Apresentação da Disciplina Limite de Funções: Conteúdos e Avaliações

Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Ementa I Unidade Conjuntos finito e infinito Conjuntos Enumeraveis Corpos Ordenados os Numeros Reais e suas propriedades II Unidade Sequˆencias e series de numeros Reais e Topologia da Reta III Unidade Limites de Funcoes Funcoes Contınuas e Continuidade Uniforme Horario de Atendimento Toda tercafeira das 1500 as 1700 Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas 1 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Avaliacao III Unidade A media sera calculada atraves da soma das notas de duas atividades avaliativas que ocorrerao ao longo da unidade A1A2 onde A1 representa a nota de trabalhos e participacoes durante as aulas A2 e a nota da Avaliacao individual final da unidade As notas A1 e A2 correspondem respectivamente a 40 e 60 da nota A nota final Nf sera a media aritmetica simples de cada uma das unidades Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas 2 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Cronograma 131223 a 151223 Definicao de Limite de uma funcao real de variavel real Limite lateral Limite infinito e no infinito suas propriedades exemplos e aplicacoes O Teorema do Confronto e as operacoes com limites de funcoes 181223 a 201223 Definicao do conceito de funcao contınua e analise das suas implicacoes e propriedades Analise das relacoes entre as propriedades topologicas do intervalo e de continuidade das funcoes funcoes contınuas no intervalo O Teorema do Valor Intermediario e o Teorema de Weierstrass para funcoes contınuas definidas em conjuntos compactos Apresentacao do conceito de funcao uniformemente contınua exemplos resultados e implicacoes Aula de exercıcios 211223 Atividade avaliativa individual da III unidade Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas 3 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Bibliografia Basica AVILA G Analise matematica para licenciatura 3 ed Sao Paulo Edgard Blucher 2006 FIGUEIREDO D G Analise I 2 ed Rio de Janeiro Livros Tecnicos e Cientıficos 1996 LIMA E L Analise Real volume 1 Funcoes de uma variavel 10 ed Rio de Janeiro IMPA 2008 NERI C e CABRAL M Curso de Analise Real 1 ed Rio de Janeiro 2009 RUDIN W Principles of Mathematical Analysis 3 ed McGrawHill Education New York 1976 LACZKOVICH M e SOS V T Real analysis 1º ed Springer New York2015 Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas 4 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas O que pensamos sobre limite Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas 5 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Prerequisito Definicao Dizse que a R e ponto de acumulacao do conjunto X R quando toda vizinhanca V de a contem algum ponto de X diferente do proprio a Isto e ε 0 temse a ε a ε X a Indicamos X o conjunto dos pontos de acumulacao de X Portanto a X a X a Simbolicamente temos que a X se e so se ε 0 x X 0 x a ε Quando a X nao e ponto de acumulacao de X dizemos que a e ponto isolado de X Isto significa que existe ε 0 tal que a a ε a ε X Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas 6 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Teorema Dados X R e a R as seguintes afirmacoes sao equivalentes 1 a e um ponto de acumulacao de X 2 a e limite de uma sequˆencia de pontos xn X a 3 Todo intervalo aberto de centro a contem uma infinidade de pontos de X 1 2 Seja a um ponto de acumulacao de X Para cada n N considere xn a 1 n a 1 n X a Assim a 1 n xn a 1 n para todo n N ou seja lim xn a 2 3 Seja I um intervalo aberto de centro em a entao existe ε 0 tal que a ε a ε I Como existe uma sequˆencia de pontos xn X a tal que lim xn a entao existe n0 N tal que xn a ε a ε I para todo n n0Logo I contem uma infinidade de pontos de X 3 1 Imediato veja definicao de ponto de acumulacao Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas 7 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Teorema Dados X R e a R as seguintes afirmacoes sao equivalentes 1 a e um ponto de acumulacao de X 2 a e limite de uma sequˆencia de pontos xn X a 3 Todo intervalo aberto de centro a contem uma infinidade de pontos de X 1 2 Seja a um ponto de acumulacao de X Para cada n N considere xn a 1 n a 1 n X a Assim a 1 n xn a 1 n para todo n N ou seja lim xn a 2 3 Seja I um intervalo aberto de centro em a entao existe ε 0 tal que a ε a ε I Como existe uma sequˆencia de pontos xn X a tal que lim xn a entao existe n0 N tal que xn a ε a ε I para todo n n0Logo I contem uma infinidade de pontos de X 3 1 Imediato veja definicao de ponto de acumulacao Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas 7 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Teorema Dados X R e a R as seguintes afirmacoes sao equivalentes 1 a e um ponto de acumulacao de X 2 a e limite de uma sequˆencia de pontos xn X a 3 Todo intervalo aberto de centro a contem uma infinidade de pontos de X 1 2 Seja a um ponto de acumulacao de X Para cada n N considere xn a 1 n a 1 n X a Assim a 1 n xn a 1 n para todo n N ou seja lim xn a 2 3 Seja I um intervalo aberto de centro em a entao existe ε 0 tal que a ε a ε I Como existe uma sequˆencia de pontos xn X a tal que lim xn a entao existe n0 N tal que xn a ε a ε I para todo n n0Logo I contem uma infinidade de pontos de X 3 1 Imediato veja definicao de ponto de acumulacao Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas 7 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Teorema Dados X R e a R as seguintes afirmacoes sao equivalentes 1 a e um ponto de acumulacao de X 2 a e limite de uma sequˆencia de pontos xn X a 3 Todo intervalo aberto de centro a contem uma infinidade de pontos de X 1 2 Seja a um ponto de acumulacao de X Para cada n N considere xn a 1 n a 1 n X a Assim a 1 n xn a 1 n para todo n N ou seja lim xn a 2 3 Seja I um intervalo aberto de centro em a entao existe ε 0 tal que a ε a ε I Como existe uma sequˆencia de pontos xn X a tal que lim xn a entao existe n0 N tal que xn a ε a ε I para todo n n0Logo I contem uma infinidade de pontos de X 3 1 Imediato veja definicao de ponto de acumulacao Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas 7 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Teorema Dados X R e a R as seguintes afirmacoes sao equivalentes 1 a e um ponto de acumulacao de X 2 a e limite de uma sequˆencia de pontos xn X a 3 Todo intervalo aberto de centro a contem uma infinidade de pontos de X 1 2 Seja a um ponto de acumulacao de X Para cada n N considere xn a 1 n a 1 n X a Assim a 1 n xn a 1 n para todo n N ou seja lim xn a 2 3 Seja I um intervalo aberto de centro em a entao existe ε 0 tal que a ε a ε I Como existe uma sequˆencia de pontos xn X a tal que lim xn a entao existe n0 N tal que xn a ε a ε I para todo n n0Logo I contem uma infinidade de pontos de X 3 1 Imediato veja definicao de ponto de acumulacao Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas 7 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Teorema Dados X R e a R as seguintes afirmacoes sao equivalentes 1 a e um ponto de acumulacao de X 2 a e limite de uma sequˆencia de pontos xn X a 3 Todo intervalo aberto de centro a contem uma infinidade de pontos de X 1 2 Seja a um ponto de acumulacao de X Para cada n N considere xn a 1 n a 1 n X a Assim a 1 n xn a 1 n para todo n N ou seja lim xn a 2 3 Seja I um intervalo aberto de centro em a entao existe ε 0 tal que a ε a ε I Como existe uma sequˆencia de pontos xn X a tal que lim xn a entao existe n0 N tal que xn a ε a ε I para todo n n0Logo I contem uma infinidade de pontos de X 3 1 Imediato veja definicao de ponto de acumulacao Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas 7 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Teorema Dados X R e a R as seguintes afirmacoes sao equivalentes 1 a e um ponto de acumulacao de X 2 a e limite de uma sequˆencia de pontos xn X a 3 Todo intervalo aberto de centro a contem uma infinidade de pontos de X 1 2 Seja a um ponto de acumulacao de X Para cada n N considere xn a 1 n a 1 n X a Assim a 1 n xn a 1 n para todo n N ou seja lim xn a 2 3 Seja I um intervalo aberto de centro em a entao existe ε 0 tal que a ε a ε I Como existe uma sequˆencia de pontos xn X a tal que lim xn a entao existe n0 N tal que xn a ε a ε I para todo n n0Logo I contem uma infinidade de pontos de X 3 1 Imediato veja definicao de ponto de acumulacao Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas 7 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Teorema Dados X R e a R as seguintes afirmacoes sao equivalentes 1 a e um ponto de acumulacao de X 2 a e limite de uma sequˆencia de pontos xn X a 3 Todo intervalo aberto de centro a contem uma infinidade de pontos de X 1 2 Seja a um ponto de acumulacao de X Para cada n N considere xn a 1 n a 1 n X a Assim a 1 n xn a 1 n para todo n N ou seja lim xn a 2 3 Seja I um intervalo aberto de centro em a entao existe ε 0 tal que a ε a ε I Como existe uma sequˆencia de pontos xn X a tal que lim xn a entao existe n0 N tal que xn a ε a ε I para todo n n0Logo I contem uma infinidade de pontos de X 3 1 Imediato veja definicao de ponto de acumulacao Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas 7 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Teorema Dados X R e a R as seguintes afirmacoes sao equivalentes 1 a e um ponto de acumulacao de X 2 a e limite de uma sequˆencia de pontos xn X a 3 Todo intervalo aberto de centro a contem uma infinidade de pontos de X 1 2 Seja a um ponto de acumulacao de X Para cada n N considere xn a 1 n a 1 n X a Assim a 1 n xn a 1 n para todo n N ou seja lim xn a 2 3 Seja I um intervalo aberto de centro em a entao existe ε 0 tal que a ε a ε I Como existe uma sequˆencia de pontos xn X a tal que lim xn a entao existe n0 N tal que xn a ε a ε I para todo n n0Logo I contem uma infinidade de pontos de X 3 1 Imediato veja definicao de ponto de acumulacao Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas 7 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Corolario Se X entao X e infinito Exemplo Todos os pontos de Z sao isolados Exemplo Se X a b entao X a b Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas 8 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Corolario Se X entao X e infinito Exemplo Todos os pontos de Z sao isolados Exemplo Se X a b entao X a b Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas 8 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Corolario Se X entao X e infinito Exemplo Todos os pontos de Z sao isolados Exemplo Se X a b entao X a b Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas 8 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Dada uma funcao real f X R R estamos interessados em saber o que acontece com o valor de f x quando x se aproxima de um ponto a sem entretanto assumir este valor assim nao e necessario que f a esteja definido Ou seja nao e necessario que a pertenca ao domınio de f Porem e preciso que seja possıvel se aproximar de a por pontos do domınio de f Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas 9 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Definicao Sejam f I R e a X um ponto de acumulacao de X Dizemos que existe o limite de f x quando x tende a a e ele vale L R se ε 0 δ 0 x I 0 x a δ f x L ε Neste caso escrevemos lim xa f x L Observacao 1 A restricao 0 x a significa x a Assim nao e permitido a variavel x assumir o valor a Portanto o valor de f a nao tem importˆancia alguma quando se quer determinar o lim xa f x 2 Na definicao de limite e essencial que a X mas e irrelevante que a pertenca ou nao a X Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas10 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Definicao Sejam f I R e a X um ponto de acumulacao de X Dizemos que existe o limite de f x quando x tende a a e ele vale L R se ε 0 δ 0 x I 0 x a δ f x L ε Neste caso escrevemos lim xa f x L Observacao 1 A restricao 0 x a significa x a Assim nao e permitido a variavel x assumir o valor a Portanto o valor de f a nao tem importˆancia alguma quando se quer determinar o lim xa f x 2 Na definicao de limite e essencial que a X mas e irrelevante que a pertenca ou nao a X Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas10 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Definicao Sejam f I R e a X um ponto de acumulacao de X Dizemos que existe o limite de f x quando x tende a a e ele vale L R se ε 0 δ 0 x I 0 x a δ f x L ε Neste caso escrevemos lim xa f x L Observacao 1 A restricao 0 x a significa x a Assim nao e permitido a variavel x assumir o valor a Portanto o valor de f a nao tem importˆancia alguma quando se quer determinar o lim xa f x 2 Na definicao de limite e essencial que a X mas e irrelevante que a pertenca ou nao a X Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas10 81 Propriedades PRT ReMi 1 Limites Laterais Exemplo 1 sex0 Seja f R 0 R dada por fx 1 sex0 Propriedades PRT ReMi 1 Limites Laterais Exemplo 1 sex0 Seja f R 0 R dada por fx 1 sex0 PRT ReMi 1 Limites Laterais Seja f R 0 R dada por fx 1 sex0 a P 1 sex0 E facil ver que 0 é ponto de acumulaao de R 0 Suponhamos que lim fx k Tomando 1 na definido de limite obtemos a existéncia x2 de 6 0 tal que fx k 1 quando 0 x 6 Portanto 2 11 fd2 F62 f62 k f62 k 1412 Absurdo Propriedades PRT ReMi 1 Limites Laterais Exercicio x1 sex0 Seja f R 0 R dada por fx Mostre que x1 sex 0 nao existe lim fx x0 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Exemplo Seja f R R dada por f x x Entao lim xx0 f x x0 De fato dado ε 0 considere δ ε assim x R 0 x x0 δ f x x0 x x0 δ ε Exercıcio Sejam a b R a 0 e f R R dada por f x ax b Mostre que lim xx0 f x ax0 b Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas13 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Exemplo Seja f R R dada por f x x Entao lim xx0 f x x0 De fato dado ε 0 considere δ ε assim x R 0 x x0 δ f x x0 x x0 δ ε Exercıcio Sejam a b R a 0 e f R R dada por f x ax b Mostre que lim xx0 f x ax0 b Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas13 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Exemplo Seja f R R dada por f x x Entao lim xx0 f x x0 De fato dado ε 0 considere δ ε assim x R 0 x x0 δ f x x0 x x0 δ ε Exercıcio Sejam a b R a 0 e f R R dada por f x ax b Mostre que lim xx0 f x ax0 b Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas13 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Exemplo Seja f R R dada por f x x2 Entao lim xx0 f x x2 0 Dado ε 0 considere δ min1 ε2x0 1 Assim se 0 x x0 δ entao x x0 δ x0 1 Alem disto f x x2 0 x2 x2 0 x x0 x x0 δx x0 δ2x0 1 ε Exemplo Seja f R R dada por f x x3 Entao lim x1 x3 1 Exemplo Seja f Ra R dada por f x x2a2 xa Entao lim xa f x 2a Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas14 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Exemplo Seja f R R dada por f x x2 Entao lim xx0 f x x2 0 Dado ε 0 considere δ min1 ε2x0 1 Assim se 0 x x0 δ entao x x0 δ x0 1 Alem disto f x x2 0 x2 x2 0 x x0 x x0 δx x0 δ2x0 1 ε Exemplo Seja f R R dada por f x x3 Entao lim x1 x3 1 Exemplo Seja f Ra R dada por f x x2a2 xa Entao lim xa f x 2a Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas14 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Exemplo Seja f R R dada por f x x2 Entao lim xx0 f x x2 0 Dado ε 0 considere δ min1 ε2x0 1 Assim se 0 x x0 δ entao x x0 δ x0 1 Alem disto f x x2 0 x2 x2 0 x x0 x x0 δx x0 δ2x0 1 ε Exemplo Seja f R R dada por f x x3 Entao lim x1 x3 1 Exemplo Seja f Ra R dada por f x x2a2 xa Entao lim xa f x 2a Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas14 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Exemplo Seja f R R dada por f x x2 Entao lim xx0 f x x2 0 Dado ε 0 considere δ min1 ε2x0 1 Assim se 0 x x0 δ entao x x0 δ x0 1 Alem disto f x x2 0 x2 x2 0 x x0 x x0 δx x0 δ2x0 1 ε Exemplo Seja f R R dada por f x x3 Entao lim x1 x3 1 Exemplo Seja f Ra R dada por f x x2a2 xa Entao lim xa f x 2a Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas14 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Exemplo Seja f R R dada por f x x2 Entao lim xx0 f x x2 0 Dado ε 0 considere δ min1 ε2x0 1 Assim se 0 x x0 δ entao x x0 δ x0 1 Alem disto f x x2 0 x2 x2 0 x x0 x x0 δx x0 δ2x0 1 ε Exemplo Seja f R R dada por f x x3 Entao lim x1 x3 1 Exemplo Seja f Ra R dada por f x x2a2 xa Entao lim xa f x 2a Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas14 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Exemplo Seja f R R dada por f x x2 Entao lim xx0 f x x2 0 Dado ε 0 considere δ min1 ε2x0 1 Assim se 0 x x0 δ entao x x0 δ x0 1 Alem disto f x x2 0 x2 x2 0 x x0 x x0 δx x0 δ2x0 1 ε Exemplo Seja f R R dada por f x x3 Entao lim x1 x3 1 Exemplo Seja f Ra R dada por f x x2a2 xa Entao lim xa f x 2a Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas14 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Teorema 1 Sejam f g X R a X lim xa f x L e lim xa gx M Se L M entao existe δ 0 tal que f x gx para todo x X com 0 x a δ Observacao 1 A hipotese L M nao pode ser substituida por L M Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas15 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Corolario 1 Se lim xa f x L M entao existe δ 0 tal que f x M para todo x X com 0 x a δ Corolario 2 Sejam lim xa f x L e lim xa gx M Se f x gx para todo x X a entao L M Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas16 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Teorema do Confronto Sejam f g h X R a X e lim xa f x lim xa gx L Se f x hx gx para todo x X a entao lim xa hx L Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas17 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Teorema 3 Sejam f X R e a X A fim de que seja lim xa f x L e necessario e suficiente que para toda sequˆencia de pontos xn X a com lim xn a tenhase lim n f xn L Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas18 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Note como as proposicoes facilitam o calculo de limites Retomemos ao ultimo exemplo mostrando o mesmo resultado sem manipular δs e εs Exemplo Sejam f R R dada por f x x2 x0 R e xnn R x0 convergente para x0 Como f xn x2 n x2 0 Como a sequˆencia xnn e arbitraria concluımos que lim xx0 f x x2 0 Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas19 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Corolario 3 Unicidade do Limite Sejam f X R e a X Se lim xa f x L e lim xa f x M entao L M Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas20 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Corolario Operacoes com limites Sejam f g X R e a X com lim xa f x L e lim xa gx M Entao 1 lim xaf x gx L M 2 lim xa f x gx L M 3 lim xa f x gx L M se M 0 Alem disso se lim xa f x 0 e g e limitada numa vizinhanca de a temse lim xaf x gx 0 Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas21 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Teorema 4 Sejam f X R e a X Se existe lim xa f x entao f e limitada numa vizinhanca de a isto e existem δ 0 e c 0 tais que x X 0 x a δ entao f x c Exemplo Sejam f g R R dadas por f x c e gx x entao para todo a R temse lim xa f x c e lim xa gx ga Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas22 81 Seja p R R dada por px ao a1x anx anx temse lim px pla Seja f R 0 R dada por fx sin 2 entdo lim x fx 0 mas x nado existe lim fx x0 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Exercıcios 1 Sejam f X R a X e Y f X a Se lim xa f x L entao L Y 2 Sejam f X R e a X A fim de que exista lim xa f x e necessario e suficiente que para toda sequˆencia de pontos xn X a com lim xn a a sequˆencia f xn seja convergente 3 Sejam f X R g Y R com f X Y a X e b Y Y Se lim xa f x b e lim yb gy c prove que lim xa gf x c contanto que c gb ou entao que x a implique f x b 4 Sejam f g R R definidas por f x 0 se x e irracional e f x x se x Q g0 1 e gx 0 se x 0 Mostre que lim x0 f x 0 e lim y0 gy 0 porem nao existe lim xa gf x Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas24 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Limites Laterais Definicao Seja X R Dizse que um numero real a e um ponto de acumulacao a direita para X escrevese a X quando toda vizinhanca de a contem algum ponto x X com x a Equivalentemente ε 0 X a a ε Note que a X xnn a Exemplo Seja X 1 12 13 entao 0 X Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas25 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Definicao Seja X R Dizse que um numero real a e um ponto de acumulacao a esquerda para X escrevese a X quando toda vizinhanca de a contem algum ponto x X com x a Equivalentemente ε 0 X a ε a Note que a X xnn a Quando a X X dizemos que a e ponto de acumulacao bilateral de X Exemplo Seja X 1 12 13 entao 0 X porem 0 X Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas26 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Exemplo Seja I a b R Se c IntI entao c X X Se c a entao c X porem c X Se c b entao c X porem c X Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas27 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Definicao Sejam f X R a X Dizse que L R e limite a direita de f x quando x tende a a e escrevese L lim xa f x quando para todo ε 0 dado arbitrariamente podese obter δ 0 tal que f x L ε sempre que x X e 0 x a δ L lim xa f x ε 0δ 0 x X a a δ f x L ε Analogamente se define o limite a esquerda L lim xa f x ε 0δ 0 x X a δ a f x L ε Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas28 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Observacao 1 As demonstracoes das propriedades gerais dos limites se adaptam facilmente para os limites laterais 2 Dado a X X existe lim xa f x L se e somente se existem e sao iguais os limites laterais lim xa f x lim xa f x L Exemplo Seja f R 0 R dada por f x x x Note que lim x0 f x 1 e lim x0 f x 1 mas nao existe lim x0 f x Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas29 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Definicao Uma funcao f X R chamase monotona naodecrescente quando para x y X x y temse f x f y Se x y f x f y f dizse monotona naocrescente Quando x y f x f y f dizse que crescente e se x y f x f y dizemos que f e decrescente Teorema Seja f X R uma monotona limitada Para todo a X e todo b X existem L lim xa f x e M lim xb f x Ou seja existem sempre os limites laterais de uma funcao monotona limitada Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas30 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Exercıcios 1 Prove que a X respectivamente a X se e so se a lim xn e limite de alguma sequˆencia decrescente respectivamente crescente de pontos pertencentes ao conjunto X 2 Prove que lim xa f x L respectivamente lim xa f x L se e so se para toda sequˆencia decrescente resp crescente de pontos xn X com lim xn 0 temse lim f xn L 3 Sejam f R 0 R definida por f x 11 a1x onde a 1 Prove que lim x0 f x 0 e lim x0 f x 1 Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas31 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Definicao Seja X R ilimitado superiormente Dada f X R escrevese lim x f x L quando o numero real L satisfaz a seguinte condicao ε 0A 0 x X x A f x L ε Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas32 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Analogamente Definicao Seja X R ilimitado inferiormente Dada f X R escrevese lim x f x L quando o numero real L satisfaz a seguinte condicao ε 0A 0 x X x A f x L ε Valem os resultados ja demonstrados para o limite x a a R Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas33 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Exemplo 1 lim x 1 x 0 2 lim x 1 x 0 3 Nao existe lim x sinx e nem lim x sinx 4 lim x ex 0 Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas34 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Definicao Sejam X R a X f X R Diremos que lim xa f x quando para todo A 0 dado existe δ 0 tal que 0 x a δ x X f x A Exemplo lim xa 1 xa2 De fato dado A 0 considere δ 1 A Entao 0 x a δ 0 x a2 1A 1 x a2 A Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas35 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Definicao Sejam X R a X f X R Diremos que lim xa f x quando para todo A 0 dado existe δ 0 tal que 0 x a δ x X f x A Exemplo lim xa 1 xa2 De fato dado A 0 considere δ 1 A Entao 0 x a δ 0 x a2 1A 1 x a2 A Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas35 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Definicao Sejam X R a X f X R Diremos que lim xa f x quando para todo A 0 dado existe δ 0 tal que 0 x a δ x X f x A Exemplo lim xa 1 xa2 De fato dado A 0 considere δ 1 A Entao 0 x a δ 0 x a2 1A 1 x a2 A 1 x a2 A Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas36 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Propriedades Limites Laterais Exercıcios 1 Escreva as definicoes de 1 lim xa f x 2 lim xa f x 3 lim x f x 4 lim x f x 2 Seja f a limitada Para cada t a indiquemos com Mt o sup e mt o inf de f no intervalo I t Com ωt Mt mt a oscilacao de f em I Prove que existem lim t Mt e lim t mt Prove que lim x f x se e so se lim t ωt 0 Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas37 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Intuitivamente uma funcao f e contınua em um ponto a do seu domınio se f x esta proximo de f a quando x esta proximo de a Pela discussao anterior e definicao de limite de funcoes somos tentados a dizer que f X R e contınua em a quando lim xa f x f a e quase isto mas nao exatamente O problema e um detalhe tecnico A definicao de limite exige que a seja ponto de acumulacao de X mas nao necessariamente esteja em X Por outro lado para que f a tenha sentido devemos ter a X Estas duas condicoes podem ser incompatıveis Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas38 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Exemplo Seja X 0 1 2 Temos que 2 X mas 2 X 2 0 1 Dada f X R f 2 tem sentido mas lim x2 f x nao Por outro lado 1 X mas 1 X Logo nao existe f 1 porem pode existir lim x1 f x Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas39 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Funcoes Contınuas Definicao Dizemos que uma funcao f X R e contınua no ponto a X quando para todo ε 0 dado existe δ 0 tal que f x f a ε para todo x X x a δ Simbolicamente f X R e contınua no ponto a X se e somente se ε 0 δ 0 x X x a δ f x f a ε Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas40 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Observacao Em termos de intervalos temos que f e contınua no ponto a se e so se ε 0 δ 0 f I X J onde I a δ a δ e J f a ε f a ε Definicao Dizemos que uma funcao f X R e contınua quando e contınua em todos os pontos de X Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas41 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Definicao Dizemos que f e descontınua no ponto a quando f nao e contınua no ponto a Ou seja existe ε 0 tal que para todo δ 0 podese encontrar xδ X tal que xδ a δ e f xδ f a ε Em particular tomando δ sucessivamente igual a 1 12 13 e escrevendo xn x1n obtemos que xn a 1 n e f xn f a ε Assim lim xn a e lim f xn f a Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas42 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Exemplo Seja f X R dada por f x x Entao f e contınua De fato dados c X e ε 0 considere δ ε Assim x X x c δ implica que f x f c x c δ ε Observacao Se a e um ponto isolado de X entao toda funcao f X R e contınua no ponto a De fato se a X e ponto isolado entao existe δ0 0 tal que a δ0 a δ0 X a Dado ε 0 existe δ δ0 0 tal que f x f a ε para todo x a δ0 a δ0 X a Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas43 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Observacao Em particular se todos os pontos de x sao isolados entao toda funcao f N R e contınua Essa observacao acaba com o mito geralmente apresentado nos cursos de Calculo I que diz que funcoes contınuas sao aquelas cujos graficos sao tracados sem tirar o lapis do papel Esboce o grafico de f N R dada por f n n Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas44 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Exercıcio Dˆe exemplo de uma funcao f X R R contınua em todos os pontos de X tal que NAO existe lim xx0 f x para todo x0 X Justifique matematicamente cada uma das suas afirmacoes Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas45 81 Se a XX Entao f é continua no ponto ase esd se lim fx fa xa I a Assim se a X temos que lim fx L se e sé se a funcdo xa g XU a R dada por x fx Sex eX a 8 L Sex a é continua no ponto a Seja X 0154 ef X SR Assim f continua se e sé se 6 continua no ponto 0 ou seja se e sé se 0 lim f n00 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Exemplo Prove que se f A R e contınua entao f A R dada por f x f x e contınua A recıproca e verdadeira Ou seja podemos afirmar que se f e contınua entao f e contınua Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas47 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Teorema Sejam f g X R contınuas no ponto a X com f a ga Existe δ 0 tal que f x gx para todo x X a δ a δ Corolario Seja f X R contınuas no ponto a X Se f a 0 existe δ 0 tal que para todo x X a δ a δ f x tem o mesmo sinal de f a Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas48 81 FungGes continuas no Intervalo Funcdes Uniformemente continuas Pai reelecMeelMTELy Teorema Uma funcao f X R é continuas no ponto a X se e sd se lim f xn fa para toda sequéncia x de pontos de X que converge noo para a O teorema acima diz que funcdes continuas sdo aquelas que comutam com o simbolo de limite ou seja f é continua se e somente se lim fx f lim Xn n00 n00 desde que a sequéncia xp esteja contida no dominio de f e seja convergente para um ponto deste conjunto FungGes continuas no Intervalo Funcdes Uniformemente continuas Pai reelecMeelMTELy 1 sexe Seja f R R dada por fx Q entdo f é descontinua 0 sexQ De fato dado xo R arbitrdrio tomando sequéncias x C Qe Ynn C QS convergentes para x9 obtemos que fx 1 fyn 0 Portanto f é descontinua em qualquer ponto Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Corolario Sejam f g X R sao contınuas no ponto a X entao f g e f g sao contınuas em a Se ga 0 entao f g X0 R e contınua em a onde X0 x X gx 0 Em particular se f e contınua no ponto a X entao cf e contınua em a onde c R Exemplos 1 Todo polinˆomio p R R e uma funcao contınua 2 Toda funcao racional pxqx onde p e q sao funcoes polinomiais e contınua nos pontos onde o denominador q nao se anula Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas51 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Exercıcio Mostre que se f g R R sao contınuas entao ℓx maxf x gx e contınuas O que se pode afirmar sobre o e hx minf x gx Dica maxa b a b ab2 Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas52 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Teorema Sejam f X R contınua no ponto a X e g Y R contınua no ponto b f a Y e f X Y entao g f X R e contınua no ponto a Em particular a composta de duas funcoes contınuas e contınua no seu domınio de definicao Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas53 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Exercıcios 1 Seja f R R contınua Prove que se f x 0 para todo x X entao f x 0 para todo x X 2 Prove que f R R e contınua se e so se para todo X R temse f X f X 3 Sejam f g X R contınuas no ponto a Suponha que em cada vizinhanca V de a existam pontos x y tais que f x gx e f y gy Prove que f a ga Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas54 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Funcoes Contınuas no Intervalo Teorema do Valor Intermediario Seja f a b R contınua Se f a d f b entao existe c a b tal que f c d A mesma conclusao vale se f a d f b Seja S x a b f x d E imediato que S a S e limitado superiormente b e cota superior de S Sejam c sup S e xnn S tal que xn c Temos que f xn d para todo n N e como f e contınua em c lim n f xn f c Portanto f c d e logo c b Suponhamos que f c d Pela proposicao da permanˆencia de sinal existe δ 0 tal que se x a b e x c δ entao f x d Como c b podemos tomar x a b com c x c δ para obter que f x d Isto implica que x S e x c sup S o que e absurdo Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas55 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Exercıcio Seja f R R definida por f x cosxx10 x21 2x 13 π Prove que existe x R tal que f x 0 Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas56 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Corolario Seja I R um conexo e f I R contınua Entao f I e um conexo O resultado e obvio se f e constante Seja J f I Para mostrar que J e um intervalo vamos mostrar que dados y1 y2 J com y1 y2 y1 y2 J Para isto tome y y1 y2 qualquer Como J f I existem x1 x2 I tais que f x1 y1 y2 f x2 Como f x1 f x2 obtemos que x1 x2 Suponhamos por simplicidade que x1 x2 Pelo Teorema do Valor Intermediario a funcao f no intervalo x1 x2 concluımos que existe x x1 x2 tal que f x y Segue que y J Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas57 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Teorema Seja K R um compacto e f K R contınua Entao f K e um compacto Seja yn f K qualquer Queremos provar que existe subsequˆencia convergente para algum elemento de f K Por definicao yn f K implica que existe xn K com yn f xn Como K e compacto existe subsequˆencia xnk x0 K Definindo ynk f xnk pela continuidade da f lim k ynk lim k f xnk f x0 f K Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas58 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Aplicacao Em qualquer instante de tempo existe um ponto sobre o equador da Terra cuja temperatura e a mesma do seu ponto antıpoda Suponha que a Terra seja redonda e considere P0 um ponto qualquer na sua superfıcie A semireta que liga P0 ao centro da terra fura a superfıcie em outro ponto P 0 que chamamos de antıpoda do ponto P0 Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas59 81 Apresentacao da disciplina ATi Rome CM Tiel et Funcoes continuas no Intervalo Limites de Funcdes Funcdes Uniformemente continuas Pai reelecMeelMTELy Seja entdo Pp um ponto fixo em cima do equador e O o centro da terra Dado outro ponto Pg sobre o equador os segmentos OPp e OPg formam um angulo 027 Desta forma podemos construir uma funao T 027 R da seguinte forma T0 temperatura no ponto Py se00 27 temperatura no ponto Pp sed 027 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas A intuicao fısica nos permite afirmar que a funcao T e contınua porque pontos proximos na superfıcie da terra tˆem temperaturas proximas Considere agora a funcao contınua gθ Tθ Tθ π θ 0 π que mede a diferenca de temperatura entre dois pontos antıpodas Note que g0 T0 Tπ gπ Tπ T2π g0 Se g0 0 entao a temperatura nos pontos P0 e Pπ sao iguais Caso contrario devemos ter g0 0 Neste caso como gπ g0 os sinais de g0 e gπ sao opostos Segue entao do Teorema do Valor Intermediario que existe θ0 0 π tal que gθ0 0 Assim os pontos Pθ0 Pθ0π estao sob a mesma temperatura Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas61 81 Funcoes continuas no Intervalo Funcdes Uniformemente continuas Pai reelecMeelMTELy Aplicacgao Todo Polinémio p R R de grau impar possui alguma raiz real De fato seja px ao a1x aox ax com n impar e an 0 Para fixar as ideias suporemos a 0 Escrevemos ago 1 ay 1 an1 1 px anx 4 741 an X an x an xXx 7ia 1 an1 1 Denotamos rx 29 fb aear t 2 1 Note que lim rx lim rx 1 Logo lim x lim ayx00e X00 X0O 8 X00 P X00 n lim px lim ax oo pois n é impar Assim pR R isto xX0O X00 é p R R é sobrejetiva Em particular existe c R tal que pc 0 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Aplicacao Existˆencia de na Para cada n N seja f 0 0 a funcao definida por f x xn Como f e contınua f 0 0 e lim x f x temos que f 0 0 ou seja f e sobrejetiva Alem disso f e crescente e portanto injetiva Entao f 0 0 e uma bijecao contınua Assim dado a 0 existe um unico x 0 que denotamos por x na tal que xn a Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas63 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Teorema Seja f I R uma funcao contınua injetiva definida num intervalo I Entao f e monotona sua imagem J f I e um intervalo e sua inversa f 1 J I e contınua Definicao Sejam X Y R Uma bijecao contınua f X Y cuja inversa f 1 Y X tambem e contınua chamase um homeomorfismo entre X e Y Pelo teorema acima se f I R e uma bijecao contınua definida num intervalo I entao f I J e um intervalo e f 1 J I e tambem contınua ou seja f I J e um homeomorfismo Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas64 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Observacao Nem toda bijecao contınua f X Y tem inversa contınua Por exemplo seja f X 0 1 2 3 Y 1 3 definida por f x x 1 se x 0 1 e f x x se x 2 3 1 f e bijecao contınua e crescente 2 f 1 1 3 0 1 2 3 e descontınua no ponto 2 pois f 1y y se y 2 3 e f 1y y 1 se y 1 2 entao f 12 2 e lim y2 f 1y 1 f 12 Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas65 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Teorema Weiertrass Se f X R e contınua no conjunto compacto X R Existem x0 x1 X tais que f x0 f x f x1 para todo x X Como f X e compacto logo possui um menor elemento f x0 e um maior elemento f x1 isto e existem x0 x1 X tais que f x0 f x f x1 para todo x X Corolario Se f X R e contınua no conjunto compacto X R Entao f e limitada isto e existe c R tal que f x c para todo x X Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas66 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Exemplo A funcao f 0 1 R definida por f x 1 x e contınua porem nao e limitada isso porque 0 1 nao e compacto Teorema Se X R e compacto entao toda bijecao contınua f X Y R tem inversa contınua g Y X Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas67 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Exercıcios 1 Uma funcao f X R dizse localmente constante quando todo ponto de X possui uma vizinhanca V tal que f e constante em V X Prove que toda funcao f I R localmente constante num intervalo I e constante 2 Seja f I R uma funcao monotona definida no intervalo I Se a imagem f I e um intervalo prove que f e contınua 3 Seja f 0 1 R contınua tal que f 0 f 1 Prove que existe x 0 12 tal que f x f x 12 Prove o mesmo resultado com 13 em vez de 12 Generalize Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas68 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Definicao Dizemos que uma funcao f X R e uniformemente contınua quando para cada ε 0 dado existe δ 0 tal que x y X x y δ f x f y ε Observacao Toda funcao uniformemente contınua e contınua De fato dado ε 0 existe δ 0 tal que x y X x y δ f x f y ε Se a X temos que f e contınua em a Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas69 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Exemplo Seja f R R definida por f x ax b a 0 Entao f e uniformemente contınua De fato dado ε 0 existe δ ε a 0 tal que x y R x y δ f x f y ax b ay b a x y a ε a ε Logo f e uniformemente contınua em R Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas70 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Observacao Uma funcao f X R nao e uniformemente contınua se e so se existe ε0 0 tal que para todo δ 0 existem x y X tais que xδ yδ δ e f xδ f yδ ε0 Nem toda funcao contınua e uniformemente contınua Exemplo Seja f R 0 R dada por f x x x Note que f e contınua em R 0 pois e constante numa vizinhanca de cada ponto x 0 Entretanto se tomarmos ε 2 para todo δ 0 que escolhermos existirao sempre pontos x y R 0 tais que x y δ e f x f y ε Basta tomar x δ3 e y δ3 Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas71 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Definicao Dizemos que uma funcao f X R e lipschitziana quando existe uma constante k 0 tal que f x f y kx y quaisquer que sejam x y X A menor de tais constantes k 0 e chamada a constante de Lipschitz de f Exemplo A funcao f R R definida por f x ax b a 0 e Lipschitziana com constante de Lipschitz igual a a Proposicao Toda funcao f X R lipschitziana e uniformemente contınua Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas72 81 FungGes continuas no Intervalo Pai reelecMeelMTELy Seja f Rt R dada por fx 4 Ento f nao é Lipschitiziana entretanto para todo a 0 a retrido de f ao intervalo a 00 é Lispschitiziana Note que f nado é Lipschitiziana pois ndo é uniformemente continua Mas f aoo R é Lipschitiziana j4 que dados x y a 00 temos que x y a entao 1 1 lyx 1 ie Fon 2 Pc Sy x oy Ixy a Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Teorema Seja f X R uniformemente contınua Se xn e uma sequˆencia de Cauchy em X entao f xn e uma sequˆencia de Cauchy Como f e uniformemente contınua dado ε 0 existe δ 0 tal que x y X x y δ f x f y ε Como xn e de Cauchy existe n0 N tal que xm xn δ para m n n0 Logo f xn f xm ε para m n n0 ou seja f xn e uma sequˆencia de Cauchy Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas74 81 Seja f X R uniformemente continua entdo existe lim fx para todo xa aeEx Seja xn uma sequéncia de pontos de X a tal que xp a Entdo pelo teorema anterior fx é de Cauchy e portanto convergente As funcées fg 0 1 R fx sin 2 e gx 4 no sao uniformemente continuas pois ndo existem lim gx e lim fx mas x0 x0 0 01 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Teorema Seja X compacto Entao toda funcao contınua f X R e uniformemente contınua Suponhamos que f nao e uniformemente contınua Entao existe ε0 0 tal que para todo n N existem xn yn X com xn yn 1 n e f xn f yn ε0 Como X e compacto a sequˆencia xn possui uma subsequˆencia xnk que converge para um ponto x X Entao ynk x pois limxnk ynk 0 Sendo f contınua temos que lim f ynk f x o que contradiz a desigualdade f xnk f ynk ε0 para todo k N Logo f e uniformemente contınua Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas76 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Exemplo A funcao f 0 1 R f x x e contınua e portanto uniformemente contınua pois 0 1 e compacto Mas f nao e lipschitziana pois o quociente xy xy 1 xy nao e limitado ja que lim xy0 1 xy Teorema Toda funcao f X R uniformemente contınua num conjunto limitado X e uma funcao limitada Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas77 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Se f nao fosse limitada digamos superiormente entao existiria uma sequˆencia de pontos xn X tais que f xn1 f xn 1 para todo n N Como X e limitado podemos passando uma subsequˆencia se necessario supor que a sequˆencia xn e convergente Entao pondo yn xn1 terıamos limyn xn 0 mas como f yn f xn 1 nao vale limf yn f xn 0 logo f nao e uniformemente contınua Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas78 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Exercıcios 1 Seja f R R contınua tal que lim x f x lim x f x Prove que existe x0 R tal que f x0 f x para todo x R 2 Seja f R R contınua tal que lim x f x e lim x f x Prove que para todo c R dado existe entre as raızes da equacao f x c uma cujo modulo x e mınimo 3 Prove que nao existe uma funcao contınua f a b R que assuma cada um dos seus valores f x x a b exatamente duas vezes 4 Uma funcao f R R dizse periodica quando existe p R tal que f x p f x para todo x R Prove que toda funcao contınua periodica f R R e limitada e atinge seus valores maximos e mınimos isto e existem x0 x1 R tais que f x0 f x f x1 para todo x R Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas79 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Exercıcios 5 Se toda funcao contınua f X R e uniformemente contınua prove que o conjunto X e fechado porem nao necessariamente compacto 6 Mostre que a funcao contınua f X R dada por f x sinx2 nao e uniformemente contınua 7 Seja f R R contınua Se existem lim x f x e lim x f x prove que f e uniformemente contınua Mesma conclusao vale se existem os limites de f x x quando x Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas80 81 Apresentacao da disciplina Limite de funcoes Limites de Funcoes Funcoes contınuas Funcoes contınuas no Intervalo Funcoes Uniformemente contınuas Referˆencias AVILA G Analise matematica para licenciatura 3 ed Sao Paulo Edgard Blucher 2006 FIGUEIREDO D G Analise I 2 ed Rio de Janeiro Livros Tecnicos e Cientıficos 1996 LIMA E L Analise Real volume 1 Funcoes de uma variavel 10 ed Rio de Janeiro IMPA 2008 NERI C e CABRAL M Curso de Analise Real 1 ed Rio de Janeiro 2009 RUDIN W Principles of Mathematical Analysis 3 ed McGrawHill Education New York 1976 LACZKOVICH M e SOS V T Real analysis 1º ed Springer New York2015 Felipe Fonseca Uso dos sistemas dinˆamicos na modelagem de problemas81 81