Oscilações Amortecidas - Equação Movimento e Solução Analítica

Oscilações Oscilações Amortecidas discursiva 3 pontos Considere uma partícula de massa m sujeita a uma força elástica kx e uma força dissipativa bx tal que b2m ω0 onde ω0 km a 05 Escreva a equação de movimento para xt b 10 Demonstre que a solução é dada por xt A eb2m t cosωt ϕ onde ω ω02 b2m2 c 15 Sabendo que após um período de oscilação a amplitude de oscilação é reduzida por um fator e2 onde e é o número de Euler base do logaritmo natural e que ω0 1 rads obtenha a razão b2m e a frequência angular ω Observação O resultado pode ser expresso em termos do número π Gabarito a A equação de movimento é x bm x km x 0 ou x bm x ω02 x 0 05 pt 20 A razão bm pode ser identificada com o parâmetro γ ou com o parâmetro 2β b Para verificar a solução calculamos a velocidade e aceleração x Aeb2m t b2m cosωt ϕ wsenωt ϕ 03 pt x Aeb2m t b2m2 ω2 cosωt ϕ bm wsenωt ϕ 03 pt 21 Substituindo na equação de movimento obtemos Aeb2m t b2m2 ω2 ω02 cosωt ϕ 0 04 pt 22 onde foi usada a definição do ω Método alternativo Escrevemos a equação de movimento para a função complexa zt z bm z km z 0 ou z bm z ω02 z 0 02 pt 23 A partir do ansatz zt ert obtemos a equação caracteristica r2 bm r ω02 0 r b2m iω 04 pt 24 onde foi usada a definição do ω A solução geral toma a seguinte forma xt Rezt Rec1 er1 t c2 er2 t Aeb2m t cosωt ϕ 04 pt 25 c Como o período de oscilação é igual a T 2πω temos Aeb2m tT e2 Aeb2m t b2m T 2 04 pt 26 Por outro lado sabemos que T 2πω 2πω02 b2m2 02 pt 27 Combinando as duas equações acima obtemos b2m π ω02 b2m2 b2m2 1 π2 ω02 28 Portanto b2m 11 π2 rads 05 pt 29 A frequência angular de oscilação é dada por ω ω02 b2m2 1 11π2 π1 π2 rads 04 pt 30