contínua A recíproca é verdadeira Questão 3 Dadas duas funções f g R R contínuas tais que fx gx para todo x Q Mostre que f g Questão 4 Seja f R R uma função tal que fx y fx gy Prove que f é con tínua se e somente se f é contínua em 0 Prove ainda que existe a R tal que fx ax Para a segunda parte considere f1 a mostre para N em seguida para Q e extenda para R via sequência Questão 5 Dada f X R tal que para todo ϵ 0 existe g X R contínua satisfazendo fx gx ϵ para todo x X Mostre que f é contínua Questão 6 Seja f Q R contínua Prove que f é constante Questão 7 Seja fx xn Mostre que f é Lipschitz em qualquer intervalo limitado porém f não é uniformemente contínua em R Questão 8 Suponha f R R contínua tal que limx fx e limx fx existem e são nitos Prove que f é limitada e uniformemente contínua Questão 9 Prove que se o conjunto fX é limitado para toda função f contínua então X é um conjunto compacto Questão 10 Um alpinista começa sua escalada em uma montanha às 8hs da manhã e segue sua escalada para o topo da montanha chegando lá às 18hs Na manhã seguinte ele parte do topo as 8hs da manhã pega o mesmo caminho de volta e chega no destino onde começou no dia anterior às 18hs Mostre que existe um ponto no caminho que o alpinista irá cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as escaladas Dica Dena uma função contínua adequada e aplique o TVI Questão 11 Uma função f X R é dita Lipschitz se existe uma constante M R tal que fx fy Mx y Prove toda função Lipschitz é contínua Questão 12 Seja f a b R contínua tal que existem y z a b tais que fy fz 0 Prove que existe c a b tal que fc 0 Questão 13 Sejam f g R R contínuas Dena h R R por hx maxfx gx Prove que h é contínua Questão 14 Seja f R R contínua tal que fx y fxfy para todo x y R Prove que f 0 ou fx ax para algum a R xado