Dinâmica - Notas de Aula Engenharia Mecânica UFF - Vetores, Cinemática e Leis de Newton

Dinˆamica Notas de Aulas Professor M Xavier Departamento de Engenharia Mecˆanica Universidade Federal Fluminense Marco2024 1 145 1 Introducao Modelos Mecˆanicos Princıpios Centro de Massa 2 Vetores e momentos Vetores Livres Deslizantes e Vinculados Momentos Sistema de Vetores Sistemas Equivalentes 3 Cinematica 31 Diferenciacao de vetores e referenciais 32 Velocidade angular de um corpo rıgido 33 Uso de varios referenciais 2 145 Introducao modelos mecˆanicos Designase por partıcula um corpo de pequenas dimensoes se comparadas as dimensoes envolvidas em seu movimento Dizse tambem que uma partıcula e um ponto material ou seja e caracterizada por um ponto no espaco euclidiano dimensao nula mas possui massa finita m Designase por elemento infinitesimal de massa um corpo de dimensoes infinitesimais medida nula cuja massa e tambem infinitesimal dm ρdV Um sistema S de partıculas e um conjunto bem definido de partıculas Figura Sistema de Partıculas 3 145 Introdução modelos mecânicos A massa de S é dada por mS 1n mi 1 onde mi é a massa de uma partícula genérica Pi Um sistema C contínuo é um conjunto cujos componentes são elementos infinitesimais de massa Neste caso a massa de C é dada por mC C dm C ρ dV 2 Introdução Leis de Newton I Uma partícula mantém invariante no tempo seu vetor velocidade em um referencial inercial se a resultante das forças sobre ela aplicada for nula RvP v0 se F 0 3 II Existem referenciais tais que a derivada temporal do vetor quantidade de movimento de uma partícula é a cada instante igual à força resultante nela aplicada RGP F 4 III A interação entre duas partículas se dá por meio de um par de forças a força que uma partícula P exerce sobre outra Q é vetorialmente oposta à força que Q exerce sobre P estando ambas sobre a reta suporte que contém as partículas FQP FPQ 5 Introdução Centro de Massa Seja S um sistema discreto contendo n partículas A posição do centro de massa com respeito a um ponto O é dada por p 1m 1n pi mi 6 onde pi é a posição da iésima partícula com respeito a O mi a massa dessa partícula e m mS é a massa total do sistema Se o sistema é contínuo o centro de massa do corpo C será p 1m C p dm 7 onde m representa a massa total do corpo e p a posição de um elemento infinitesial de massa genérico de massa dm Capıtulo 2 Vetores Livres Deslizantes e Vinculados Seja n1 n2 e n3 uma base ortonormal para o Espaco Euclidiano R3 Os componentes escalares de um vetor v nessa base dados por vj v nj 8 determinam inteiramente o vetor v Nesta mesma base temse a seguinte propriedade u v uj vj j 9 Vetores livres o ponto de aplicacao nao e relevante ex torque aplicado a um corpo rıgido Vetores deslizantes sao vetores associados a uma dada reta no espaco reta suporte ex uma forca aplicada a um corpo rıgidido obs duas forcas vetorialmente iguais e associadas a uma mesma reta suporte sao ditas equivalentes Vetores vinculados o ponto de aplicacao e relevante ex o efeito de uma forca aplicada a um corpo deformavel 7 145 Exemplo 11 Considere um bloco rıgido B sujeito aos esforcos indicados Figura Exemplo 11 O torque T T1 T2 T3 e um vetor livre A forca F2 de modulo F2 direcao dada pela reta suporte ay bx zc e sentido de P para Q e um vetor deslizante Calcule a soma vetorial F1 F2 vetor livre Calcule o produto vetorial pPO F2 vetor livre 8 145 Capıtulo 2 Momentos Seja v um vetor deslizante com suporte r O um ponto qualquer do espaco e P um ponto arbitrario sobre r Figura momento de v com respeito a O Definese momento de v com respeito a O como MvO p v 10 onde p e o vetor posicao de P com respeito a O Em quais situacoes MvO sera nulo Mostre que MvO independe do ponto P escolhido sobre r 9 145 Considere um vetor deslizante v com suporte r um ponto O qualquer do espaco sobreum e um eixo arbitrario E passando por O Figura momento de v com respeito ao eixo E Definese momento de v com respeito ao eixo E da seguinte forma MvE MvO nn 11 onde n e um vetor unitario adimensional paralelo ao eixo E Mostre que MvE independe do ponto O escolhido sobre E Isto e se O e outro ponto sobre E entao MvO nn MvE 10 145 O momento de um vetor deslizante v com respeito a um ponto O é igual a soma vetorial dos momentos do vetor com respeito a três eixos E₁ E₂ e E₃ mutuamente ortogonais que se interceptam em O De fato sejam n₁ n₂ e n₃ vetores ortonormais paralelos aos eixos E₁ E₂ e E₃ respectivamente Assim temse i13 MvEi i13 MvO ni ni i13 ni MvO ni i13 ni ni MvO I MvO MvO onde I é o tensor identidade Exemplo 21 Considere uma partıcula P de massa m que se move em relacao a um sistema de referˆencia conforme indicado na figura abaixo No instante mostrado a posicao de P e s cosθ y0 s senθ sua velocidade tem modulo v e suporte r Alem disso P esta sujeita a uma forca de modulo F com suporte que passa pela origem O do sistema de referˆencia Figura Exemplo 21 12 145 O vetor quantidade de movimento da partıcula P G mvn e um exemplo de vetor vinculado O momento de G com respeito ao ponto O e dado por MGO pPO G Note que ha outro ponto sobre r suporte de G que facilita o calculo acima MGO pQO G Neste caso MGO y0ny mvcosθnx senθnz y0mv cosθnz y0mv senθnx y0mvsenθnx cosθnz Calcule MGX MGY e MGZ 13 145 A forca F aplicada a P e um vetor vinculado a P Note que MFO 0 pois o suporte de F intercepta O O momento de F com respeito a Q e dado por MFQ pPQ F s cosθnx s senθnz F λ s cosθnx yony s senθnz onde λ s2 y2 0 12 Portanto MFQ Fsy0 λ senθnx cosθnz Note que O assim como P pertence a reta suporte de F Calcule MFQ considerando o ponto O sobre o suporte de F Calcule MFY Calcule MFZ e MFz Discuta a diferenca 14 145 Capıtulo 2 Sistema de Vetores Considere um conjunto V formado por n vetores deslizantes vi de mesma dimensao fısica e m vetores livres Mj todo com dimensao de momento de vetor veja o exemplo abaixo Tal conjunto e denominado sistema de vetores Figura Exemplo 31 15 145 Definese resultante R de um sistema de vetores V a soma vetorial dos n vetores deslizantes isto é RV i1n vi 12 Definese momento resultante de um sistema de vetores V com respeito a um ponto O a soma vetorial dos momentos com respeito a O dos n vetores deslizantes com os vetores livres de V isto é MVO i1n MviO j1m Mj 13 Por fim momento resultante de um sistema V com respeito a um eixo E paralelo ao unitário n que passe por O é dado por MVE MVO n n 14 Exemplo 32 Para o sistema mostrado abaixo mostre que R 5u3n1 2n2 n3 MVO 30umn1 n3 MVx1 30umn1 MVE 40umn1 n2 Figura Exemplo 32 17 145 Teorema do Transporte de Momentos Suponha conhecido MVO o momento do sistema com respeito a um outro ponto O qualquer de V e MVO MVO pOO R Figura Teorema do Transporte de Momentos 18 145 Prova Por definição o momento do sistema com respeito a O é dado por MVO i1n MviO j1m Mj i1n pi vi j1m Mj i1n pOO pi vi j1m Mj i1n pi vi j1m Mj pOO i1n vi MVO pOO R Seja n um vetor unitario Os momentos resultantes em relacao a dois eixos E e E passando por O e O respectivamente estao relacionados pela equacao MVE MVE pOO R nn Com relacao ao exemplo 32 calcule MVA e MVE 20 145 Sistemas Distribuídos Sistemas constituídos por um número infinito de vetores deslizantes cada qual com módulo infinitesimal são denominados sistemas distribuídos Seja dv um vetor de um sistema distribuído V veja figura abaixo a resultante deste sistema é dado por R V dv Figura Sistema simples distribuído Figura Sistema simples distribuído O momento resultante de um sistema simples distribuído com respeito a um ponto O será MVO V p dv onde p é a posição com respeito a O de um ponto arbitrário sobre o suporte de dv Exemplo 35 A Figura 35 abaixo esquematiza uma comporta vertical de altura a Calcule a forca resultante da acao do fluido sobre a comporta e o momento resultante desse sistema com respeito ao ponto P Figura Exemplo 35 23 145 Considerando um elemento horizontal de superfície a área e a força exercida sobre este elemento será dA l dz e df pz dAn1 respectivamente onde l é a largura uniforme da comporta e pz ρ gz Assim a força resultante será R 0a df 0a ρ gz l dz n1 12 ρ g l a2 n1 Figura Exemplo 35 O momento do sistema em relação ao ponto P é dado por MFP 0a p df 0a a zn3 ρgzldzn1 ρgl 0a az z2 dz n3 n1 ρgla312 13n2 16ρgla3n2 Exemplo 36 A barra B pivotada em uma extremidade no ponto O movese no plano da Figura com angulo θ variando com o tempo segundo a taxa ω dθdt veja fig 36 Calcule 1 A quantidade de movimento da barra 2 A quantidade de movimento angular da barra com respeito ao ponto O Figura Exemplo 36 26 145 Sistemas Equivalentes Dois sistemas V e V são distos equivalentes se suas resultantes e seus momentos resultantes com respeito a algum ponto O forem iguais ou seja V V RV RV M VO M VO 15 É trivial que a definição de equivalência acima se estende para qualquer outro ponto O do espaço e em relação a qualquer eixo E que passe por O Sistemas Equivalentes Exemplo 41 Considere os sistemas V e V mostrados na figura abaixo Mostre que os sistemas V e V sao equivalentes Figura Exemplo 41 28 145 Com efeito note inicialmente que a resultante R em ambos os casos e dada por R 4u 3n1 n2 Note ainda que escolhendo arbitrariamente o ponto B temse MVB pAB u2 MA 1mn1 4un2 3umn3 umn3 MVB Figura Exemplo 41 29 145 Seja V um sistema de vetores Os vetores RV e MVO com O um ponto arbitrario do espaco formam um novo sistema que e equivalente ao sistema original Neste processo fazendo o suporte de RV passar por O dizse que o sistema V foi reduzido ao ponto O Este sistema reduzido pode ser deslocado para qualquer outro ponto do espaco fazendo uso de Teorema do Transporte de Momentos Exemplo 42 Observe que no exemplo 41 V e uma reducao de V ao ponto B Exemplo 42 Ainda sobre o exemplo 41 reduza os sistemas V e V ao ponto C Discuta os resultados 30 145 Exemplo 43 O sistema mecˆanico ilustrado na figura abaixo consiste de um elemento central de massa 5m rigidamente conectado a quatro esferas igualmente espacadas com massas distruibuıdas como indicado na figura Figura Exemplo 43 Assumindo que o sistema gira em torno do eixo z com taxa constante de modo que cada massa suspensa tem velocidade com magnitude v e supondo que os elementos possam ser tratados como partıculas calcule 1 A resultante do sistema formado pelos vetores quantidade de movimento 2 A quantidade de movimento angular do sistema com respeito ao ponto O 31 145 Exemplo 44 A figura abaixo ilustra um cilindro que flutua sobre um fluido em repouso O sistema de forcas exercido pelo fluido sobre a casca cilındrica e um sistema simples distribuıdo que para uma secao reta vertical tem a configuracao mostrada Reduza este sistema ao ponto O Figura Exemplo 44 32 145 Exemplo 45 Mostre que o sistema ilutrado e equivalente a um sistema nulo Figura Exemplo 45 33 145 Eixo Central Considere um sistema de vetores V cuja resultante e R e o momento resultante com respeito a um dado ponto O e MVO Vamos considerar agora a seguinte decomposicao MVO MVO MVO onde MVO denominado momento paralelo dado por MVO 1 R2 MVO RR 16 e o componente de MVO na direcao de R e MVO denominado momento ortogonal dado por MVO 1 R2 R MVO R 17 e o componente normal a R 34 145 Eixo Central Seja Q um ponto arbitrario e considere a reducao do sistema V a este novo ponto Pelo teorema do transporte de momentos temse MVQ MVO pOQ R Note inicialmente que se o novo ponto Q formar com O uma linha paralela a R o novo momento e igual ao anterior Se por outro lado Q esta fora desta linha temse MVQ MVO pOQ R 18 o que mostra que a componente MVQ MVO e nula Ou seja MVQ e MVO tem componente idˆenticas na direcao de R Como Q foi tomado arbitrariamente segue que mudandose o ponto somente a componente ortogonal a R varia permanecendo invariante a componente paralela ou seja MVQ MVO MV O momento paralelo e um invariante do sistema 35 145 Caracterizacao do Eixo Central Se a resultante R do sistema e nao nula existe uma reta denominada eixo central ao longo da qual o momento ortogonal e nulo Supondo P um ponto sobre o eixo central pelo visto anteriormente temse que MVP MV Transferindo o sistema do ponto P para um ponto arbitrario O fora do eixo central pelo Teorema do Transporte de Momentos temse MVO MVP pPO R Decompondo temse MVO MVO MVP MVP pPO R Logo MV 1 R2 R MVO R MV pPO R 36 145 donde segue que pPO R 1 R2 R MVO R 19 Note que qualquer vetor posicao da forma pPO 1 R2 R MVO λR 20 λ R satisfaz a equacao 19 Como λ e arbitrario a equacao 20 define um reta veja Figura abaixo Figura Existˆencia do eixo central 37 145 Exemplo 51 Considere o sistema dado no exemplo 32 figura abaixo Calcule o momento paralelo a posicao do eixo central mais proximo de O e o eixo central do sistema Figura Exemplo 51 38 145 Exemplo 52 Um chapeu de aba larga esta apoiado sobre uma mesa horizontal lisa Trˆes linhas fixas a copa do chapeu nos ponto A B e C sao puxadas horizontalmente com a mesma forca de modulo F nas direcoes indicadas Veja Figura 55 Desejase determinar um ponto do chapeu onde deve ser espetado um prego de modo a imobilizalo Figura Exemplo 52 39 145 Exemplo 53 A acao gravitacional terrestre exercida pela Terra sobre um corpo C proximo a sua superfıcie pode dadas as proporcoes envolvidas ser tratada como um sistema F distribuıdo paralelo veja Figura 57 Mostre que o eixo central do sistema de forcas gravitacionais sobre o corpo e uma reta vertical que passa pelo centro de massa do corpo Figura Exemplo 53 40 145 A resultante desse sistema é o peso do corpo P C dP C ρgn dV mgn 21 O momento resultante desse sistema com respeito a um ponto arbitrário O será MFO C r ρgn dV C ρr dV gn onde r é o vetor posição com respeito a O de um ponto arbitrário de C O eixo central desse sitema será portanto uma reta vertical descrita pelo vetor posição p 1P2P MFO λP 22 1mg n C ρr dV gn λ mgn 23 Fazendo uso da relação u v w u w v u v w 24 vem p 1m C ρrdV 1m C ρrdV nn λmgn 25 p βn 26 27 onde p 1m C rdm 28 é o vetor posição do centro de massa do corpo em questão e β 1m C ρrdV n λmg n 29 Assim a reta dada pela equação p p βn 30 uma reta vertical que passa pelo centro de massa do sistema caracteriza o eixo central sistema 26 Forcas e torques Um passo importante a ser dado para o estabelecimento das equacoes que regem o movimento de um sistema mecˆanico consiste na identificacao do conjunto de forcas e torques que nele atuam As interacoes entre elementos mecˆanicos se da por meio de forcas e torques Por simplicidade designaremos por sistema de forcas o sitema de vetores composto por forcas e torques que agem sobre um mecanismo As interacoes entre elementos mecˆanicos se da por meio de forcas e torques A interacao entre partıculas se da por meio de uma forca campo ou contato satisfazendo a terceira lei de Newton FQP FPQ 31 43 145 Capítulo 3 Cinemática 31 Diferenciacao de vetores e referenciais Nesta parte estudaremos como diferenciar funcoes vetoriais e veremos por que suas derivadas dependem do observador Um referencial sera aqui definido como um conjunto de pontos nao colineares guardando entre si distˆancias invariantes com o tempo Um corpo rıgido pode ser tomado como referencial na pratica confundiremos frequentemente os conceitos de corpo rıgido e referencial Um referencial pode portanto ser entendido como qualquer objeto ao qual possamos associar um sistema de eixos cartesianos 45 145 Dado um referencial e escolhido um sistema de coordenadas adotase uma base ortornormal com vetores fixos no referencial e paralelos aos eixos do sistema ver figura Figura Referencial R associado a um sistema de eixos cartesianos x1 x2 x3 com origem em O e a uma base ortonormal 46 145 Um vetor u qualquer pode ser expresso nessa base por u j13 u nj nj j13 uj nj Se o vetor u varia com o tempo isto é u ut a derivada temporal de u em ℜ será dudt j13 ūj nj onde ūj é a notação reduzida para duj dt Sejam agora A e B dois referenciais distintos movendose independentemente no espaço ver figura Um vetor u qualquer pode ser expresso alternativamente por u j13 u aj aj j13 u bj bj Figura Referenciais A e B movendose independentemente Ou seja embora u aj u bj ambas as somas vetoriais resultam no mesmo vetor A derivada temporal de u dependerá entretanto do referencial a partir do qual o vetor é observado Exemplo 11 O sistema de eixos x y gira no plano da figura em torno do ponto O em relacao ao sistema de eixos X Y segunda a funcao θt veja figura Figura Exemplo 13 Vamos analisar as derivadas do vetor n1 fixo no referencial x y em relacao a ambos os referenciais 49 145 Com relacao ao referencial x y evidentemente dn1dt 0 Por outro lado no referencial X Y o vetor n1 pode ser escrito como n1 cosθa1 senθa2 Assim a derivada de n1 no referencial X Y sera dn1 dt senθ θta1 cosθ θta2 um resultado diferente portanto do anterior O resultado so seria o mesmo caso os refenciais nao se movessemse relativamente θtconstante A derivada de um vetor depende do referencial Sera entao adotada aqui a notacao Rdvdt para designar a derivada temporal de v no referencial R 50 145 A diferenciacao de somas e produtos envolvendo funcoes vetoriais obedece as regras operacionais simples Sejam ut vt funcoes vetoriais et uma funcao escalar As seguintes relacoes sao validas Rd dt u v Rdu dt Rdv dt 32 Rd dt ev ev e Rdv dt 33 Rd dt u v Rdu dt v u Rdv dt 34 Rd dt u v Rdu dt v u Rdv dt 35 Rd dt u v Rdu dt v u Rdv dt 36 Prove a igualdade mostrada na segunda linha acima 51 145 Seja v um vetor nao nulo que varia com o tempo em um referencial R O modulo de v e definido como v2 v v 37 Diferenciando esta ultima expressao com relacao ao tempo temse v v 1 2 Rdv dt v v Rdv dt 38 v Rdv dt 39 Vamos supor que v tenha modulo constante magnitude constante direcao e sentido variaveis Neste caso temse que v 0 Daı segue que v Rdv dt 0 40 Dessa forma ou Rdv dt 0 ou os vetores v e Rdv dt sao ortogonais 52 145 Considere agora um vetor nao nulo v fixo em um corpo rıgido C que se move em um referencial R Nessas condicoes como vimos agora o vetor v tem modulo constante e portanto Rdv dt v 0 41 Vamos analisar inicialmente o caso em que Rdv dt 0 Neste caso segue entao que v e Rdv dt sao ortogonais Entao existe um vetor w que depende do movimento de C tal que Rdv dt w v 42 lembrese que a operacao w v resulta em um vetor perpendicular a w e a v simultaneamente 53 145 Figura Hipotese da existˆenica do vetor w 54 145 Considere agora um conjunto de n vetores vn fixos em C Cada vetor vj tera sua derivada temporal em R ortogonal a si proprio e portanto com essa derivada igual ao produto vetorial de um vetor wj com o vetor vj Observacoes Embora a existˆencia dos vetores wj seja razoavel nao ha nenhuma evidˆencia de relacao entre eles Na proxima secao mostraremos que todos os vetores wj sao iguais entre si 55 145 32 Velocidade angular de um corpo rıgido Considere um vetor v fixo em um corpo rıgido C que se move arbitrariamente no espaco em relacao a um referencial R Portanto Cdv dt 0 43 O teorema a seguir estabelece uma relacao para o calculo de Rdv dt 44 Teorema 0 Se um corpo rıgido C esta em movimento em relacao a um referencial R entao existe um vetor RωC tal que para todo vetor fixo em C sua derivada temporal no referencial R e em cada instante de tempo dada por Rdv dt RωC v 45 56 145 Demonstracao Considere dois vetores p e q nao nulos linearmente independentes e fixos em C tais que suas derivadas temporiais em R respectivamente p e q sejam nao nulas e nao paralelas Como p e q sao fixos em C seu produto escalar e uma constate logo p q p q 0 46 Definindose o escalar k p q p q 47 e o vetor Ω p q 48 temse Ω p p q p p p q p qp k p 49 Ω q p q q q p q q qp k q 50 57 145 Ou seja Ω p k p 51 Ω q k q 52 Ora definindo RωC 1 k Ω 53 temse que RωC p p 54 RωC q q 55 58 145 Considere agora um terceiro vetor r fixo em C definido por r p q 56 Entao RωC r RωC p q 57 RωC p q p RωC q 58 p q p q 59 r 60 59 145 Finalmente como todo vetor v fixo em C pode ser expresso como uma combinacao linear da base formada por p q e r ou seja v αp βq γr 61 entao RωC v αRωC p βRωC q γRωC r 62 αp β q γr 63 v 64 60 145 Exemplo 21 O cubo C mostrado na Figura 21 gira em relacao ao referencial R mantendo o vertice A fixo em R Num dado instante as derivadas temporais em R dos unitarios c1 e c2 fixos no cubo valem c1 γc2 βc3 e c2 γc1 αc3 com α β e γ constantes reais nao nulas Calcular a derivada do vetor d vetor posicao de B com respeito ao ponto A cujo modulo d e a diagonal do cubo em relacao ao referencial R Figura Exemplo 21 61 145 Como c1 e c2 sao linearmente independentes e suas derivadas sao nao paralelas podemos utilizar esses vetores para construir o vetor velocidade angular RωC k c1 c2 γ 65 Assim RωC 1 k c1 c2 66 αc1 βc2 γc3 67 Conhecido o vetor velocidade angular podese calcular a derivada do vetor d com respeito ao referencial R De fato d RωC d 68 aβ γc1 γ αc2 α βc3 69 Verifique que d d 0 62 145 Quando um corpo B se move em relacao a um referencial A de tal modo que durante um certo intervalo de tempo existe um vetor unitario n fixo simultaneamente em B e em A dizse que B tem uma velocidade angular simples em A Quando isso ocorre o vetor velocidade angular de B em relacao a A e paralelo ao vetor n e pode ser expresso por AωB ωn 70 onde ω dθdt 71 com θt utilizado para denotar o ˆangulo formado entre duas retas ortogonais a n fixas uma em B e outra em A veja a Figura 23 Figura Velocidade angular simples 63 145 Para comprovar essa afirmacao vamos inicialmente decompor o vetor velocidade angular AωB no referencial A AωB ω1ta1 ω2ta2 ω3ta3 72 note a dependˆencia temporal dos componentes ωit Calculando a derivada temporal de n fixo em B em relacao a A temse Adn dt AωB n 73 ω1ta1 ω2ta2 ω3ta3 n 74 ω1ta1 ω2ta2 ω3ta3 a3 75 ω1ta2 ω2ta1 76 Como n tambem e fixo em A temse Adn dt 0 77 64 145 Comparando os dois resultados vem ω1a2 ω2a1 78 Portanto ω1 ω2 0 79 pois os vetores a1 e a2 sao linearmente independentes Logo AωB ω3a3 80 ωn 81 Resta mostrar que ω θ 65 145 Para tanto vamos inicialmente escrever a base ortonormal do corpo B em funcao dos vetores da base ortonormal de A b1 cosθa1 senθa2 82 b2 senθa1 cosθa2 83 b3 a3 84 Diferenciando com respeito ao tempo no referencial A temse Adb1 dt senθa1 cosθa2 θ b2 θ 85 Adb2 dt cosθa1 senθa2 θ b1 θ 86 Adb3 dt 0 87 66 145 Computando agora as mesmas derivadas utilizando o vetor velocidade angular AωB temse Adb1 dt AωB b1 88 ωa3 cosθa1 senθa2 89 ωcosθa2 senθa1 90 ωb2 91 Da mesma forma obtemse Adb2 dt ωb1 92 e Adb3 dt 0 93 Portanto ω θ 67 145 Exemplo 22 A Figura 24 ilustra um cilindo C que rola sobre uma rampa R P Q e S sao trˆes pontos fixos na borda do cilindro e θ mede o ˆangulo entre a reta que passa por P e Q e a aresta da rampa como indicado Figura Exemplo 22 68 145 As bases indicadas sao ortonormais e estao fixas nos corpos indicados Note que a medida que o cilindro desce a rampa o ˆangulo θt aumenta Note ainda que o vetor c3 e paralelo ao eixo do cilindro e portanto e fixo no referencial R com c3 n3 Figura Exemplo 22 69 145 Caracterizase assim uma velocidade angular simples entre C e R com RωC θ c3 Por fim observe que o ˆangulo ϕ tambem aumenta a medida que o cilindro desce a rampa De fato da geometria temse que ϕt θt α 94 sendo α um ˆangulo constante Dessa forma temse que ϕt θt 95 de modo que podemos escrever RωC ϕn3 96 70 145 33 Uso de vários referenciais Vimos nas seções anteriores que as derivadas temporais de um vetor v em relação a dois referenciais A e B que se movem relativamente são em geral distintas Nesta seção vamos estabelecer uma relação entre essas derivadas Suponha um referencial B que se move em relação a outro referencial A com velocidade angular ωA B No caso mais geral o vetor velocidade angular varia com o tempo não sendo fixo em nenhum dos referenciais Seja u um vetor qualquer variando com o tempo em relação a ambos os referenciais caso mais geral possível A decomposição de u na base fixa em B será u j13 uj bj 97 Sua derivada em B será dB udt j13 ȗj bj 98 Figura Uso de vários referenciais A derivada de u em relação ao referencial A será A d udt Σj13 ųj bj Σj13 uj A ddt bj 99 Σj13 ųj bj Σj13 uj A ωB bj 100 Σj13 ųj bj u1A ωB b1 u2A ωB b2 u3A ωB b3 101 Σj13 ųj bj A ωB u1 b1 A ωB u2 b2 A ωB u3 b3 102 Σj13 ųj bj A ωB Σj13 uj bj 103 A relacao procurada e entao Adu dt Bdu dt AωB u 104 74 145 Exemplo 31 A Figura 32 ilustra parte de um giroscopio composto de um rotor C que pode girar livremente em torno do seu eixo de simetria fixo na moldura B a qual por sua vez pode girar em torno do eixo horizontal fixo na moldura em A Esta finalmente pode girar em torno do eixo vertical fixo em um refencial R Figura Exemplo 31 75 145 P e um ponto fixo na periferia do rotor e o vetor posicao de P com respeito ao centro do rotor O e p rc1 rcosθb1 rsenθb2 Como o vetor c3 b3 e fixo simultaneamente em B e em C temse uma velocidade an gular simples dada por BωC θb3 105 Figura Exemplo 31 76 145 Assim a derivada temporal do vetor p fixo em C em relacao a B sera Bdp dt BωC p θb3 rcosθb1 rsenθb2 θrcosθb2 senθb1 Figura Exemplo 31 77 145 Como o vetor b2 a2 e fixo simultaneamente em A e em B temse uma velocidade an gular simples dada por AωB ϕb2 106 A derivada temporal de p em relacao a A pode entao ser dada por Adp dt Bdp dt AωB p 107 Figura Exemplo 31 78 145 Assim Adp dt Bdp dt AωB p 108 θrcosθb2 senθb1 ϕb2 rcosθb1 rsenθb2 109 θrcosθb2 senθb1 ϕrcosθb3 110 79 145 As velocidades angulares entre dois referenciais A e B que se movem relativamente satisfa zem a relacao AωB BωA 111 Exemplo 32 No exemplo an terior a velocidade angular do quadro A em relacao ao qua dro B sera BωA AωB ϕb2112 Figura Exemplo 31 80 145 Ainda sobre o exemplo ante rior note que Adp dt Bdp dt AωB p BωC p AωB p BωC AωB p Como Adp dt A ωC p temos a relacao AωC p BωC AωB p Donde segue que AωC B ωC AωB Figura Exemplo 31 81 145 Quando trˆes ou mais referenciais movemse relativamente um ao outro ha um vetor velocidade angular que descreve o movimento relativo de cada par de refereciais Esses vetores guardam entre si uma relacao de aditividade Sejam R1 R2 Rn n referenciais que se movem arbitrariamente no espaco Suas velocidades angulares satisfazem a relacao R1ωRn R1 ωR2 R2 ωR3 Rn1 ωRn 113 No caso particular n 3 exemplo anterior temse R1ωR3 R1ωR2 R2ωR3 114 82 145 Vamos provar para n 3 Seja v um vetor arbitrario fixo em R3 cuja derivada em relacao ao referencial R1 e R1dv dt R1ωR3 v 115 A derivada de v em relacao a R2 e R2dv dt R2ωR3 v 116 Da relacao de derivada de vetor envolvendo dois referenciais temse R1dv dt R2dv dt R1ωR2 v 117 83 145 R1dv dt R2dv dt R1ωR2 v 118 Substituindo as expressoes anteriores R1ωR3 v R2ωR3 v R1ωR2 v 119 Da distributividade do produto vetorial e da arbitrariedade de v segue o resultado desejado O caso geral sai por inducao Voltando ao exemplo 31 calcule RωC em funcao dos ˆangulos θ ϕ e ψ e dos vetores bj 84 145 Exemplo 34 A Figura 33a ilustra o movimento de uma moeda M que rola sobre um plano horizontal R ao qual esta associado um sistemas de coordenadas cartesianas X Y Z e a base de vetores unitarios nx ny nz como mostrado O ponto O e o centro geometrico da moeda C e o ponto da periferia da moeda em contato com o plano no instante considerado e P e ponto fixo na face da moeda A orientacao da moeda em relacao ao plano pode ser descrita pelos ˆangulos θt ϕt e ψt onde θ mede o ˆangulo entre a reta s que contem C e O e a vertical ϕ mede o ˆangulo entre a reta s e a reta que contem P e O e finalmente ψ mede o ˆangulo entre a reta horizontal tangente a borda da moeda no ponto C reta t e o eixo cartesiano X Calcule RωM Figura Exemplo 34 85 145 O movimento geral da moeda com os trˆes ˆangulos variando no tempo e relativamente complexo nao constituindo uma velocidade angular simples Para descrevˆelo e necessario considerar dois referenciais intermediarios Sejam entao A o plano que contem a face da moeda e B o plano vertical que contem a reta t Note que dessa forma o vetor n3 e fixo em M e no plano A Assim a velocidade angular de M com respeito ao referencial A sera uma velocidade angular simples a saber AωM ϕn3 120 Note tambem que o vetor n2 e fixo em A e no plano B e a velocidade angular simples de A em relacao a B sera BωA θn2 121 Por fim observase tambem que nz e fixo em B e no plano R e a velocidade angular simples de B em R sera RωB ψnz 122 86 145 Fazendo uso da superposicao das velocidades angulares obtemse a velocidade angular da moeda em relacao ao referencial R de forma relativamente simples RωM AωM BωA RωB 123 ϕn3 θn2 ψnz 124 87 145 Quando um corpo rıgido C movese em relacao a um referencial R de tal modo que num dado intervalo de tempo RωC 0 125 dizse que ha translacao ou repouso no referido intervalo de tempo Assim quando ocorre translacao temos Rdv dt Cdv dt se RωC 0 126 ou seja a derivada temporal de um vetor abritrario v e a mesma em ambos os referenciais 88 145 Aceleracao Angular Seja C um corpo rıgido que se move arbitrariamente no espaco em relacao a um referencial R O vetor velocidade angular de C em R RωC e em geral uma funcao vetorial do tempo nao sendo portanto um vetor fixo em C tao pouco em R A derivada temporal de C em R e denominada aceleracao angular do corpo C no referencial R RαC Rd dt RωC 127 Note que de acordo com a relacao Rdu dt Cdu dt RωC u 128 a aceleracao e a mesma em R e no proprio corpo 89 145 Se o corpo rıgido C se move com velocidade angular simples num dado referencial R sua aceleracao angular nesse referencial sera RαC Rd dt RωC 129 Rd dt θn 130 θn 131 onde n e o unitario fixo simultaneamente em C e em R 90 145 Exemplo 41 A aceleracao an gular do rotor C em relacao a moldura B e BαC Bd dt BωC Bd dt θb3 θb3 e a aceleracao de C em relacao a mondura A sera AαC Ad dt AωC Figura Exemplo 41 91 145 AαC Ad dt BωC AωB 132 Ad dt θb3 ϕb2 133 ϕb2 θb3 θ Ad dt b3 134 ϕb2 θb3 θ AωB b3 135 ϕb2 θb3 θ ϕb2 b3 136 θ ϕb1 ϕb2 θb3 137 Note que AαC BαC AαB θ ϕb1 138 92 145 O exemplo anterior mostra que os vetores aceleracao angular nao obedecem em geral a uma relacao de aditividade como ocorre no caso do vetor velocidade angular Isto e R1αR3 R1αR2 R2αR3 139 Calcule RαC As aceleracoes angulares de dois referenciais A e B que se movem relativamente um ao outro sao opostas isto e BαA AαB 140 93 145 Exemplo 43 O arame A moldado segundo um aro de quarto de circunferˆencia de raio R gira em torno do eixo vertical z fixo no laboratorio L segundo a funcao ϕt que mede o ˆangulo entre o segmento horizontal do aro e uma reta horizontal passando pelo centro O veja a Figura ao lado A barra B move se em relacao ao arame A tendo uma extremidade fixa no ponto O e outra que des liza ao longo do trecho circu lar segundo a funcao θt Figura Exemplo 43 94 145 A base de vetores aj esta fixa em A com a1 horizontal e a3 ortogonal ao plano do arame enquanto a base bj esta fixa em B com b1 paralelo a barra e b3 a3 Calcule LωB e LαB Figura Exemplo 43 95 145 Posicao Velocidade e Aceleracao Seja pPQ o vetor posicao de um ponto P com relacao a outro ponto Q ambos se movendo independentemente em R A derivada temporal em um referencial R do vetor posicao de um ponto P com respeito a Q e denominada velocidade de P relativa a Q no referencial R e e dada por Rv PQ Rd dt pPQ 141 Rd dt pP0 Rd dt pQ0 142 Figura Posicao velocidade e aceleracao 96 145 Velocidade Absoluta Se O e um ponto arbitrario fixo em um referencial R a velocidade de um outro ponto P relativa a O em R e denominada velocidade absoluta de P em R ou simplesmente velociade de P em R A velocidade absoluta independe da escolha do ponto O isto e para qualquer ponto O fixo em R temse Rv P Rv P0 143 97 145 Exemplo 51 O arame A mol dado segundo um aro de quarto de circunferˆencia de raio R gira em torno do eixo vertical z fixo no laboratorio L segundo a funcao ϕt que mede o ˆangulo entre o segmento horizontal do aro e uma reta horizontal pas sando pelo centro O veja a Fi gura ao lado A barra B move se em relacao ao arame A tendo uma extremidade fixa no ponto O e outra que desliza ao longo do trecho circular segundo a funcao θt Alem disso ha um cursor P que se move ao longo da barra B segundo a funcao escalar rt em relacao ao ponto O Figura Exemplo 51 98 145 Vamos calcular inicialmente a velocidade de Q com respeito a O no referencial B Bv QO 0 144 Vamos calcular a velocidade de P em relacao a O no referencial B Bv PO Bd dt rb1 145 rb1 146 Agora a velocidade de P com respeito a S em B Bv PS Bd dt pPO pSO 147 Bd dt rb1 Ra1 148 149 99 145 Bv PS Bd dt rb1 Ra1 150 rb1 R Bd dt cosθb1 senθb2 151 rb1 R θsenθb1 θcosθb2 152 rb1 R θsenθb1 θcosθb2 153 r R θsenθb1 R θcosθb2 154 Calcule Bv PS fazendo uso da velocidade angular de B em A 100 145 Av PO Ad dt rb1 rb1 r Ad dt b1 rb1 r AωBb1 rb1 r θb3b1 rb1 r θb2 Figura Exemplo 52 101 145 Av QO Ad dt Rb1 R AωBb1 R θb3b1 R θb2 Figura Exemplo 52 102 145 Av PS Ad dt rb1 Ra1 rb1 r Ad dt b1 rb1 r AωB b1 rb1 r θb3 b1 rb1 r θb2 Figura Exemplo 52 Note que Av PS Av PO 103 145 Exemplo 53 Voltando ao exemplo anterior calcule a ve locidade do cursor P no refe rencial L Figura Exemplo 53 104 145 Aceleracao Aceleracao de P relativa a Q em R RaPQ Rd dt Rv PQ 155 Se um ponto O e fixo em R entao RaP RaPO 156 qualquer que seja O fixo em R 105 145 Exemplo 54 A figura mostra um pequeno cursor C que desliza sobre uma guia retilınea usinada na face de um disco D que gira em torno de seu eixo horizontal de simetria fixo no garfo A Este por sua vez gira em torno do eixo vertical z fixo no laboratorio L com velocidade angular simples de modulo contante ω0 A base de vetores ortonormais aj esta fixa em A com a2 vertical e a3 paralelo ao eixo do disco a base nj esta fixa em D com n1 paralelo a guia e n3 horizontal Figura Exemplo 53 106 145 Velocidade angular do disco em relacao ao garfo AωD ϕa3 157 Velocidade angular do disco em relacao ao laboratorio LωD AωD LωA 158 ω0a2 ϕa3 159 Velocidade de Q em A Av Q Ad dt pQO 160 AωD pQO 161 ϕn3 ln2 162 ϕln1 163 107 145 Velocidade de C em A Av C Ad dt pCO 164 Ad dt xtn1 ln2 165 xn1 x Ad dt n1 l Ad dt n2 166 xn1 x ϕn3n1 l ϕn3n2 167 xn1 x ϕn2 l ϕn1 168 x l ϕn1 x ϕn2 169 Calcule a velocidade de C relativa a Q em A 108 145 Velocidade de C em L Lv C Ld dt pCO 170 Ad dt pCO LωApCO 171 Av C ω0a2pCO 172 x l ϕn1 x ϕn2 ω0lcosϕ xsenϕn3 173 Faca os detalhes 109 145 Aceleracao do cursor C em relacao a A AaC Ad dt Av C 174 Ad dt x l ϕn1 x ϕn2 175 x l ϕn1 x l ϕ Ad dt n1 x ϕn2 x Ad dt ϕn2 176 x l ϕ x ϕ2n1 x ϕ l ϕ2 2 x ϕn2 177 Faca os detalhes 110 145 Exemplo 63 O mecanismo ilus trado na figura ao lado compoe se de duas barras A e B arti culadas ao suporte R nos pon tos O e Q como mostrado O cursor C pivotado na extremi dade livre da barra A desliza ao longo de B como indicado Todo o movimento se da no plano da fi gura e as coordenadas θt ϕt e rt interdependentes descre vem a configuracao do sitema Determine o movimento do barra B isto e calcule ϕt e ϕt no instante em que θ 60o sabendo que θ ω e θ 0 Figura Exemplo 63 111 145 Considere uma partícula P que se move em um referencial R A trajetória λ descrita pela partícula em R é caracterizada pelo vetor posição pt da partícula em relação a um ponto O fixo em R Seja P0 a posição acupada pela partícula no instante t0 o comprimento s ao longo de λ entre P0 e P é dado por s P0P ds p0p dp 178 onde dp é a diferencial do vetor posição p no referencial R Unitario tangente A direcao da reta tangente a trajetoria λ no ponto P e dada pela unitario tangente nt definido por nt dp dp dp ds p s 179 De posse destes elementos o vetor velocidade absoluta da partıcula Rv P p 180 pode ser escrito como Rv P snt 181 Observase portanto que a velocidade de P em R e sempre tangente a trajetoria como esperado e seu modulo e v s 182 113 145 Exemplo 73 Um cursor C movese ao longo da guia B segunda a funcao rt r0 ut 183 onde u e uma velocidade cons tante enquanto a guia move se com velocidade angular simples de modulo constante ω em relacao ao suporte A ver figura ao lado Calcular o vetor velocidade do cursor C em relacao ao referencial A e explicitar os fatores s e nt Figura Exemplo 73 114 145 Adotando a base bj fixa em B o vetor posicao de C com respeito ao pivˆo O e pCO rtb1 184 Assim a velocidade do cursor em A sera Av C rb1 r b1 rb1 rωb2 ub1 rωb2 Figura Exemplo 73 115 145 Assim a derivada do deslocamento da partícula sobre a trajetória é em cada instante de tempo ȧ v u2 r2 ω2 185 e o unitário tangente a trajetória pode ser escrito como nt 1ā A vC 186 1ā u b1 r ω b2 187 Unitario normal Sejam P1 e P2 duas posicoes infinitesimalmente proxima a P Os trˆes pontos definem portanto um plano denominado plano osculador que contem localmente a curva λ Os trˆes pontos definem tambem uma circunferˆencia de centro C e raio ρ contida no plano osculador figura Figura Unitario normal 117 145 O arco infinitesimal ds e o ˆangulo infinitesimal dϕ estao relacionados por ds ρdϕ 188 A taxa κ dϕ ds 1 ρ 189 e denominada curvatura da trajetoria no ponto Note que como nt tem modulo constante sua variacao dnt e normal a direcao tangente a trajetoria Seja entao nn o unitario na direcao definida por dnt Podese verificar que a diferencial do unitario tangente dnt e orientada para o centro de curvatura da trajetoria C e atende a relacao dnt dϕnn 190 118 145 Assim da relacao dnt dϕnn 191 segue que a derivada do unitario tangente com respeito ao tempo em R e d dt nt ϕnn 192 e sua derivada com respeito ao parˆametro s e d ds nt κnn 193 O vetor unitario normal nn e denominado normal principal da trajetoria no ponto 119 145 De posse destes elementos podemos computar o vetor aceleracao da partıcula P no referencial R RaP R v P Rd dt snt 194 snt s Rd dt nt 195 snt s ϕnn 196 Como ϕ sρ vem RaP snt s2 ρ nn 197 Por fim como s v segue RaP snt v2 ρ nn 198 120 145 Exemplo 75 Voltando ao exemplo 73 a aceleração do cursor C no referencial A será aAC fracdAdtu mathbfb1 r omega mathbfb2 dotu mathbfb1 dotr omega mathbfb2 r omega dotmathbfb2 2 u omega mathbfb2 r omega2 mathbfb1 Sabendo que v dots sqrtu2 r2 omega2 temse que mathbfat ddots mathbfnt frac12 u2 r2 omega212 2 r dotr omega2 mathbfnt Figura Exemplo 73 Assim at ruω2 s nt como nt 1 s ub1 rωb2 at ruω2 s2 ub1 rωb2 De posse de AaC e at escreva an Figura Exemplo 73 122 145 Dinˆamica da Partıcula de Sistemas e Corpos Rıgidos Seja P uma partıcula de massa m que se move segundo uma trajetoria λ em dado referen cial R Considere ainda um ponto Q movel e um ponto O fixo em R Sejam p q e pPQ os vetores posicao de P e Q com respeito a O e de P com respeito a Q respectivamente Rv P p 199 Rv PQ p q 200 RaP p 201 RaP p q 202 Figura Propriedades dinˆamicas da partıcula 123 145 O vetor quantidade de mo vimento de P em R e dado por RG P m Rv P 203 A derivada temporal em R do vetor quantidade de movi mento admitindo massa cons tante e dada por R G P m RaP 204 Figura Propriedades dinˆamicas da partıcula 124 145 O vetor quantidade de movimento angular de P com respeito a Q em R e definido como RHPQ pPQ RG P 205 pPQ m Rv P 206 A derivada temporal em R do vetor quantidade de movimento angular sera R H PQ pPQ m RaP Rv Q m Rv P 207 Se Q O com O fixo em R temse RHPO p RG P 208 p m Rv P 209 e a derivada temporal em R sera R H PO p m RaP 210 125 145 A quantidade de movimeto angular de uma partıcula P com respeito a um eixo E em R sera RHPE RHPO nn p m Rv P nn onde n e o vetor unitario na direcao do eixo E Se o eixo E for fixo em R a derivada tem poral em R da quantidade de movimento angular de P com respeito ao eixo E sera R H PE p m RaP nn Figura Quantidade de movimento angular com respeito a um eixo E 126 145 A energia cinetica de uma partıcula P em um referencial R e definida pela expressao RK P 1 2m Rv P Rv P 211 E interessante observar que projetandose a derivada da quantidade de movimento na direcao do movimento da partıcula isto e R G P dp m RaP dp 212 m Rd dt Rv P dp 213 md Rv P Rd dt p 214 m Rv P d Rv P 215 e integrando ao longo da trajetotia desenvolvida obtemse 127 145 e integrando ao longo da trajetótia desenvolvida obtémse int m mathbfaRP cdot dmathbfp int m mathbfvRP cdot d mathbfvRP 216 frac12 m mathbfvRP cdot mathbfvRP C 217 onde C é uma constante que depende das condições iniciais do movimento de P O disco D gira em torno do eixo vertical x3 em relacao ao refe rencial R com velocidade angular simples de modulo constante ω O cursor P de massa m desliza livremente sobre a guia diametral e o pino Q esta fixo em D ver Figura 1 Calcule Dv Q Dv P Rv Q Rv P DaP RaP DG P RG P e por fim D G P R G P 2 Calcule DHPQ RHPQ R H PQ RHPO e R H PO 3 Calule DK P e RK P Figura Exemplo 11 129 145 Exemplo 21 A figura ilustra um tubo curvo B com eixo em forma de quarto de cırculo que gira em torno do eixo vertical z em relacao ao referencial A suposto inercial com velocidade angular simples de modulo constante ω no sentido in dicado Uma pequena esfera P de massa m esta deslizando com atrito desprezıvel no interior do tubo sob acao do seu peso mg e da forca F exercida no contato interno com o tubo A base nj com n1 orientado de O para P e n3 ortogonal ao plano que contem o eixo do tubo e a base bj fixa em B com b1 paralelo ao eixo z e b3 n3 estao indicadas na Figura 1 Montar as equacoes de movimento 2 Utilizando integracao numerica obtenha expressoes para as reacoes F1 e F3 Figura Exemplo 21 130 145 Exemplo 21 Considere uma pe quena esfera P de massa m sus pensa por meio de um cabo leve de comprimento r a ponto Q fixo em um referencial inercial R A esfera e afastada da posicao vertical sendo lhe dada uma velocidade inicial de modulo v horizontal na direcao indi cada A base ortonormal nj esta fixa em R ao passo que a base bj esta fixa em um referencial B que contem os ponto P Q e O e que se move em relacao a R com velocidade angular simples RωB ϕn3 Calcule o va lor de v de modo que P permaneca em movimento circular uniforme no plano horizontal Figura Exemplo 21 131 145 As forcas atuantes em P sao seu peso e a tracao T exercida pelo cabo A resultante e entao dada por R Tsenθb1 Tcosθ mgb3 218 A aceleracao de P em R e verifique RaP rθcosθ θ2senθ ϕ2senθb1 219 rϕsenθ 2 ϕ θcosθb2 220 rθsenθ θ2cosθb3 221 Assim as equacoes de movimento serao θcosθ θ2 ϕ2senθ 1 mr Tsenθ 222 ϕsenθ 2 ϕ θcosθ 0 223 θsenθ θ2cosθ 1 mr Tcosθ g r 224 132 145 Para que o movimento seja circular uniforme no plano horizontal devese ter θt constante para todo t Assim ϕ2 T mr 225 ϕ 0 226 T mg cosθ 227 Portanto integrando 226 temse finalmente ϕ v rsenθt 228 133 145 Exemplo 31 O disco D gira em torno do eixo vertical x3 em relacao ao referencial R com velocidade angular simples de modulo constante ω O cur sor P de massa m desliza livre mente sobre a guia diametral com atrito desprezıvel e o pino Q esta fixo em D Supondo que o cur sor e abandonado em repouso na posicao x0 r4 no instante ini cial determinar o movimento de P em relacao a D isto e deter minar xt e a forca de contato horizontal H que o disco exerce no cursor Suponha R inercial e que o movimento e plano Figura Exemplo 31 134 145 Exemplo 32 Considere um pˆendulo P de massa m e com primento r cujo suporte C pode deslizar sobre uma guia horizon tal fixa em um referencial iner cial R O suporte movese com aceleracao prescrita constante a no sentido indicado O pˆendulo e abandonado na posicao hori zontal em repouco em relacao ao suporte Determinar o valor da tracao no cabo em funcao da posicao angular θ Figura Exemplo 32 135 145 A quantidade de movimento angular pode ser utilizada para fornecer um sistema de equacoes de movimento alternativo que pode ser util em alguns casos Para ver isto vamos substituir a utilizacao da resultante R do sistema pelo momento resultante do sistema com relacao a algum ponto fixo em R Seja entao uma partıcula P de massa que se move em um referencial inercial R sob a acao de um sistema de forcas F cuja resultante e R e o momento resultante e MFO Figura Figura 41 136 145 Da segunda lei de Newton R R G P 229 segue que p R p R G P 230 Como o sistema de forcas e concorrente segue que MFO R H P 231 para algum ponto O fixo em R 137 145 Exemplo 41 Considere um pe queno botao B de massa m que se move em uma trajetoria circu lar em relacao a um ponto O so bre o plano inclinado conforme indicado Montar as equacoes do sistema sem desprezar o atrito entre o botao e o plano Figura Exemplo 41 138 145 Trabalho e Potenciais Considere uma partícula P que se move segundo uma trajetória descrita pela curva lambda em relação a um referencial R Considere P1 e P2 dois pontos da trajetória de P fixos em R cujas posições com respeito a O são dadas por mathbfp1 e mathbfp2 respectivamente Se mathbfu é um vetor vinculado a P denominase atuação de mathbfu sobre P entre os pontos P1 e P2 em R o escalar definido por R mathcalAu12 intmathbfp1mathbfp2 mathbfu cdot R dmathbfp 232 Figura Figura 51 Trabalho e Potenciais Se F é uma força vinculada a P a atuação de F sobre P entre os pontos P1 e P2 dada por é chamado trabalho de F em R entre os pontos O trabalho de uma força é um escalar podendo resultar positivo negativo ou nulo cuja dimensão física é ML2T2 Figura Figura 51 Trabalho e Potenciais Se um sistema simples de forças F de resultante R atua sobre um ponto P definese o trabalho resultante como o somatório dos trabalhos das forças componentes isto é O trabalho resultante de um sistema simples é igual ao trabalho da força resultante De fato Exemplo 51 O cursor C pode deslizar sem atrito ao longo da guia horizontal fixa ao suporte S no ponto O e esta sendo puxado por um fio leve no plano horizon tal passante por uma roldana de eixo movel ao qual e aplicada uma forca de modulo constante F Calcular o trabalho do sis tema de forcas que atua sobre o cursor entre os pontos A e O Figura Exemplo 51 142 145 A posição de P com respeito a O é pcO y n2 241 A força F pode ser escrita como F F senθ n1 F cosθ n2 242 onde cosθ y sqrta2 y2 e senθ a sqrta2 y2 O trabalho dessa força entre os ponto A e O no referencial S é dado por s TFAO pA to pO F s dp b to 0 F senθ n1 F cosθ n2 dy n2 Figura Exemplo 51 A posição de P com respeito a O é A força F pode ser escrita como onde O trabalho dessa força entre os ponto A e O no referencial S é dado por Figura Exemplo 51 s TFAO F b to 0 cosθ dy F b to 0 y sqrta2 y2 dy F sqrta2 b2 a