Exercício Pf - Resistência dos Materiais 2023-1

Considerando a viga carregada com seção transversal em T, como mostrado na figura abaixo, pede-se: 1. Desenhe o diagrama de esforços cortantes e momento fletor ao longo da viga. a) Determine reações de apoio b) Determine a expressão que representa os esforços internos ao longo da viga para o trecho AB e BC c) Determine os cortantes nos apoios e o ponto onde o cortante é igual a zero d) Determine os momentos máximos e mínimos e) Desenhe o diagrama ao longo da viga. 2. Determine o momento de inércia da seção transversal da viga com relação à linha neutra. 3. Calcule a tensão normal máxima atuando na viga (não se esqueça de indicar a seção em que ocorre a tensão máxima, em que ponto da seção ela ocorre e se a tensão máxima é de tração ou compressão). 4. Calcule a tensão de cisalhamento máxima atuando na viga (não se esqueça de indicar a seção em que ocorre a tensão máxima e em que ponto da seção ela ocorre). 5. Utilizando a equação da curva de deflexão, calcule a deflexão da viga em uma seção a 1 m do ponto A, considerando E = 50GPa. a) Pelo método de integrações sucessivas, determine a expressão de v’ e v. b) Escreva as condições de contorno para o trecho AB c) Determine as constantes d) Encontre a deflexão em uma seção a 1m do apoio A a partir da expressão de v. Formulário: No equilíbrio ∑ 𝐹𝑥 = 0, ∑ 𝐹𝑦 = 0, ∑ 𝑀𝑧 = 0 𝜎 = 𝑀𝑥. 𝑧 𝐼𝑥 + 𝑀𝑧.𝑥 𝐼𝑧 , 𝜏 = 𝑄. 𝑆̅ 𝐼. 𝐵 𝐼 = ∫ 𝑦2.𝑑𝐴, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑒çõ𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑟𝑎𝑙𝑟𝑒𝑠 𝐼 = 𝑏. ℎ3 12 𝐴 𝑆̅ = ∫ 𝑦. 𝑑𝐴̅, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑒çõ𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑟𝑎𝑙𝑟𝑒𝑠 𝑆̅ = 𝐴̅. 𝑦̅ 𝐴̅ 𝑣′ = 𝜃 , 𝐸𝐼. 𝑣′′ = 𝑀 , 𝐸𝐼. 𝑣′′′ = 𝑉, 𝐸𝐼. 𝑣′′′′ = −𝑞 1.a) As reações de apoio são determinadas pelas equações da estática ∑ MA = 0 ↺ + 𝑅𝐵 ∗ 4 − 15 ∗ 4 ∗ 2 − 10 ∗ 1,5 ∗ 4,75 = 0 RB = 191,25 4 𝑹𝑩 = 𝟒𝟕, 𝟖𝟏𝟐𝟓 𝒌𝑵 ∑ Fy = 0 ↑ + 𝑅𝐴 − 15 ∗ 4 − 10 ∗ 1,5 + 𝑅𝐵 = 0 𝑅𝐴 = 75 − 47,8125 𝑹𝑨 = 𝟐7, 𝟏𝟖𝟕𝟓 𝒌𝑵 b) Trecho AB (0 ≤ x < 4): Esforço Cortante ∑ Fy = 0 ↓ + 𝑉(𝑥)1 − 𝑅𝐴 + 15𝑥 = 0 𝑽(𝒙)𝟏 = −𝟏𝟓𝒙 + 𝟐𝟕, 𝟏𝟖𝟕𝟓 Momento fletor ∑ MA = 0 ↺ + 𝑀(𝑥)1 + 15𝑥 ∗ x 2 − 𝑅𝐴𝑥 = 0 𝑴(𝒙)𝟏 = −𝟕, 𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝟕, 𝟏𝟖𝟕𝟓𝒙 Trecho BC (4 ≤ x ≤ 5,5): Esforço Cortante ∑ Fy = 0 ↓ + 𝑉(𝑥)2 + 15 ∗ 4 + 10(𝑥 − 4) − 𝑅𝐴 − 𝑅𝐵 = 0 𝑉(𝑥)2 = −10(𝑥 − 4) − 60 + 75 𝑉(𝑥)2 = −10𝑥 + 40 + 15 𝑽(𝒙)𝟐 = −𝟏𝟎𝒙 + 𝟓𝟓 Momento fletor ∑ MA = 0 ↺ + 𝑀(𝑥)2 − 𝑅𝐴𝑥 + 15 ∗ 4(𝑥 − 2) − 𝑅𝐵(𝑥 − 4) + 10(𝑥 − 4) (x-4 2 ) = 0 𝑀(𝑥)2 = 27,1875𝑥 − 60(𝑥 − 2) + 47,8125(𝑥 − 4) − 5(𝑥 − 4)2 𝑀(𝑥)2 = 27,1875𝑥 − 60𝑥 + 120 + 47,8125𝑥 − 191,25 − 5(𝑥2 − 8𝑥 + 16) 𝑀(𝑥)2 = 15𝑥 − 71,25 − 5𝑥2 + 40𝑥 − 80 𝑴(𝒙)𝟐 = −𝟓𝒙𝟐 + 𝟓𝟓𝒙 − 𝟏𝟓𝟏, 𝟐𝟓 Observação: As equações de esforço cortante e momento só são válidas para o intervalo especificado. c) Para determinar os esforços cortantes nos apoios, basta usar as equações calculadas no item anterior 𝑉𝐴 = 𝑉(0)1 𝑉𝐴 = −15 ∗ 0 + 27,1875 𝑽𝑨 = 𝟐𝟕, 𝟏𝟖𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝑉𝐵 = 𝑉(4)2 𝑉𝐵 = −10 ∗ 4 + 55 𝑽𝑩 = 𝟏𝟓𝒌𝑵 Para determinar os pontos onde as cortantes são nulas, também usa-se as equações calculadas no item a) 𝑉(𝑥)1 = −15𝑥 + 27,1875 0 = −15𝑥 + 27,1875 𝑥 = 27,1875 15 𝒙1 = 𝟏, 𝟖𝟏𝟐𝟓𝒎 𝑉(𝑥)2 = −10𝑥 + 55 0 = −10𝑥 + 55 𝑥 = 55 10 𝒙2 = 𝟓, 𝟓𝒎 d) Parte dos momentos críticos ocorrem justamente nos pontos ondes as forças cortantes são nulas, que é o que foi calculado no item c). Portanto basta substituir os pontos encontrados nas equações do momento fletor 𝑀1 = 𝑀(1,8125)1 𝑀1 = −7,5(1,8125)2 + 27,1875(1,8125) 𝑴𝟏 = 𝟐𝟒, 𝟔𝟑𝟖 𝒌𝑵𝒎 𝑀2 = 𝑀(5,5)2 𝑀2 = −5(5,5)² + 55(5,5) − 151,25 𝑴𝟐 = 𝟎 A outra parte dos momentos críticos ficam nos limites das funções 𝑀3 = 𝑀(0)1 𝑀3 = −7,5 ∗ 02 + 27,1875 ∗ 0 𝑴𝟑 = 𝟎 𝑀4 = 𝑀(4)2 𝑀4 = −5(4)2 + 55(4) − 151,25 𝑴𝟒 = −𝟏𝟏, 𝟐𝟓 𝒌𝑵𝒎 Comparando os momentos críticos, fica evidente que −𝟏𝟏, 𝟐𝟓 𝒌𝑵𝒎 é o momento mínimo e 𝟐𝟒, 𝟔𝟑𝟖 𝒌𝑵𝒎, é o momento máximo. e) Diagramas de esforços, de acordo com as equações 2. A linha neutra fica no centro geométrico da seção da viga, e o momento de inércia pode ser calculado pela soma da inércia da alma da viga com as abas, estas últimas podem ser calculadas usando o teorema dos eixos paralelos. 𝐼 = 1 ∗ 22,83 12 + 2 ∗ (20 ∗ 1,63 12 + (22,8 2 + 1,6 2 ) 2 (1,6 ∗ 20)) 𝑰 = 𝟏, 𝟎𝟓𝟐𝟕𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝒄𝒎𝟒 3. A tensão normal máxima acontece no ponto onde há o maior momento da estrutura. Como já foi calculado anteriormente, a tensão máxima ocorre no ponto 𝒙 = 𝟏, 𝟖𝟏𝟐𝟓 𝒎, e sua intensidade é de 𝟐𝟒, 𝟔𝟑𝟖 𝒌𝑵𝒎. Convertendo as unidades 𝐼 = 1,05271 ∗ 104 𝑐𝑚4 = 1,05271 ∗ 10-4 𝑚4 M = 24,638 kNm = 24638Nm Calculando distância da linha neutra até a extremidade (c) 𝑐 = 22,8 2 + 1,6 𝑐 = 13 𝑐𝑚 = 0,13m Calculando a tensão 𝜎 = ± Mc I 𝜎 = ± 24638*(0,13) 1,05271 ∗ 10-4 𝜎 = ±30425663 𝑃𝑎 𝝈 = ±𝟑𝟎, 𝟒𝟐 𝑴𝑷𝒂 O sinal é de ± pois ao ser fletida a viga sofre tração na metade das vigas e compressão na outra metade, como mostra o esboço 4. O ponto onde ocorre a maior tensão cisalhante é no apoio B, como mostra o gráfico do esforço cortante do item 1.e). Calculando o esforço cortante no ponto 𝑉(4)1 = −15 ∗ 4 + 27,1875 𝑉(4)1 = −32,8125 𝑘𝑁 A maior tensão cortante ocorre no centro geométrico da viga. Calculando Q 𝑄 = 22,8 2 ∗ 1 ∗ 22,8 4 + 1,6 ∗ 20 ∗ (22,8 2 + 0,8) 𝑄 = 455,38 𝑐𝑚3 𝑄 = 4,5538 ∗ 10-4 𝑚3 Calculando a tensão cisalhante da viga 𝜏 = VQ It 𝜏 = 32812,5*4,5538 ∗ 10-4 1,05271 ∗ 10-4*0,01 𝜏 = 14193990 𝑃𝑎 𝝉 = 𝟏𝟒, 𝟏𝟗𝟒 𝑴𝑷𝒂 O esboço mostra onde ocorre essa tensão 5.a) Uma vez que a viga precisou ser divida em dois trechos por causa das descontinuidades das cargas, a equação da deflexão também será dividida em duas partes, onde cada parte é válida somente dentro do intervalo do trecho. Trecho AB (0 ≤ x < 4): 𝑣′′(𝑥)1 = 𝑀(𝑥)1 EI 𝐸𝐼𝑣′(𝑥)1 = ∫(−7,5𝑥2 + 27,1875𝑥)𝑑𝑥 𝑬𝑰𝒗′(𝒙)𝟏 = −𝟐, 𝟓𝒙𝟑 + 𝟏𝟑, 𝟓𝟗𝟑𝟕𝟓𝒙² + 𝑪𝟏 𝐸𝐼𝑣(𝑥)1 = ∫(−2,5𝑥3 + 13,59375𝑥2 + 𝐶1)𝑑𝑥 𝑬𝑰𝒗(𝒙)𝟏 = −𝟎, 𝟔𝟐𝟓𝒙𝟒 + 𝟒, 𝟓𝟑𝟏𝟐𝟓𝒙𝟑 + 𝑪𝟏𝒙 + 𝑪𝟐 Trecho BC (4 ≤ x ≤ 5,5): 𝑣′′(𝑥)2 = 𝑀(𝑥)2 EI 𝐸𝐼𝑣′(𝑥)2 = ∫(−5𝑥2 + 55𝑥 − 151,25)𝑑𝑥 𝑬𝑰𝒗′(𝒙)𝟐 = −𝟏, 𝟔𝟔𝟕𝒙𝟑 + 𝟐𝟕, 𝟓𝒙² − 𝟏𝟓𝟏, 𝟐𝟓𝒙 + 𝑪𝟑 𝐸𝐼𝑣(𝑥) = ∫(−1,667𝑥3 + 27,5𝑥² − 151,25x + C3)𝑑𝑥 𝑬𝑰𝒗(𝒙)𝟐 = −𝟎, 𝟒𝟏𝟕𝒙𝟒 + 𝟗, 𝟏𝟔𝟕𝒙³ − 𝟏𝟕𝟓, 𝟔𝟐𝟓𝒙² + 𝑪𝟑𝒙 + 𝑪𝟒 b) Uma vez que os apoios A e B impedem o deslocamento vertical, a deflexão nestes pontos é 0. Portanto v(0) = 0 e v(4) = 0 c) As constantes do trecho AB são determinadas com as condições de contorno v(0) = 0 EI*0 = −0,625*04 + 4,53125*03 + 𝐶1*0 + C2 𝐶2 = 0 v(4) = 0 EI*0 = −0,625*44 + 4,53125*43 + 𝐶1*4 4𝐶1 = 160 − 290 𝐶1 = − 130 4 𝑪𝟏 = −𝟑𝟐, 𝟓 Para o trecho BC, determina-se as constantes igualando a deflexão e a inclinação no ponto B 𝑣′(4)1 = 𝑣′(4)2 −2,5*43 + 13,59375 ∗ 42 − 32,5 = −1,667*43 + 27,5 ∗ 42 − 151,25 ∗ 4 + 𝐶3 𝑪𝟑 = 𝟐𝟗𝟔, 𝟔𝟖𝟖 𝑣(4)1 = 𝑣(4)2 −0,625*44 + 4,53125*43 − 32,5 ∗ 4 = −0,417*44 + 9,167 ∗ 43 − 175,625 ∗ 42 + 296,668 ∗ 4 + 𝐶4 𝑪𝟒 = 𝟏𝟏𝟒𝟑, 𝟑𝟗𝟐 d) A deflexão no ponto 1 m é determinada pela equação da deflexao no trecho AB. É importante lembrar que os valores da equação foram calculados em quilo (KNm e KN), portanto o resultado sairá em quilômetro (Km) 𝑣(1)1 = 1 EI (−0,625*14 + 4,53125*13-32,5*1) 𝑣(1)1 = 1 EI (−0,625*14 + 4,53125*13-32,5*1) 𝑣(1)1 = 1 50 ∗ 109 ∗ 1,05271 ∗ 10-4 (−28,59375) 𝑣(1)1 = −5,432 ∗ 10−6 𝑘𝑚 𝒗(𝟏)𝟏 = −𝟓, 𝟒𝟑𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝒎𝒎 SIMULAÇÃO *Os resultados da simulação validam os resultados encontrados.