Noções Elementares de Topologia

5 Algumas Nocoes Topologicas A Topologia e um ramo da Matematica no qual sao estudadas com grande generalidade as nocoes de limite de continuidade e as ideias com elas relacionadas Neste capıtulo abordaremos alguns conceitos topologicos elementares referentes a subconjuntos de R visando estabe lecer a base adequada para desenvolver os capıtulos seguintes Adota remos uma linguagem geometrica dizendo ponto em vez de numero real a reta em vez de o conjunto R 1 Conjuntos abertos Dizse que o ponto a e interior ao conjunto X R quando existe um numero ε 0 tal que o intervalo aberto aε aε esta contido em X O conjunto dos pontos interiores a X chamase o interior do conjunto X e representase pela notacao int X Quando a int X dizse que o conjunto X e uma vizinhanca do ponto a Um conjunto A R chama se aberto quando A int A isto e quando todos os pontos de A sao interiores a A Exemplo 1 Todo ponto c do intervalo aberto a b e um ponto interior a a b Os pontos a e b extremos do intervalo fechado a b nao sao interiores a a b O interior do conjunto Q dos numeros racionais e vazio Por outro lado inta b a b O intervalo fechado a b nao e uma vizinhanca de a nem de b Um intervalo aberto e um conjunto 50 Algumas nocées topoldgicas Cap 5 aberto O conjunto vazio é aberto Todo intervalo aberto limitado ou nao é um conjunto aberto O limite de uma seqtiéncia pode ser reformulado em termos de con juntos abertos temse a lim se e somente se para todo aberto A contendo a existe no N tal que n np 2p A Teorema 1 a Se Ay e Ag sao conjuntos abertos entdo a intersegao AyN Ag um conjunto aberto b Se Ay ye uma familia qualquer de conjuntos abertos a reuniao AUyez Ar um conjunto aberto Demonstragao a Se x A M Ag entao x Ay e x Ap Como Aj e Ag sao abertos existem 0 e 2 0 tais que w 644 61 C Aj e a 22 C Ag Seja o menor dos dois niimeros 1 2 Entao vw ee C Ay e we4 C Ap logo wexe CAN AS Assim todo ponto x A M Ag é um ponto interior ou seja o conjunto A Ag é aberto b Se x A entao existe L tal que x Ay Como A é aberto existe 0 tal que x x C A C A logo todo ponto x A é interior isto é A é aberto O Exemplo 2 Resulta imediatamente de a no Teorema 1 que a in tersecao A MM Ay de um ntimero finito de conjuntos abertos é um conjunto aberto Mas embora por b a reuniao de uma infinidade de conjuntos abertos seja ainda aberta a intersecao de um numero infi nito de abertos pode nao ser aberta Por exemplo se A 11 Ag 1212 An 1n1n entao AyN AgNN AANA 0 Com efeito se x 4 0 entao existe n N tal que 2 1n logo A donde x A 2 Conjuntos fechados Dizse que um ponto a é aderente ao conjunto X C R quando a é limite de alguma seqtiéncia de pontos 7 X Evidentemente todo ponto aéX éaderente a X basta tomar x a para todo n EN Chamase fecho de um conjunto X ao conjunto X formado por todos os pontos aderentes a X Temse X C X Se X C Y entao X CY Um conjunto X dizse fechado quando X X isto é quando todo ponto Secao 2 Conjuntos fechados 51 aderente a X pertence a X Seja X C Y Dizse que X é denso em Y quando Y C X isto é quando todo b Y é aderente a X Por exemplo Q é denso em R Teorema 2 Um ponto a é aderente ao conjunto X se e somente se toda vizinhanca de a contém algum ponto de X Demonstragao Seja a aderente a X Entao a lima onde r X para todo n N Dada uma vizinhanga qualquer V 3 a temos rp V para todo n suficientemente grande pela definigaéo de limite logo VnX 2 Reciprocamente se toda vizinhanga de a contém pontos de X podemos escolher em cada intervalo a 1na1nn N um ponto z X Entao x a 1n logo limz a ea é aderente a X O Pelo teorema acima a fim de que um ponto a nao pertenca a X é necessdrio e suficiente que exista uma vizinhanca V 3 a tal que VAX 2 Corolario O fecho de qualquer conjunto um conjunto fechado Ou seja X X para todo X CR Com efeito se a é aderente a X entdo todo conjunto aberto A con tendo a contém algum ponto 6 X A é uma vizinhanga de b Como b é aderente a X seguese que A contém algum ponto de X Logo qualquer ponto a aderente a X é também aderente aX isto éa X Oj Teorema 3 Um conjunto F C R fechado se e somente se seu complementar A R F aberto Demonstragao Sejam F fechado ea A isto é a F Pelo Teorema 2 existe alguma vizinhanca V 3 a que nao contém pontos de F isto é V CA Assim todo ponto a A é interior a A ou seja A é aberto Reciprocamente se o conjunto A é aberto e o ponto a é aderente a F RA entao toda vizinhanca de a contém pontos de F logo a nao é interior a A Sendo A aberto temos a A ou seja a F Assim todo ponto a aderente a F pertence a F logo F é fechado O Teorema 4 a Se F e Fy sao fechados entao F U F2 é fechado b Se Fyex uma familia qualquer de conjuntos fechados entao a intersegao F Fy um conjunto fechado 52 Algumas nocoes topoldgicas Cap 5 Demonstragao a Os conjuntos A R Fy e Ag R F sao abertos pelo Teorema 3 Logo pelo Teorema 1 Ai Ag RF UF é aberto Novamente pelo Teorema 3 Fi U F é fechado b Para cada A L Ay R F é aberto Seguese que A Ue Ay é aberto Mas A R F Logo F é fechado O Exemplo 3 Seja X C R limitado naovazio Entao a inf X e b sup X sao aderentes a X Com efeito para todo n N podemos escolher rz X coma ap a1n logo a lima Analogamente vése que b lim y Yn X Em particular a e b sao aderentes a a b Exemplo 4 O fecho dos intervalos ab ab e ab é o intervalo ab Q é denso em R e para todo intervalo JQMJ é denso em J Uma reuniao infinita de conjuntos fechados pode nao ser um conjunto fechado com efeito todo conjunto fechado ou nao é reuniao dos seus pontos que sao conjuntos fechados Uma cisdo de um conjunto X C R é uma decomposigao X AUB tal que AN B e ANB isto é nenhum ponto de A é aderente a Be nenhum ponto de B é aderente a A Em particular A e B sao disjuntos A decomposigao X X U chamase a cisdo trivial Exemplo 5 Se X R0 entao X RUR éumacisao Dado um numero irracional a seam A rE Qr abe Bx EQ z a A decomposicao Q AU B é uma ciséo do conjunto Q dos racionais Por outro lado se a c b entao a b ac Uc b nao é uma cisao Teorema 5 Um intervalo da reta s6 admite a cisao trivial Demonstracao Suponhamos por absurdo que o intervalo J admita a cisao nao trivial J AUB Tomemos a A b B digamos com a 8 logo ab C I Seja c o ponto médio do intervalo ab Entao c A ou c B Sece A poremos a c by b Sec B escreveremos a a b c Em qualquer caso obteremos um intervalo ab1 C a com 6 a ba2 ea A b B Por sua vez o ponto médio de ab 0 decompée em dois intervalos fechados justapostos de comprimento b a4 Um desses intervalos que chamaremos ag bg tem ag Ae bo B Prosseguindo analogamente obteremos uma seqiiéncia de intervalos encaixados ab D ai1b1 D D an bn D com by Gn b a2 an Ae by B para todo n N Pelo Teorema 4 Capitulo 2 existe d R tal que an d bp para todo nN O pontod J AUB nao pode estar em A pois d limb B nem em B pois d lima A Contradicao O Secao 3 Pontos de acumulacao 53 Corolario Os unicos subconjuntos de R que sao simultaneamente aber tos e fechados sao e R Com efeito se A R e aberto e fechado entao R A R A e uma cisao logo A e R A R ou entao A R e R A 3 Pontos de acumulacao Dizse que a R e ponto de acumulacao do conjunto X R quando toda vizinhanca V de a contem algum ponto de X diferente do proprio a Isto e V X a Equivalentemente para todo ε 0 temse a ε a ε X a Indicase com X o conjunto dos pontos de acumulacao de X Portanto a X a X a Se a X nao e ponto de acumulacao de X dizse que a e um ponto isolado de X Isto significa que existe ε 0 tal que a e o unico ponto de X no intervalo a ε a ε Quando todos os pontos do conjunto X sao isolados X chamase um conjunto discreto Teorema 6 Dados X R e a R as seguintes afirmacoes sao equivalentes 1 a e um ponto de acumulacao de X 2 a e limite de uma sequˆencia de pontos xn X a 3 Todo intervalo aberto de centro a contem uma infinidade de pontos de X Demonstracao Supondo 1 para todo n N podemos achar um ponto xn X xn a na vizinhanca a1n a1n Logo lim xn a o que prova 2 Por outro lado supondo 2 entao para qualquer n0 N o conjunto xn n n0 e infinito porque do contrario existiria um termo xn1 que se repetiria infinitas vezes e isto forneceria uma sequˆencia constante com limite xn1 a Pela definicao de limite vˆese portanto que 2 3 Finalmente a implicacao 3 1 e obvia Exemplo 6 Se X e finito entao X conjunto finito nao tem ponto de acumulacao Z e infinito mas todos os pontos de Z sao isolados Q R Se X a b entao X a b Se X 1 12 1n entao X 0 isto e 0 e o unico ponto de acumulacao de X Note que todos os pontos deste conjunto X sao isolados X e discreto Seguese uma versao do Teorema de BolzanoWeierstrass em termos de ponto de acumulacao 54 Algumas nocoes topologicas Cap 5 Teorema 7 Todo conjunto infinito limitado de numeros reais admite pelo menos um ponto de acumulacao Demonstracao Seja X R infinito limitado X possui um sub conjunto enumeravel x1 x2 xn Fixando esta enumeracao temos uma sequˆencia xn de termos dois a dois distintos pertencen tes a X portanto uma sequˆencia limitada a qual pelo Teorema de BolzanoWeierstrass possui uma subsequˆencia convergente Despre zando os termos que estao fora dessa subsequˆencia e mudando a notacao podemos admitir que xn converge Seja a lim xn Como os ter mos xn sao todos distintos no maximo um deles pode ser igual a a Descartandoo caso exista teremos a como limite de uma sequˆencia de pontos xn X a logo a X 4 Conjuntos compactos Um conjunto X R chamase compacto quando e limitado e fechado Todo conjunto finito e compacto Um intervalo do tipo a b e um conjunto compacto Por outro lado a b e limitado mas nao e fechado logo nao e compacto Tambem Z nao e compacto pois e ilimitado em bora seja fechado seu complementar R Z e a reuniao dos intervalos abertos n n 1 n Z logo e um conjunto aberto Teorema 8 Um conjunto X R e compacto se e somente se toda sequˆencia de pontos em X possui uma subsequˆencia que converge para um ponto de X Demonstracao Se X R e compacto toda sequˆencia de pontos de X e limitada logo por BolzanoWeierstrass possui uma subsequˆencia convergente cujo limite e um ponto de X pois X e fechado Reciproca mente seja X R um conjunto tal que toda sequˆencia de pontos xn X possui uma subsequˆencia que converge para um ponto de X Entao X e limitado porque do contrario para cada n N poderıamos encontrar xn X com xn n A sequˆencia xn assim obtida nao possuiria subsequˆencia limitada logo nao teria subsequˆencia convergente Alem disso X e fechado pois do contrario existiria um ponto a X com a lim xn onde cada xn X A sequˆencia xn nao possuiria entao subsequˆencia alguma convergindo para um ponto de X pois todas suas subsequˆencias teriam limite a Logo X e compacto Secao 4 Conjuntos compactos 55 Observagao Se X C R é compacto entao pelo Exemplo 3 a inf X e b sup X pertencem a X Assim todo conjunto compacto contém um elemento minimo e um elemento maximo Ou seja X compacto 4209 xz X tais que 79 x para todo x E X O teorema a seguir generaliza o principio dos intervalos encaixados Teorema 9 Dada uma seqtiéncia decrescente X1 D X2 DD XnD de conjuntos compactos naovazios existe pelo menos um ntimero real que pertence a todo os Xn Demonstragao Definamos uma seqiiéncia x escolhendo para cada n EN um ponto zr X Esta seqtiéncia esté no compacto X1 logo possui uma subseqtiéncia p2nUn convergindo para um ponto a X Dado qualquer n N temos zp Xp sempre que np n Como X é compacto seguese que a X Isto prova o teorema Encerraremos nosso estudo dos conjuntos compactos da reta com a demonstracao do teorema de BorelLebesgue Chamase cobertura de um conjunto X a uma familia C de conjuntos Cy cuja reuniao contém X A condigao X C Uez Cy significa que para cada x X deve existir pelo menos um L tal que x Cy Quando todos os conjuntos C sao abertos dizse que C é uma cobertura aberta Quando L A1An 6 um conjunto finito dizse que X C Cy UUC uma cobertura finita Se L c L é tal que ainda se tem X CUner Cy dizse que C Cyye7 6 uma subcobertura de C Teorema 10 BorelLebesgue Toda cobertura aberta de um con junto compacto possui uma subcobertura finita Demonstragao Tomemos inicialmente uma cobertura aberta ab C Uyer A do intervalo compacto ab Suponhamos por absurdo que C Aj nao admita subcobertura finita O ponto médio do inter valo ab o decomp6e em dois intervalos de comprimento ba2 Pelo menos um destes intervalos o qual chamaremos a1 6 néo pode ser coberto por um numero finito de conjuntos A Por bissegdes sucessivas obteremos uma seqiiéncia decrescente ab D a1b1 D a2b2 D D Qn bn D de intervalos tais que b a b a2 e nenhum Gn bn pode estar contido numa reuniao finita dos abertos A Pelo Teorema 4 Capitulo 2 existe um numero real c que pertence a todos os intervalos ab Em particular c ab Pela definicéo de cobertura 56 Algumas nocoes topoldgicas Cap 5 existe A L tal que c Ay Como A é aberto temos cce C A para um certo 0 Tomando n N tal que b a2 temos entéo c anbp C ec ec donde an bp C Ay logo an by pode ser coberto por apenas um dos conjuntos A Contradicéo No caso geral temos uma cobertura aberta X C U A do compacto X Tomamos um intervalo compacto ab que contenha X e acrescentando aos A 0 novo aberto A R X obtemos uma cobertura aberta de a b da qual extraimos pela parte jé provada uma subcobertura finita a b C Ay UA UUA Como nenhum ponto de X pode pertencer a A temos X C A UUA e isto completa a demonstragao O Exemplo 7 Os intervalos A 1n2 n N constituem uma cober tura aberta do conjunto X 01 pois 01 C Unen An Entretanto esta cobertura nao possui subcobertura finita pois como A C Ag C A3 CC An C toda reuniao finita de conjuntos A é igual aquele de maior indice logo nao contém 0 1 O Teorema de BorelLebesgue cuja importancia é inestimavel sera utilizado neste livro uma s6 vez no Capitulo 10 secao 4 V Teo rema 7 daquele capitulo Podese provar reciprocamente que se toda cobertura aberta de um conjunto X C R possui uma subcobertura fi nita entao X é limitado e fechado Cfr Curso de Andlise vol 1 pag 182 5 O conjunto de Cantor O conjunto de Cantor que descreveremos agora tem as seguintes pro priedades 1 E compacto 2 Tem interior vazio nao contém intervalos 3 Nao contém pontos isolados todos seus pontos sao pontos de acu mulagaéo 4 E naoenumerdvel O conjunto de Cantor K é um subconjunto fechado do intervalo 0 1 obtido como complementar de uma reuniao de intervalos abertos do seguinte modo Retirase do intervalo 01 seu tergo médio aberto 1323 Depois retirase 0 terco médio aberto de cada um dos in tervalos restantes 013 e 231 Sobra entao 019 U 29 13 U Secao 5 O conjunto de Cantor 57 23 79 U 89 1 Em seguida retirase 0 terco médio aberto de cada um desses quatro intervalos Repetese o processo indefinidamente O conjunto K dos pontos nao retirados é 0 conjunto de Cantor 0 13 23 1 r r r 0 19 29 13 23 79 89 1 KH F4 KH bY KH bY hH bY Figura 1 Construindo 0 conjunto de Cantor Se indicarmos com Jy I2In os intervalos abertos omitidos veremos que F R In 6 um conjunto fechado logo K 0 1NF é limitado e fechado ou seja o conjunto de Cantor é compacto Para mostrar que K tem interior vazio observamos que depois da n ésima etapa de sua construcao restam apenas intervalos de comprimento 13 Portanto dado qualquer intervalo J C 01 de comprimento c 0 se tomarmos n tal que 13 c o intervalo J estaraé mutilado depois da nésima etapa da formacao de kK Assim K nao contém intervalos Os pontos extremos dos intervalos omitidos nas diversas etapas da construgéo do conjunto de Cantor tais como 13 23 19 29 79 89 etc pertencem a K pois em cada etapa sao retirados apenas pontos interiores aos intervalos que restaram na etapa anterior Eles constituem um conjunto enumeravel EF sem pontos isolados Com efeito seja c K extremidade de algum intervalo digamos cb omitido de 01 para formar Kk Quando c6 foi retirado restou um certo intervalo ac Nas etapas seguintes da construcao de K restarao sempre tercos finais de intervalo do tipo anc com a E O comprimento c a tende a zero logo an c e assim c nao é ponto isolado de E Suponhamos agora que c K nao seja extremo de intervalo retirado de 01 durante a construgao de K Até agora nao sabemos se de fato tais pontos existem mas veremos logo mais que eles constituem a maioria dos pontos de Kk Provemos que c nao é isolado em K Com efeito para cada n N c pertence ao interior de um intervalo 58 Algumas nocoes topoldgicas Cap 5 Zn Yn que restou depois da nésima etapa da construcao de Kk Temos In C Yn COM Ln Yn K Yn Xn 13 Logo c lim zy lim yn é ponto de acumulacao de K Fica entao constatado que K nao possui pontos isolados Provaremos agora que o conjunto de Cantor K nao é enumeravel Dado qualquer subconjunto enumeravel x122n C K ob teremos um ponto c K tal que c x para todo n N Para isso com centro num ponto de K tomamos um intervalo compacto nao degenerado J tal que x J Como nenhum ponto de K é isolado I AK é um conjunto infinito compacto sem pontos isolados Em se guida com centro em algum ponto de K interior a J tomamos um intervalo compacto naodegenerado Iz C J tal que x2 Ig Prosse guindo analogamente obtemos uma seqiiéncia decrescente de intervalos compactos I D Ig D D In D tais quez I eI 1K 4 Sem perda de generalidade podemos supor que J tem comprimento 1n Entao o ponto c pertencente a todos os I cuja existéncia é garantida pelo Teorema 4 do Capitulo 2 é tinico isto é V7 In c Escolhendo para cada n N um ponto y IK teremos entao lYn c 1n donde limy c Como K é fechado seguese que c K Por outro lado para todo n N temos I logo c p concluindo a demonstragao Os pontos do conjunto de Cantor tem uma caracterizacao interes sante e til em termos de sua representagaéo em base 3 Dado z 0 1 representar x na base 3 significa escrever x 021273 onde cada um dos digitos x é igual a 0 1 ou 2 de tal modo que Ly 2 rn wa atay teeta te A fim de que se tenha x 027122000 6 necessdrio e suficiente que x seja um ntmero da forma m3 com m n inteiros e m 3 Por exemplo 1727 0 122000 na base 3 Quando o denominador da fragao irredutivel pq nao é uma poténcia de 3 entao a representacao de pq na base 3 é periddica Por exemplo 14 0020202 e 17 0 010212010212 na base 3 Os numeros irracionais tém representacao naoperiddica Na primeira etapa da formacao do conjunto de Cantor ao retirarse o intervalo aberto 13 23 ficam exclufdos os ntimeros x 01 cuja representacgao na base 3 tem x 1 com a Unica excecao de 13 01 que permanece Na segunda etapa foram excluidos os nimeros dos in Secao 6 Exercıcios 59 tervalos 19 29 e 79 89 ou seja aqueles da forma 0 01x3x4 ou da forma 0 21x3x4 com excecao de 19 0 01 e de 79 0 21 que permanecem De um modo geral podemos afirmar que os elementos do conjunto de Cantor sao os numeros do intervalo 0 1 cuja repre sentacao x 0 x1x2 xn na base 3 so contem os algarismos 0 e 2 com excecao daqueles que contˆem um unico algarismo 1 como algarismo significativo final como x 0 20221 por exemplo Se observarmos que 0 0222 0 1 poderemos sempre substituir o algarismo final 1 pela sequˆencia 0222 Por exemplo 0 20201 0 20200222 Com esta convencao podese afirmar sem excecoes que os elementos do conjunto de Cantor sao os numeros do intervalo 0 1 cuja representacao na base 3 so contem os algarismos 0 e 2 Daı resulta facilmente que o conjunto de Cantor e naoenumeravel vide Exemplo 3 Capıtulo 1 e que 14 0 0202 pertence ao con junto de Cantor 6 Exercıcios Secao 1 Conjuntos abertos 1 Prove que para todo X R temse intint X int X e conclua que int X e um conjunto aberto 2 Seja A R um conjunto com a seguinte propriedade toda sequˆencia xn que converge para um ponto a A tem seus termos xn pertencentes a A para todo n suficientemente grande Prove que A e aberto 3 Prove que intA B int A int B e intA B int A int B quaisquer que sejam A B R Se A 0 1 e B 1 2 mostre que intA B int A int B 4 Para todo X R prove que vale a reuniao disjunta R int X intR X F onde F e formado pelos pontos x R tais que toda vizinhanca de x contem pontos de X e pontos de R X O conjunto F fr X chamase a fronteira de X Prove que A R e aberto se e somente se A fr A 5 Para cada um dos conjuntos seguintes determine sua fronteira X 0 1 Y 0 1 1 2 Z Q W Z 60 Algumas nocoes topoldgicas Cap 5 6 Sejam I D Ig D DI D intervalos limitados dois a dois distintos cuja intersegdo I In nao é vazia Prove que I é um intervalo o qual nunca é aberto Secao 2 Conjuntos fechados 1 Sejam J um intervalo naodegenerado e k 1 um numero natural Prove que 0 conjunto dos nimeros racionais mk pertencentes a I cujos denominadores sao poténcias de k com expoente n N é denso em I 2 Prove que para todo X C R vale X XU fr X Conclua que X é fechado se e somente se X D fr X 3 Para todo X C R prove que RintX RX eRX intRX 4 Se X C R é aberto respectivamente fechado eX AUB éuma cisao prove que A e B sao abertos respectivamente fechados 5 Prove que se X C R tem fronteira vazia entao X ou X R 6 Sejam XY CR Prove que X UY XUY eque XNY C XNY Dé exemplo em que XNY AXNY 7 Dada uma seqiiéncia 2 prove que o fecho do conjunto X ann N é X X UA onde A é 0 conjunto dos valores de aderéncia de xp Secao 3 Pontos de acumulagao 1 Prove que para todo X C R temse X X UX Conclua que X é fechado se e somente se contém todos os seus pontos de acumulacgao 2 Prove que toda colecao de intervalos naodegenerados dois a dois disjuntos é enumeravel 3 Prove que se todos os pontos do conjunto X C R sao isolados entao podese escolher para cada x X um intervalo aberto I de centro x tal quer AySIpNly 4 Prove que todo conjunto naoenumerdvel X C R possui algum ponto de acumulacao a X 5 Prove que para todo X C R X é um conjunto fechado Secao 6 Exercıcios 61 6 Seja a um ponto de acumulacao do conjunto X Prove que existe uma sequˆencia crescente ou uma sequˆencia decrescente de pontos xn X com lim xn a Secao 4 Conjuntos compactos 1 Prove que o conjunto A dos valores de aderˆencia de uma sequˆencia xn e fechado Se a sequˆencia for limitada A e compacto logo existem l e L respectivamente o menor e o maior valor de aderˆencia da sequˆencia limitada xn Costumase escrever l lim inf xn e L lim sup xn 2 Prove que uma reuniao finita e uma intersecao arbitraria de con juntos compactos e um conjunto compacto 3 Dˆe exemplo de uma sequˆencia decrescente de conjuntos fechados naovazios F1 Fn e uma sequˆencia decrescente de conjuntos limitados naovazios L1 Ln tais que Fn e Ln 4 Sejam X Y conjuntos naovazios com X compacto e Y fechado Prove que existem x0 X y0 Y tais que x0 y0 xy para quaisquer x X y Y 5 Um conjunto compacto cujos pontos sao todos isolados e finito Dˆe exemplo de um conjunto fechado ilimitado X e um conjunto limitado naofechado Y cujos pontos sao todos isolados 6 Prove que se X e compacto entao os seguintes conjuntos tambem sao compactos a S x y x y X b D x y x y X c P x y x y X d Q xy x y X se 0 X Secao 5 O conjunto de Cantor 1 Determine quais dentre os numeros 1m 2 m 10 pertencem ao conjunto de Cantor 2 Dado arbitrariamente a 0 1 prove que existem x y perten centes ao conjunto de Cantor tais que y x a 62 Algumas nocoes topologicas Cap 5 3 Prove que a soma da serie cujos termos sao os comprimentos dos intervalos omitidos para formar o conjunto de Cantor e igual a 1 4 Prove que os extremos dos intervalos removidos formam um sub conjunto enumeravel denso no conjunto de Cantor 6 Limites de Funcoes A nocao de limite que estudamos no Capıtulo 3 no caso particular de sequˆencias sera agora estendida a situacao mais geral onde se tem uma funcao f X R definida num subconjunto qualquer X R 1 Definicao e primeiras propriedades Sejam X R um conjunto de numeros reais f X R uma funcao real cujo domınio e X e a X um ponto de acumulacao do conjunto X Diz se que o numero real L e limite de fx quando x tende para a e escreve se limxa fx L quando para todo ε 0 dado arbitrariamente podese obter δ 0 tal que se tem fx L ε sempre que x X e 0 x a δ Simbolicamente lim xa fx L ε 0 δ 0 x X 0 xa δ fxL ε Informalmente limxa fx L quer dizer que se pode tornar fx tao proximo de L quanto se queira desde que se tome x X suficientemente proximo porem diferente de a A restricao 0 x a significa x a Assim no limite L limxa fx nao e permitido a variavel x assumir o valor a Portanto o valor fa nao tem importˆancia alguma quando se quer determinar 64 Limites de Funcoes Cap 6 L o que conta e o comportamento de fx quando x se aproxima de a sempre com x a Na definicao de limite e essencial que a seja um ponto de acumulacao do conjunto X mas e irrelevante que a pertenca ou nao a X isto e que f esteja ou nao definida no ponto a Num dos exemplos mais importantes de limite a saber a derivada estudase limxa qx onde a funcao qx fx fax a nao esta definida para x a Nas condicoes f X R a X negar que se tem limxa fx L equivale a dizer que existe um numero ε 0 com a seguinte propriedade seja qual for δ 0 podese sempre achar xδ X tal que 0 xδ a δ e fxδ L ε Teorema 1 Sejam f g X R a X limxa fxL e limxa gx M Se L M entao existe δ 0 tal que fx gx para todo x X com 0 x a δ Demonstracao Seja K L M2 Pondo ε K L M K temos ε 0 e K L ε M ε Pela definicao de limite existem δ1 0 e δ2 0 tais que x X 0 x a δ1 L ε fx K e x X 0 x a δ2 K gx M ε Portanto pondo δ minδ1 δ2 vem x X 0 x a δ fx K gx o que prova o teorema Observacao A hipotese L M nao pode ser substituida por L M no Teorema 1 Observacao Para o Teorema 1 e seus corolarios bem como para o Teorema 2 abaixo valem versoes analogas com em lugar de e viceversa Tais versoes serao usadas sem maiores comentarios Corolario 1 Se limxa fx L M entao existe δ 0 tal que fx M para todo x X com 0 x a δ Corolario 2 Sejam limxa fx L e limxa gx M Se fx gx para todo x X a entao L M Com efeito se fosse M L existiria δ 0 tal que x X 0 x a δ gx fx uma contradicao Teorema 2 Teorema do sanduıche Sejam f g h X R a X e limxa fx limxa gx L Se fx hx gx para todo x X a entao limxa hx L Demonstracao Dado arbitrariamente ε 0 existem δ1 0 e δ2 0 tais que x X 0 x a δ1 L ε fx L ε e x X Secao 1 Definicao e primeiras propriedades 65 0 x a δ2 L ε gx L ε Seja δ minδ1 δ2 Entao x X 0 x a δ L ε fx hx gx L ε L ε hx L ε Logo limxa hx L Observacao A nocao de limite e local isto e dadas as funcoes f g X R e dado a X se existir uma vizinhanca V do ponto a tal que fx gx para todo x a em V X entao existe limxa fx se e somente se existe limxa gx Alem disso se existirem esses limites serao iguais Assim por exemplo no Teorema 2 nao e necessario supor que vale fx hx gx para todo x X a Basta que exista uma vizinhanca V do ponto a tal que estas desigualdades valham para todo x a pertencente a V X Observacao analoga para o Teorema 1 e seu Corolario 2 Teorema 3 Sejam f XR e aX A fim de que seja limxa fxL e necessario e suficiente que para toda sequˆencia de pontos xn Xa com lim xn a tenhase lim fxn L Demonstracao Suponhamos primeiro que limxa fx L e que se tem uma sequˆencia de pontos xn X a com lim xn a Dado arbitrariamente ε 0 existe δ 0 tal que x X 0 x a δ fxL ε Existe tambem n0 N tal que n n0 0 xna δ pois xn a para todo n Por conseguinte n n0 fxn L ε logo lim fxn L Reciprocamente suponhamos que xn X a e lim xn a impliquem lim fxn L e provemos que se tem lim xa fx L Com efeito negar esta igualdade implicaria em afirmar a existˆencia de um numero ε 0 com a seguinte propriedade qualquer que seja n N podemos achar xn X tal que 0 xn a 1n mas fxn L ε Entao terıamos xn X a lim xn a sem que fosse lim fxn L Esta contradicao completa a demonstracao Corolario 1 Unicidade do limite Sejam f X R e a X Se limxa fx L e limxa fx M entao L M Com efeito basta tomar uma sequˆencia de pontos xn X a com lim xn a o que e assegurado pelo Teorema 6 do Capıtulo 5 Entao teremos L lim fxn e M lim fxn Pela unicidade do limite da sequˆencia fxn vem L M 66 Limites de Funcoes Cap 6 Corolario 2 Operacoes com limites Sejam f g X R a X com limxa fx L e limxa gx M Entao lim xafx gx L M lim xafx gx L M lim xa fx gx L M se M 0 Alem disso se limxa fx 0 e g e limitada numa vizinhanca de a temse limxafx gx 0 Com efeito dada qualquer sequˆencia de pontos xn X a com lim xn a pelo Teorema 8 do Capıtulo 3 valem limfxn gxn lim fxnlim gxn LM lim fxngxn lim fxnlim gxn L M e tambem limfxngxn lim fxn lim gxn LM Fi nalmente se existem uma vizinhanca V de a e uma constante c tal que gx c para todo x V entao como xn V para todo n suficien temente grande a sequˆencia gxn e limitada logo pelo Teorema 7 do Capıtulo 3 temse lim fxngxn 0 pois lim fxn 0 O Corolario 2 seguese portanto do teorema Teorema 4 Sejam f X R a X Se existe limxa fx entao f e limitada numa vizinhanca de a isto e existem δ 0 e c 0 tais que x X 0 x a δ fx c Demonstracao Seja L limxa fx Tomando ε 1 na definicao de limite resulta que existe δ 0 tal que x X 0 x a δ fx L 1 fx fx L L fx L L L 1 Basta entao tomar c L 1 O Teorema 4 generaliza o fato de que toda sequˆencia convergente e limitada Exemplo 1 Se f g R R sao dadas por fx c e gx x funcao constante e funcao identidade entao para todo a R temse evidentemente limxa fx c e limxa gx a Seguese do Co rolario 2 do Teorema 3 que para todo polinˆomio p R R px a0 a1x anxn temse limxa px pa seja qual for a R Analogamente para toda funcao racional fx pxqx quoci ente de dois polinˆomios temse limxa fx fa desde que seja qa 0 Quando qa 0 o polinˆomio qx e divisıvel por x a Escrevemos entao qx x am q1x e px x ak p1x onde Secao 1 Definicao e primeiras propriedades 67 m N k N 0 q1a 0 e p1a 0 Se for m k entao vale limxa fx p1aq1a porque fx p1xq1x para todo x a Se for k m entao temse limxa fx 0 pois fx x akm p1xq1x para todo x a Se entretanto tivermos k m entao fx p1xx amk q1x para todo x a Neste caso o denominador de fx tem limite zero e o numerador nao Isto implica que nao pode existir limxa fx Com efeito se fx ϕxψx com limxa ψx 0 e existe L limxa fx entao existe limxa ϕx limxafx ψx L 0 0 Tratase portanto de um fato geral quando limxa ψx 0 so pode existir limxaϕxψx no caso em que se tenha tambem limxa ϕx 0 embora esta condicao por si so nao seja suficiente para a existˆencia de limϕψ Exemplo 2 Seja X R 0 Entao 0 X A funcao f X R definida por fx sen1x nao possui limite quando x 0 Com efeito a sequˆencia de pontos xn 22n 1π e tal que lim xn 0 mas fxn 1 conforme n seja ımpar ou par logo nao existe lim fxn Por outro lado se g X R e definida por gx x sen1x temse limx0 gx 0 pois sen1x 1 para todo x X e limx0 x 0 Os graficos dessas duas funcoes sao mostrados na Figura 2 abaixo Figura 2 Exemplo 3 Seja f R R definida por fx 0 quando x e racional e fx 1 quando x e irracional Dado qualquer a R podemos obter uma sequˆencia de numeros racionais xn a e uma sequˆencia de numeros irracionais yn a com lim xn lim yn a Entao lim fxn 0 e lim fyn 1 logo nao existe limxa fx 68 Limites de Funcoes Cap 6 Observacao Dois dos limites mais importantes que aparecem na Ana lise sao limx0sen xx 1 e limx0ex1x 1 Para estabelecˆelos e necessario entretanto que se tenha feito um desenvolvimento rigoroso das funcoes trigonometricas e da funcao exponencial Isto sera feito nos Capıtulos 11 e 12 Sem embargo continuaremos utilizando essas funcoes e suas inversas como o logaritmo em exemplos antes mesmo daqueles capıtulos E que esses exemplos ajudam a fixar a aprendizagem mas nao interferem no encadeamento logico da materia aqui apresentada Ao leitor interessado esclarecemos que uma apresentacao rigorosa porem elementar dos logaritmos e da funcao exponencial pode ser encontrada no livrinho Logaritmos mencionado nas Sugestoes de Leitura ao final deste livro 2 Limites laterais Seja X R Dizse que o numero real a e um ponto de acumulacao a direita para X e escrevese a X quando toda vizinhanca de a contem algum ponto x X com x a Equivalentemente para todo ε 0 temse X a a ε A fim de que a X e necessario e suficiente que a seja limite de uma sequˆencia de pontos xn a perten centes a X Finalmente a e um ponto de acumulacao a direita para o conjunto X se e somente se e um ponto de acumulacao ordinario do conjunto Y X a Analogamente se define ponto de acumulacao a esquerda Por defini cao a X significa que para todo ε 0 temse X aε a ou seja a Z onde Z aX Para que isto aconteca e necessario e suficiente que a lim xn onde xn e uma sequˆencia cujos termos xn a pertencem a X Quando a X X dizse que a e um ponto de acumulacao bilateral de X Exemplo 4 Se X 1 12 1n entao 0 X porem 0 X Seja I um intervalo Se c int I entao c I I mas se c e um dos extremos de I entao temse apenas c I se e o extremo inferior e c I se e o extremo superior de I Exemplo 5 Seja K o conjunto de Cantor Sabemos que todo ponto a K e ponto de acumulacao Se a e extremo de algum dos intervalos omitidos numa das etapas da construcao de K entao vale apenas uma das alternativas a K ou a K Se entretanto a K nao e extremo Secao 2 Limites laterais 69 de intervalo omitido entao a K K como se conclui do argumento usado no Capıtulo 5 secao 5 Sejam f X R a X Dizse que o numero real L e limite a direita de fx quando x tende para a e escrevese L limxa fx quando para todo ε 0 dado arbitrariamente podese obter δ 0 tal que fx L ε sempre que x X e 0 x a δ Simbolicamente lim xa fx L ε 0 δ 0 x X a a δ fx L ε Analogamente se define o limite a esquerda L limxa fx no caso de f X R com a X isto significa que para todo ε 0 dado arbitrariamente podese escolher δ 0 tal que x X a δ a fx L ε As propriedades gerais dos limites demonstradas na secao 1 se adap tam facilmente para os limites laterais Basta observar que o limite a direita limxa fx se reduz ao limite ordinario limxa gx onde g e a restricao da funcao f X R ao conjunto Xa E analogamente para o limite a esquerda Por exemplo o Teorema 3 no caso de limite a direita se exprime assim A fim de que seja limxa fx L e necessario e suficiente que para toda sequˆencia de pontos xn X com xn a e lim xn a se tenha lim fxn L Como se vˆe facilmente dado a X X existe limxa fx L se e somente se existem e sao iguais os limites laterais lim xa fx lim xa fx L Exemplo 6 As funcoes f g h R 0 R definidas por fx sen1x gx xx e hx 1x nao possuem limite quando x 0 Quanto aos limites laterais temos limx0 gx 1 e limx0 gx 1 porque gx 1 para x 0 e gx 1 se x 0 As funcoes f e h nao possuem limites laterais quando x 0 nem a esquerda nem a direita Por outro lado ϕ R 0 R definida por ϕx e1x possui limite a direita limx0 ϕx 0 mas nao existe limx0 ϕx pois ϕ nao e limitada para valores negativos de x proximos de zero Exemplo 7 Seja I R R a funcao parte inteira de x Para cada x R existe um unico numero inteiro n tal que n x n 1 poese 70 Limites de Funcoes Cap 6 entao Ix n Se n Z entao limxn Ix n e limxn Ix n 1 Com efeito n x n 1 Ix n enquanto n 1 x n Ix n 1 Por outro lado se a nao e inteiro entao limxa Ix limxa Ix Ia pois neste caso Ix e constante numa vizinhanca de a Uma funcao f X R chamase monotona naodecrescente quando para x y X x y fx fy Se x y fx fy f dizse monotona naocrescente Se vale a implicacao mais estrita x y fx fy dizemos que a funcao f e crescente Finalmente se x y fx fy dizemos que f e uma funcao decrescente Teorema 5 Seja f X R uma funcao monotona limitada Para todo a X e todo b X existem L limxa fx e M limxb fx Ou seja existem sempre os limites laterais de uma funcao monotona limitada Demonstracao Para fixar as ideias suponhamos f naodecrescente Seja L inffx x X x a Afirmamos que limxa fx L Com efeito dado arbitrariamente ε 0 L ε nao e cota inferior do conjunto limitado fx x X x a Logo existe δ 0 tal que a δ X e L fa δ L ε Como f e naodecrescente x X a a δ L fx L ε o que prova a afirmacao feita De modo analogo vˆese que M supfx x X x b e o limite a esquerda M limxb fx Observacao Se a X nao e necessario supor que f seja limitada no Teorema 5 Com efeito suponhamos para fixar ideias que f seja monotona naodecrescente e a X Entao fa e uma cota inferior do conjunto fx x X x a e o ınfimo deste conjunto e limxa fx Analogamente se a X entao fa e uma cota superior do conjunto fx x X x a cujo supremo e o limite a esquerda limxa fx 3 Limites no infinito limites infinitos expressoes indetermi nadas Seja X R ilimitado superiormente Dada f X R escrevese lim x fx L quando o numero real L satisfaz a seguinte condicao ε 0 A 0 x X x A fx L ε Secao 3Limites no infinito limites infinitos expresses indeterminadas 71 Ou seja dado arbitrariamente 0 existe A 0 tal que fa L e sempre que x A De maneira andloga definese lim fx L quando o dominio de f é ilimitado inferiormente para todo 0 dado deve existir A 0 tal quer Afx L e Valem os resultados j4 demonstrados para o limite quando x a a R com as adaptacoes evidentes Os limites para x 00 e x oco sao de certo modo limites laterais o primeiro é um limite 4 esquerda e 0 segundo 8 direita Logo vale o resultado do Teorema 5 se f X R é monotona limitada entao existe limz00 fx se o dominio X for ilimitado superiormente e existe limyoo fx se o dominio de f for ilimitado inferiormente O limite de uma seqiiéncia é um caso particular de limite no infinito tratase de lim 4 fz onde f N R é uma fungao definida no conjunto N dos nimeros naturais Exemplo 8 limy41x lim 1z 0 Por outro lado nao existe lim sena nem lim senz Vale lim e 0 mas nao existe lim4e no sentido da definigaéo acima Como fizemos no caso de seqtiéncias introduziremos limites infinitos para englobar situagoes como esta Em primeiro lugar sejam X C R a X f X R Diremos que lim a fx 00 quando para todo A 0 dado existe 6 0 tal que 0xraldbrEXS fx A Por exemplo limy 4 12 a 00 pois dado A 0 tomamos 61VA Entao 0a ald 0 xa 1A1aa A De modo semelhante definiremos limy4 fx oo Isto significa que para todo A 0 existe 6 0 tal que x X0 nal b fx A Por exemplo limzq 1a a oo Evidentemente as definicoes de lim 44 fa00 lim fx oo etc nao apresentam maiores dificuldades e sao deixadas a cargo do leitor Também omitiremos as definigdes evidentes de lim 4 fx 00 limg00 f 00 etc Por exemplo 1 1 lim 7 too lim 0 lim e00 lim 2 00 k EN L00 w00 Devese observar enfaticamente que oo e co ndo sao numeros 72 Limites de Funcoes Cap 6 reais de modo que as afirmacoes limxa fx e limxa fx nao exprimem limites no sentido estrito do termo Observacao Valem para limf g limf g e limfg resultados analogos aos do Capıtulo 3 v Teorema 9 sobre limites de sequˆencias Observacao Admitindo limites infinitos existem sempre os limites laterais de uma funcao monotona f X R em todos os pontos a X ou mesmo quando x Temse limxa fx L L R se e somente se para algum δ 0 f e limitada no conjunto X a a δ Se ao contrario f e ilimitada digamos superiormente em X a aδ para todo δ 0 entao limxa fx Em aditamento aos comentarios feitos na secao 4 do Capıtulo 3 dire mos algumas palavras sobre as expressoes indeterminadas 00 0 00 0 e 1 Vejamos por exemplo 00 Como a divisao por zero nao esta de finida esta expressao nao tem sentido aritmetico Afirmar que 00 e indeterminada tem o seguinte significado preciso Sejam X R f g X R a X Suponhamos que limxa fx limxa gx 0 e que pondo Y x X gx 0 ainda se tenha a Y Entao fxgx esta definida quando x Y e faz sentido indagar se existe limxa fxgx Mas nada se pode dizer em geral sobre este limite Dependendo das funcoes f g ele pode assumir qualquer valor real ou nao existir Por exemplo dado qualquer c R tomando fx cx e gx x temos limx0 fx limx0 gx 0 enquanto limx0 fxgx c Por outro lado se tomarmos fx x sen1x x 0 e gx x teremos limx0 fx limx0 gx 0 mas nao existe limx0 fxgx Pelo mesmo motivo e indeterminado Isto quer dizer pode mos achar funcoes f g X R tais que limxa fx limxa gx enquanto limxafxgx dependendo das nossas escolhas para f e g pode ter um valor arbitrario c R ou pode nao existir Por exem plo se f g R a R sao dadas por fx c 1 x a2 e gx 1 x a2 entao limxa fx limxa gx e limxafx gx c Analogamente se fx sen 1 x a 1 x a2 e gx 1 x a2 Secao 4 Exercıcios 73 nao existe limxafx gx Mais um exemplo dado qualquer numero real c 0 podemos achar funcoes f g X R com a X e limxa fx limxa gx 0 fx 0 para todo x X enquanto limxa fxgx c Basta por exemplo definir f g 0 R pondo fx x gx log c log x Neste caso vale fxgx c para todo x 0 Tome logaritmos de ambos os membros Portanto limx0 fxgx c Ainda neste caso podemos escolher f e g de modo que o limite de fxgx nao exista Basta tomar digamos fx x e gx log1 sen 1 x log x1 Entao fxgx 1 sen 1 x portanto nao existe limx0 fxgx Estes exemplos devem bastar para que se entenda o significado de expressao indeterminada O instrumento mais eficaz para o calculo do limite de expressoes indeterminadas e a chamada Regra de LHˆopital que e objeto de infindaveis exercıcios nos cursos de Calculo 4 Exercıcios Secao 1 Definicao e primeiras propriedades 1 Sejam f X R a X e Y fX a Se limxa fx L entao L Y 2 Sejam f X R e a X A fim de que exista limxa fx e suficiente que para toda sequˆencia de pontos xn X a com lim xn a a sequˆencia fxn seja convergente 3 Sejam f X R g Y R com fX Y a X e b Y Y Se lim xa fx b e lim yb gy c prove que limxa gfx c contanto que c gb ou entao que x a implique fx b 4 Sejam f g R R definidas por fx 0 se x e irracional e fx x se x Q g0 1 e gx 0 se x 0 Mostre que limx0 fx0 e limy0 gy0 porem nao existe limx0 gfx 5 Seja f R R definida por f0 0 e fx sen1x se x 0 Mostre que para todo c 1 1 existe uma sequˆencia de pontos xn 0 tais que lim xn 0 e lim fxn c 74 Limites de Funcoes Cap 6 Secao 2 Limites laterais 1 Prove que a X respectivamente a X se e somente se a lim xn e limite de uma sequˆencia decrescente respectivamente crescente de pontos pertencentes ao conjunto X 2 Prove que limxa fx L respectivamente limxa fx L se e somente se para toda sequˆencia decrescente respecti vamente crescente de pontos xn X com lim xn a temse lim fxn L 3 Seja f R0 R definida por fx 11a1x onde a 1 Prove que limx0 fx 0 e limx0 fx 1 4 Sejam f X R monotona e a X Se existir uma sequˆencia de pontos xn X com xn a lim xn a e lim fxn L entao limxa fx L 5 Dada f R 0 R definida por fx sen1x1 21x determine o conjunto dos numeros L tais que L lim fxn com lim xn 0 xn 0 Secao 3 Limites no infinito limites infinitos etc 1 Seja p R R um polinˆomio nao constante isto e para todo x R px a0a1x anxn com an 0 e n 1 Prove que se n e par entao limx px limx px se an 0 e se an 0 Se n e ımpar entao limx px e limx px quando an 0 e os sinais dos limites sao trocados quando an 0 2 Seja f R R definida por fx x sen x Prove que para todo c R existe uma sequˆencia xn R com limn xn e limn fxn c 3 Seja f a R limitada Para cada t a indiquemos com Mt o sup e mt o inf de f no intervalo I t Com ωt Mt mt indicaremos a oscilacao de f em I Prove que existem limt Mt e limt mt Prove que existe limx fx se e somente se limt ωt 0