Lista de Exercícios Resolvidos - Mecânica Quântica e Física Moderna

Instituto PolitécnicoUFRJ Física 4 3 Mecânica Quântica prof Raphael Púpio 20231 Todo o material contido neste documento não possui propósito comercial contém material original assim como material adaptado e compilado de várias fontes Questão 1 As partes móveis de um relógio de pulso são bastante pequenas Porém podese fazer algumas estimativas razoáveis dos valores de alguns parâmetros físicos que caracterizem um relógio de pulso típico Mostrar comparando o momento angular de um dos ponteiros com a constante de Planck que a mecânica quântica não tem nada a ver com a arte da relojoaria Questão 2 Considere um circuito elétrico simples que consiste num capacitor de 100 pF e uma indutor de 01 mH Admita que o circuito oscila de maneira que a tensão máxima aplicada à capacitância é de 1 mV Tente encontrar uma quantidade física natural com dimensões físicas de h Js e calcule esta quantidade com o fim de comparála com a constante de Planck Questão 3 A densidade de energia da radiação do corpo negro é dada por η fλTdλ fλT 8πhcλ⁵ ehcλkT 1 onde fλT é a função dada pela fórmula de Planck Fazer a mudança de variável x hcλkT e mostrar que a densidade de energia pode ser escrita como η kT hc4 8πhc 0 x³ ex 1 dx αT⁴ onde α é uma constante independente de T Isto mostra que a densidade de energia na radiação do corpo negro é proporcional a T⁴ Questão 4 A antena de uma estação de rádio emite radiação com uma frequência de 1 Hz e uma potência de 1 kW Qual é o número correspondente de fótons emitidos por segundo O valor deste número explica porque a natureza quântica da radiação eletromagnética não seja apreciável no mundo macroscópico quando estudamos a radiação emitida pelas antenas Questão 5 Este problema visa a calcular o retardo de tempo que se pode esperar classicamente mas que não se observa no efeito fotoelétrico Seja 001 Wm² a intensidade da radiação incidente Se a área do átomo for 001 nm² qual a energia que incide por segundo no átomo Se a função trabalho for 2 eV quanto tempo seria necessário para que esta quantidade de energia atingisse classicamente um certo átomo Questão 6 Um elétron e um pósitron estão em movimento um contra o outro com velocidades iguais a 310⁶ ms As duas partículas se aniquilam na colisão e formam dois fótons de mesma energia a Quais os comprimentos de onda de de Broglie do elétron e do pósitron Achar b a energia c o momento e d o comprimento de onda de cada fóton Questão 7 A frequência de revolução de um elétron numa órbita circular de raio r é frev v2πr onde v é a velocidade a Mostrar que no nésimo estado estacionário frev k²Z²e⁴m 2πħ³ 1n³ b Mostrar que quando n₁ n e n₂ n 1 e n for muito maior do que 1 1n₂² 1n₁² 2n³ c Usar o resultado do item b com o fim de mostrar que neste caso a frequência da radiação emitida é igual a frequência do movimento Este resultado é um exemplo do princípio de correspondência de Bohr quando n for muito grande de modo que a diferença de energia entre os níveis adjacentes é uma pequena fração da energia total coincidem os resultados dos cálculos pela física clássica e pela física quântica Questão 8 Descreva as condições de quantização de Bohr em termos da teoria ondulatória demonstre que um elétron num átomo de hidrogênio pode se mover somente ao longo de órbitas fechadas na qual é possível acomodar um número inteiro de ondas de de Broglie Questão 9 A energia de ligação de um elétron é a energia mínima necessária para remover o elétron de seu estado fundamental e leválo para um sítio muito afastado do núcleo a Qual a energia de ligação no átomo de hidrogênio b Qual a energia de ligação do He c Qual a energia de ligação do Li² Questão 10 A energia cinética de rotação de uma molécula diatômica pode ser escrita como K L²2I onde L é o momento angular e I o momento de inércia a Admitindo que o momento angular seja quantizado como no modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio mostrar que a energia é dada por Kn n²K₁ onde K₁ ħ²2I b Desenhar o diagrama de níveis de energia desta molécula c Estimar K₁ para a molécula de hidrogênio admitindo que a separação entre os átomos é igual a 01 nm e considerando que a rotação em torno de um eixo que passa pelo centro de massa e é perpendicular à reta suporte dos dois átomos Exprimir a resposta em elétronsvolt d Quando K₁ for maior que kBT onde kB é a constante de Boltzmann as colisões moleculares não provocam rotações e então a energia de rotação não contribui para a energia interna do gás Usar o resultado conseguido na parte c para achar a temperatura crítica Tc K₁kB Questão 11 Um elétron livre estava inicialmente confinado dentro de uma região cuja dimensão linear era de σx 001 nm Use o princípio de incerteza para calcular o tempo no qual a largura do pacote de ondas correspondente se torna 10 vezes mais largo Questão 12 Uma partícula de massa m se move em uma dimensão sob ação de uma energia potencial Ux mω²x²2 oscilador harmônico Use o princípio de incerteza com o fim de calcular a mínima energia permitida para uma partícula confinada nesse potencial Confronte sua estimativa com a resposta do item e da Questão 20 Questão 13 Usando apenas o princípio de incerteza e a equação de Schrodinger para um potencial de Coulomb estime a a mínima energia de um elétron ligado num átomo de hidrogênio e b sua distância aparente em relação ao núcleo Confronte as suas respostas com aquelas obtidas no item a da Questão 9 e item c da Questão 21 Questão 14 Um elétron está confinado num poço de potencial infinito para o qual Vx x 0 0 0 x L x L A largura do poço igual a L é tal que os níveis de energia são densos a Encontre a densidade de níveis de energia dNdE isto é o número de níveis por intervalo unitário de energia como função de E b Calcule dNdE para E 10 eV se L 10 cm Questão 15 Um elétron está confinado dentro de uma camada delgada num semicondutor Tratandoa como uma lâmina delgada de espessura a entre paredes impenetráveis energia potencial da Questão 10 Faça uma estimativa de a sabendo que a diferença de energia entre o estado fundamental e o primeiro estado excitado é de 005 eV Questão 16 Considere uma partícula de massa m confinada numa caixa unidimensional de comprimento L centrado na origem de tal modo que as extremidades estão em x L2 a Mostre que as funções de onda são dadas por ψnx 2L cos nπx L n1357 e ψnx 2L sen nπx L n2468 b Mostre que para quaisquer autofunções ψnx e ψmx se tem dx ψnx ψmx 0 c Escreva as autofunções de energia Ψnxt ψnxeⁱEⁿtħ d Calcule x e x² para o estado fundamental n1 e Determine σx xx² x²x² para o estado fundamental Questão 17 Considere uma partícula de massa m e energia E 2V₀ que se move na direção positiva do eixo x onde a energia potencial é uma função degrau Vx 0 x 0 V₀ x 0 a Determine a probabilidade de reflexão R b Determine a probabilidade de transmissão T c Se um milhão de partículas que estão na região x 0 e que se deslocam na direção poritiva do eixo x incidirem sobre o degrau de potencial em x 0 quantas destas partículas continuarão a se mover na direção de x positivo Questão 18 Uma partícula se move na direção positiva do eixo x com energia E V₀ rumo a uma barreira de potencial Vx 0 x 0 V₀ 0 x L 0 x L a Determine a probabilidade de reflexão R b Determine a probabilidade de transmissão T c Se um bilhão de partículas que estão na região x 0 e que se deslocam na direção positiva do eixo x incidirem sobre a barreira em x 0 quantas destas partículas continuarão a se mover na direção de x positivo Questão 19 Uma partícula se encontra confinada numa caixa com paredes impenetráveis de largura L Para t 0 ela se encontra com certeza na metade direita da caixa havendo igual probabilidade de ser encontrada em qualquer ponto dessa metade a Obtenha uma função de onda inicial que descreva essa partícula b Qual é a probabilidade de que uma medida da energia para t 0 encontrea no estado fundamental Questão 20 Numa região do espaço uma partícula tem a função de onda dada por ψx Aeˣ²2L² e a energia é ħ²2mL² onde L é um comprimento e A uma constante a Determine a energia potencial em função de x e faça o gráfico de Ux b Qual é o potencial clássico correspondente c Determine a energia cinética em função de x d Mostre que x L é o ponto clássico de reversão e A energia potencial de um oscilador harmônico simples é U ½mω²x² compare esta expressão com a resposta do item a e mostre que a energia total desta função de onda pode ser escrita como E ½ħω Questão 21 A função de onda do estado fundamental do átomo de H é ψ₁₀₀r C₁₀₀ eZr a₀ onde a₀ ħ²mek e² é o primeiro raio de Bohr e C₁₀₀ é a constante de normalização a Verifique que a constante de normalização é dada por C₁₀₀ 1π Z a₀³² b Mostre que a densidade de probabilidade radial é a seguinte Pr 4 Z a₀³ r² e²Zr a₀ c Esboce um gráfico de Pr indicando o valor em que essa probabilidade é máxima d Calcule o valor esperado da distância do elétron ao núcleo resp r ³₂a₀ Questão 22 A solução mais simples com nodos da equação de Schrodinger para autoestados s do átomo de hidrogênio é da forma φr Ar B expκr a Procure uma solução dessa forma b Mostre que o nível de energia correspondente estado 2s é idêntico ao primeiro estado excitado na teoria de Bohr