Slides - Colisões Relativísticas

Centro: Centro de Ciências Matemáticas e da Natureza (CCMN). Unidade: Instituto de Física. Curso: FÍSICA IV-A Colisões Relativísticas • Transformação de Lorentz para o vetor momento linear e a energia total; • Colisão Elástica de duas partículas; • Colisão perfeitamente inelástica entre duas partículas. Colisões Relativísticas • Transformação de Lorentz para o vetor momento linear e a energia total; • Colisão Elástica de duas partículas; • Colisão perfeitamente inelástica entre duas partículas. Colisões Relativísticas A Relatividade Restrita impõe uma nova relação entre a inércia (massa de repouso) e a energia interna de um corpo. Em relatividade, novos aspectos de “colisões" entre corpos podem ser obtidos. Colisões Relativísticas Considere uma colisão entre dois corpos relativísticos conforme mostra a figura (antes do choque). Dois corpos se movem ao longo de uma mesma linha. A condição para o contato entre as duas partículas é v1 > v2 (considerando as possibilidades de sinal). m1 v1 v2 m2 O resultado dessa colisão pode ser simplificado com uma escolha adequado do referencial inercial. Vamos definir dois referenciais em particular. Colisões Relativísticas Referencial L: o referencial inercial L é construído de forma que uma das partículas (partícula alvo) se encontra em repouso antes da colisão. m1 v1 v2 m2 R1 O resultado dessa colisão pode ser simplificado com uma escolha adequado do referencial inercial. Vamos definir dois referenciais em particular. Colisões Relativísticas Referencial L: o referencial inercial L é construído de forma que uma das partículas (partícula alvo) se encontra em repouso antes da colisão. m1 v1 v2 m2 R1 RL u = v2 O resultado dessa colisão pode ser simplificado com uma escolha adequado do referencial inercial. Vamos definir dois referenciais em particular. Colisões Relativísticas Referencial L: o referencial inercial L é construído de forma que uma das partículas (partícula alvo) se encontra em repouso antes da colisão. m1 v1 v2 m2 R1 RL u = v2 RL m2 m1 Referencial L v(L) 1 O resultado dessa colisão pode ser simplificado com uma escolha adequado do referencial inercial. Vamos definir dois referenciais em particular. Colisões Relativísticas Referencial P: o referencial inercial P é construído de forma que o momento linear total do sistema é NULO. m1 v1 v2 m2 R1 O resultado dessa colisão pode ser simplificado com uma escolha adequado do referencial inercial. Vamos definir dois referenciais em particular. Colisões Relativísticas Referencial P: o referencial inercial P é construído de forma que o momento linear total do sistema é NULO. m1 v1 v2 m2 R1 RP u =? O resultado dessa colisão pode ser simplificado com uma escolha adequado do referencial inercial. Vamos definir dois referenciais em particular. Colisões Relativísticas Referencial P: o referencial inercial P é construído de forma que o momento linear total do sistema é NULO. m1 v1 v2 m2 R1 m2 m1 Referencial P RP RP u =? v(P ) 1 v(P ) 2 As colisões, bem como os processos dinâmicos em sistemas isolados, ocorrem preservando a conservação da energia total e do momento linear total. Colisões Relativísticas Portanto, faz-se necessário determinar como as componentes do vetor momento linear e a energia total se transforma. Considere um corpo de energia total E e momento linear em relação ao referencial inercial S: ~p = m~v q 1 − |~v|2 c2 E = mc2 q 1 − |~v|2 c2 As colisões, bem como os processos dinâmicos em sistemas isolados, ocorrem preservando a conservação da energia total e do momento linear total. Colisões Relativísticas Portanto, faz-se necessário determinar como as componentes do vetor momento linear e a energia total se transforma. Considere um corpo de energia total E e momento linear em relação ao referencial inercial S: px = mvx q 1 − |~v|2 c2 ~p = m~v q 1 − |~v|2 c2 py = mvy q 1 − |~v|2 c2 pz = mvz q 1 − |~v|2 c2 { E = mc2 q 1 − |~v|2 c2 Colisdes Relativisticas A relagdo entre a velocidade do corpo em relacdo aos referencial S e S' é dada em termos da transformacdo de Lorentz para a velocidade: t= y(t’ +ua'/c*) r= y(a' + ut’) y=y z= 2’ Colisdes Relativisticas A relagdo entre a velocidade do corpo em relacdo aos referencial S e S' é dada em termos da transformacdo de Lorentz para a velocidade: vi tu _ / / 7/2 _ XL x= (a + ut’) Vy — Vy = + oy 1+ UU, og y=Yy 1( i. /[c*) _ ,/ a “= “7 y(1 + uv’, /c?) e Ad e 7 e Colisoes Relativisticas A relagdo entre a velocidade do corpo em relacdo aos referencial S e S' é dada em termos da transformacdo de Lorentz para a velocidade: / __ / /7/_2 __ Uy T U x= (a + ut’) Vy — Vy = ———————— yoy 0 + wt 2) LI U, = ee “=~ “ 9(1 + url, /c?) Como o momento linear e a energia total podem ser escritos como funcdo da velocidade e da massa de repouso, essas leis de transformacdo sdo suficientes para determinar como o momento @ a energia se transformam e se relacionam em diferentes referenciais inerciais. Um resultado preliminar entre a velocidade de um corpo em relação aos referenciais S e S’ é: Colisões Relativísticas 1 − |~v|2 c2 = 1 − v2 x + v2 y + v2 z c2 Um resultado preliminar entre a velocidade de um corpo em relação aos referenciais S e S’ é: Colisões Relativísticas 1 − |~v|2 c2 = 1 − v2 x + v2 y + v2 z c2 = 1 − 1 c2 "✓ v0 x + u 1 + uv0x/c2 ◆2 + ✓ v0 y γ(1 + uv0x/c2) ◆2 + ✓ v0 z γ(1 + uv0x/c2) ◆2# Um resultado preliminar entre a velocidade de um corpo em relação aos referenciais S e S’ é: Colisões Relativísticas 1 − |~v|2 c2 = 1 − v2 x + v2 y + v2 z c2 = 1 − 1 c2 "✓ v0 x + u 1 + uv0x/c2 ◆2 + ✓ v0 y γ(1 + uv0x/c2) ◆2 + ✓ v0 z γ(1 + uv0x/c2) ◆2# = 1 γ2(1 + uv0x/c2)2 ✓ 1 − |~v0|2 c2 ◆ Um resultado preliminar entre a velocidade de um corpo em relação aos referenciais S e S’ é: Colisões Relativísticas 1 − |~v|2 c2 = 1 − v2 x + v2 y + v2 z c2 = 1 − 1 c2 "✓ v0 x + u 1 + uv0x/c2 ◆2 + ✓ v0 y γ(1 + uv0x/c2) ◆2 + ✓ v0 z γ(1 + uv0x/c2) ◆2# = 1 γ2(1 + uv0x/c2)2 ✓ 1 − |~v0|2 c2 ◆ ✓ 1 − |~v|2 c2 ◆ = 1 γ2(1 + uv0x/c2)2 ✓ 1 − |~v0|2 c2 ◆ A energia total se transforma através da igualdade: Colisões Relativísticas E = mc2 q 1 − |~v|2 c2 = γ ✓ 1 + uv0 x c2 ◆ mc2 p 1 − |~v0|2/c2 A energia total se comporta da mesma forma que a variável temporal na transformação de Lorentz para as coordenadas: E = γ (E0 + u p0 x) A energia total se transforma através da igualdade: Colisões Relativísticas E = mc2 q 1 − |~v|2 c2 = γ ✓ 1 + uv0 x c2 ◆ mc2 p 1 − |~v0|2/c2 A energia total se comporta da mesma forma que a variável temporal na transformação de Lorentz para as coordenadas: E = γ (E0 + u p0 x) Enquanto as componentes cartesianas do momento linear se transforma da mesma forma que as coordenadas espaciais: px = mvx q 1 − |~v|2 c2 A energia total se transforma através da igualdade: Colisões Relativísticas E = mc2 q 1 − |~v|2 c2 = γ ✓ 1 + uv0 x c2 ◆ mc2 p 1 − |~v0|2/c2 A energia total se comporta da mesma forma que a variável temporal na transformação de Lorentz para as coordenadas: E = γ (E0 + u p0 x) Enquanto as componentes cartesianas do momento linear se transforma da mesma forma que as coordenadas espaciais: px = mvx q 1 − |~v|2 c2 = γ c2 (E0 + u p0 x) v0 x + u 1 + uv0x/c2 A energia total se transforma através da igualdade: Colisões Relativísticas E = mc2 q 1 − |~v|2 c2 = γ ✓ 1 + uv0 x c2 ◆ mc2 p 1 − |~v0|2/c2 A energia total se comporta da mesma forma que a variável temporal na transformação de Lorentz para as coordenadas: E = γ (E0 + u p0 x) Enquanto as componentes cartesianas do momento linear se transforma da mesma forma que as coordenadas espaciais: px = mvx q 1 − |~v|2 c2 = γ c2 (E0 + u p0 x) v0 x + u 1 + uv0x/c2 = γ ⇣ p0 x + u c2 E0⌘ As outras componentes do momento linear ficam Colisões Relativísticas py = mvy q 1 − |~v|2 c2 = γ c2 (E0 + u p0 x) v0 y γ(1 + uv0x/c2) As outras componentes do momento linear ficam Colisões Relativísticas py = mvy q 1 − |~v|2 c2 = γ c2 (E0 + u p0 x) v0 y γ(1 + uv0x/c2) = p0 y As outras componentes do momento linear ficam Colisões Relativísticas py = mvy q 1 − |~v|2 c2 = γ c2 (E0 + u p0 x) v0 y γ(1 + uv0x/c2) = p0 y pz = mvz q 1 − |~v|2 c2 = γ c2 (E0 + u p0 x) v0 z γ(1 + uv0x/c2) = p0 z As outras componentes do momento linear ficam Colisões Relativísticas py = mvy q 1 − |~v|2 c2 = γ c2 (E0 + u p0 x) v0 y γ(1 + uv0x/c2) = p0 y pz = mvz q 1 − |~v|2 c2 = γ c2 (E0 + u p0 x) v0 z γ(1 + uv0x/c2) = p0 z A transformação de Lorentz para o momento e energia é: E = γ (E0 + u p0 x) px = γ ⇣ p0 x + u c2 E0⌘ py = p0 y pz = p0 z As outras componentes do momento linear ficam Colisões Relativísticas py = mvy q 1 − |~v|2 c2 = γ c2 (E0 + u p0 x) v0 y γ(1 + uv0x/c2) = p0 y pz = mvz q 1 − |~v|2 c2 = γ c2 (E0 + u p0 x) v0 z γ(1 + uv0x/c2) = p0 z A transformação de Lorentz para o momento e energia é: E = γ (E0 + u p0 x) px = γ ⇣ p0 x + u c2 E0⌘ py = p0 y pz = p0 z E0 = γ (E − u px) p0 x = γ ⇣ px − u c2 E ⌘ p0 y = py p0 z = pz Exemplo: Em relação a um referencial inercial, uma partícula em repouso possui energia E'. Se, para um outro referencial inercial, essa partícula possui energia total 10E’, determine o módulo do momento linear dessa partícula nesse referencial. Colisões Relativísticas Exemplo: Em relação a um referencial inercial, uma partícula em repouso possui energia E'. Se, para um outro referencial inercial, essa partícula possui energia total 10E’, determine o módulo do momento linear dessa partícula nesse referencial. Colisões Relativísticas E = γ (E0 + u p0 x) Exemplo: Em relação a um referencial inercial, uma partícula em repouso possui energia E'. Se, para um outro referencial inercial, essa partícula possui energia total 10E’, determine o módulo do momento linear dessa partícula nesse referencial. Colisões Relativísticas E = γ (E0 + u p0 x)= γ (E0) Exemplo: Em relação a um referencial inercial, uma partícula em repouso possui energia E'. Se, para um outro referencial inercial, essa partícula possui energia total 10E’, determine o módulo do momento linear dessa partícula nesse referencial. Colisões Relativísticas E = γ (E0 + u p0 x) = γ (E0)= 10E0 Exemplo: Em relação a um referencial inercial, uma partícula em repouso possui energia E'. Se, para um outro referencial inercial, essa partícula possui energia total 10E’, determine o módulo do momento linear dessa partícula nesse referencial. Colisões Relativísticas E = γ (E0 + u p0 x) = 10E0 px = γ ⇣ p0 x + u c2 E0⌘ = γ (E0) Exemplo: Em relação a um referencial inercial, uma partícula em repouso possui energia E'. Se, para um outro referencial inercial, essa partícula possui energia total 10E’, determine o módulo do momento linear dessa partícula nesse referencial. Colisões Relativísticas E = γ (E0 + u p0 x) = 10E0 px = γ ⇣ p0 x + u c2 E0⌘ = γ ⇣ u c2 E0⌘ = γ (E0) Exemplo: Em relação a um referencial inercial, uma partícula em repouso possui energia E'. Se, para um outro referencial inercial, essa partícula possui energia total 10E’, determine o módulo do momento linear dessa partícula nesse referencial. Colisões Relativísticas E = γ (E0 + u p0 x) = 10E0 px = γ ⇣ p0 x + u c2 E0⌘ = γ ⇣ u c2 E0⌘ = γ (E0) = u c2 10E0 Exemplo: Em relação a um referencial inercial, uma partícula em repouso possui energia E'. Se, para um outro referencial inercial, essa partícula possui energia total 10E’, determine o módulo do momento linear dessa partícula nesse referencial. Colisões Relativísticas E = γ (E0 + u p0 x) = 10E0 px = γ ⇣ p0 x + u c2 E0⌘ = γ ⇣ u c2 E0⌘ = γ (E0) = u c2 10E0 γ = 10 Exemplo: Em relação a um referencial inercial, uma partícula em repouso possui energia E'. Se, para um outro referencial inercial, essa partícula possui energia total 10E’, determine o módulo do momento linear dessa partícula nesse referencial. Colisões Relativísticas E = γ (E0 + u p0 x) = 10E0 px = γ ⇣ p0 x + u c2 E0⌘ = γ ⇣ u c2 E0⌘ = γ (E0) = u c2 10E0 γ = 10 ! u = c r 99 100 Exemplo: Em relação a um referencial inercial, uma partícula em repouso possui energia E'. Se, para um outro referencial inercial, essa partícula possui energia total 10E’, determine o módulo do momento linear dessa partícula nesse referencial. Colisões Relativísticas E = γ (E0 + u p0 x) = 10E0 px = γ ⇣ p0 x + u c2 E0⌘ = γ ⇣ u c2 E0⌘ = γ (E0) = u c2 10E0 γ = 10 ! u = c r 99 100 ! px = E0 c p 99 Exemplo: Duas partículas colidem e preservam o momento linear e a energia total (antes e depois da colisão). Mostre que o momento linear e a energia total são conservados em qualquer outro referencial inercial. Colisões Relativísticas Exemplo: Duas partículas colidem e preservam o momento linear e a energia total (antes e depois da colisão). Mostre que o momento linear e a energia total são conservados em qualquer outro referencial inercial. Colisões Relativísticas p1y,a + p2y,a = p1y,d + p2y,d Exemplo: Duas partículas colidem e preservam o momento linear e a energia total (antes e depois da colisão). Mostre que o momento linear e a energia total são conservados em qualquer outro referencial inercial. Colisões Relativísticas p1y,a + p2y,a = p1y,d + p2y,d ! (p10 y,a) + (p20 y,a) = (p10 y,d) + (p20 y,d) Exemplo: Duas partículas colidem e preservam o momento linear e a energia total (antes e depois da colisão). Mostre que o momento linear e a energia total são conservados em qualquer outro referencial inercial. Colisões Relativísticas p1y,a + p2y,a = p1y,d + p2y,d ! (p10 y,a) + (p20 y,a) = (p10 y,d) + (p20 y,d) p1z,a + p2z,a = p1z,d + p2z,d Exemplo: Duas partículas colidem e preservam o momento linear e a energia total (antes e depois da colisão). Mostre que o momento linear e a energia total são conservados em qualquer outro referencial inercial. Colisões Relativísticas p1y,a + p2y,a = p1y,d + p2y,d ! (p10 y,a) + (p20 y,a) = (p10 y,d) + (p20 y,d) p1z,a + p2z,a = p1z,d + p2z,d ! (p10 z,a) + (p20 z,a) = (p10 z,d) + (p20 z,d) Exemplo: Duas partículas colidem e preservam o momento linear e a energia total (antes e depois da colisão). Mostre que o momento linear e a energia total são conservados em qualquer outro referencial inercial. Colisões Relativísticas p1x,a + p2x,a = p1x,d + p2x,d Exemplo: Duas partículas colidem e preservam o momento linear e a energia total (antes e depois da colisão). Mostre que o momento linear e a energia total são conservados em qualquer outro referencial inercial. Colisões Relativísticas p1x,a + p2x,a = p1x,d + p2x,d ⇣ p10 x,a + u c2 E10 a ⌘ + ⇣ p20 x,a + u c2 E20 a ⌘ = ⇣ p10 x,d + u c2 E10 d ⌘ + ⇣ p20 x,d + u c2 E20 d ⌘ Exemplo: Duas partículas colidem e preservam o momento linear e a energia total (antes e depois da colisão). Mostre que o momento linear e a energia total são conservados em qualquer outro referencial inercial. Colisões Relativísticas p1x,a + p2x,a = p1x,d + p2x,d ⇣ p10 x,a + u c2 E10 a ⌘ + ⇣ p20 x,a + u c2 E20 a ⌘ = ⇣ p10 x,d + u c2 E10 d ⌘ + ⇣ p20 x,d + u c2 E20 d ⌘ E1a + E2a = E1d + E2d Colisdes Relativisticas Exemplo: Duas particulas colidem e preservam o momento linear e a energia total (antes e depois da colisdo). Mostre que o momento linear e@ a energia total sdo conservados em qualquer outro referencial inercial. Plea + D220 — Plod + D2x.d (pl _t = E1,) + (p2, it = £2, ) 7 C 7 C / U / / U / = (pla + GEM) + (v2.4 + GE) Al,+ #2, = Flg+ £2, (E1/, + upl, ,) + (£29 + up2;, ,) = (F1j + upl) g) + (£2), + up2;, 4) Exemplo: Duas partículas colidem e preservam o momento linear e a energia total (antes e depois da colisão). Mostre que o momento linear e a energia total são conservados em qualquer outro referencial inercial. Colisões Relativísticas ⇣ p10 x,a + u c2 E10 a ⌘ + ⇣ p20 x,a + u c2 E20 a ⌘ = ⇣ p10 x,d + u c2 E10 d ⌘ + ⇣ p20 x,d + u c2 E20 d ⌘ Colisdes Relativisticas Exemplo: Duas particulas colidem e preservam o momento linear e a energia total (antes e depois da colisdo). Mostre que o momento linear e@ a energia total sdo conservados em qualquer outro referencial inercial. (pl, it = E1,) + (v2, it = £2, ) 7 C 7 C / U / / U / = (Pla + GEM) + (v2.4 + GE) 1 1 2 (Pl ia + P22,a) = 2 (Plea + 24,4) Colisdes Relativisticas Exemplo: Duas particulas colidem e preservam o momento linear e a energia total (antes e depois da colisdo). Mostre que o momento linear e@ a energia total sdo conservados em qualquer outro referencial inercial. (pl, it = E1,) + (v2, it = £2, ) 7 C 7 C = (pl, + EU) + (p2).g + = EY — \Ptoid pad Par d pad 1 / / 1 / / 3B (Pln,a + P20,0) = = (Ploa + Px.) > Dlpag + P22, = Plea + P22,a Colisdes Relativisticas Exemplo: Duas particulas colidem e preservam o momento linear e a energia total (antes e depois da colisdo). Mostre que o momento linear e@ a energia total sdo conservados em qualquer outro referencial inercial. (pl, it = E1,) + (v2, it = £2, ) 7 C 7 C / U / / U / = (Pla + GEM) + (v2.4 + GE) 1 1 33 (Pla. + P22,a) = a (Ploa + P22,a) > Dy + P22, = Plea + P22,4 > Ell + EQ) = E1,+ £2), • Transformação de Lorentz para o vetor momento linear e a energia total; • Colisão Elástica de duas partículas; • Colisão perfeitamente inelástica entre duas partículas. Colisões Relativísticas Colisões Relativísticas Considere uma colisão entre dois corpos relativísticos conforme mostra a figura (antes do choque). Dois corpos se movem ao longo de uma mesma linha antes e depois da colisão. A condição para o contato entre as duas partículas é v1 > v2 (considerando as possibilidades de sinal). m1 v1 v2 m2 Colisões Relativísticas Considere uma colisão entre dois corpos relativísticos conforme mostra a figura (antes do choque). Dois corpos se movem ao longo de uma mesma linha antes e depois da colisão. A condição para o contato entre as duas partículas é v1 > v2 (considerando as possibilidades de sinal). m1 v1 v2 m2 Os valores do momento e energia de “antes” e “depois” da colisão são considerados como assimptóticos, quando a interação entre as partículas pode ser desprezado. Colisões Relativísticas Considere uma colisão entre dois corpos relativísticos conforme mostra a figura (antes do choque). Dois corpos se movem ao longo de uma mesma linha antes e depois da colisão. A condição para o contato entre as duas partículas é v1 > v2 (considerando as possibilidades de sinal). m1 v1 v2 m2 Os valores do momento e energia de “antes” e “depois” da colisão são considerados como assimptóticos, quando a interação entre as partículas pode ser desprezado. Uma colisão é dita elástica se as energias internas das partículas permanecem as mesmas antes e depois da colisão (energia cinética se conserva). Colisões Relativísticas Na colisão elástica com duas partículas, existem ao todo 6 variáveis (uma vez que as massas de repouso permanecem constantes): (m1, m2, v1,a, v2,a, v1,d, v2,d) Colisões Relativísticas Na colisão elástica com duas partículas, existem ao todo 6 variáveis (uma vez que as massas de repouso permanecem constantes): (m1, m2, v1,a, v2,a, v1,d, v2,d) A lei da conservação do momento linear e a lei da conservação da energia total restringem os possíveis valores dessas quantidades. Com seis variáveis e duas equações, existem apenas quatro variáveis independentes. Por isso, um problema de interesse é determinar as velocidades finais dos dois corpos (após a colisão) em função das outras quatro variáveis. Colisões Relativísticas Na colisão elástica com duas partículas, existem ao todo 6 variáveis (uma vez que as massas de repouso permanecem constantes): (m1, m2, v1,a, v2,a, v1,d, v2,d) A lei da conservação do momento linear e a lei da conservação da energia total restringem os possíveis valores dessas quantidades. Com seis variáveis e duas equações, existem apenas quatro variáveis independentes. Por isso, um problema de interesse é determinar as velocidades finais dos dois corpos (após a colisão) em função das outras quatro variáveis. No lugar das velocidades finais, vamos determinar os momentos finais das partículas em função das outras variáveis: (p1d[m1, m2, p1a, p2a]; p2d[m1, m2, p1a, p2a]) Colisões Relativísticas Ao se resolver o problema em um referencial inercial, por uma transformação de Lorentz, a solução da questão é conhecida em quaisquer outros referenciais inerciais. Vamos considerar o referencial L (laboratório) de forma que a partícula da direita está inicialmente em repouso: m1 m2 v Colisões Relativísticas Ao se resolver o problema em um referencial inercial, por uma transformação de Lorentz, a solução da questão é conhecida em quaisquer outros referenciais inerciais. Vamos considerar o referencial L (laboratório) de forma que a partícula da direita está inicialmente em repouso: m1 m2 v As leis de conservação implicam: m1v p 1 − v2/c2 = p = p1 + p2 m1c2 p 1 − v2/c2 + m2c2 = E = q (m1c2)2 + p2 1c2 + q (m2c2)2 + p2 2c2 Colisões Relativísticas O sistema de equações pode ser resolvido após algum esforço. É necessário rearranjar os termos e tirar os fatores com a raiz. Porém, vamos considerar outro maneira através do referencial P. A velocidade u do referencial P em relação ao referencial L é determinado de forma que o momento total do sistema é nulo no referencial P: P 0 = γ p − u c2 m1c2 p 1 − v2/c2 ! + γ ⇣ − u c2 m2c2⌘ = 0 Colisões Relativísticas O sistema de equações pode ser resolvido após algum esforço. É necessário rearranjar os termos e tirar os fatores com a raiz. Porém, vamos considerar outro maneira através do referencial P. A velocidade u do referencial P em relação ao referencial L é determinado de forma que o momento total do sistema é nulo no referencial P: P 0 = γ p − u c2 m1c2 p 1 − v2/c2 ! + γ ⇣ − u c2 m2c2⌘ = 0 ! u = p E/c2 Colisões Relativísticas O sistema de equações pode ser resolvido após algum esforço. É necessário rearranjar os termos e tirar os fatores com a raiz. Porém, vamos considerar outro maneira através do referencial P. A velocidade u do referencial P em relação ao referencial L é determinado de forma que o momento total do sistema é nulo no referencial P: P 0 = γ p − u c2 m1c2 p 1 − v2/c2 ! + γ ⇣ − u c2 m2c2⌘ = 0 ! u = p E/c2 p = m1v p 1 − v2/c2 Colisões Relativísticas O sistema de equações pode ser resolvido após algum esforço. É necessário rearranjar os termos e tirar os fatores com a raiz. Porém, vamos considerar outro maneira através do referencial P. A velocidade u do referencial P em relação ao referencial L é determinado de forma que o momento total do sistema é nulo no referencial P: P 0 = γ p − u c2 m1c2 p 1 − v2/c2 ! + γ ⇣ − u c2 m2c2⌘ = 0 ! u = p E/c2 p = m1v p 1 − v2/c2 E = m1c2 p 1 − v2/c2 + m2c2 Colisões Relativísticas No referencial P, a soma dos momentos lineares é nula (antes e depois da colisão). Portanto, as partículas possuem momento lineares de mesma magnitude mas de sinais diferentes (partículas se movem em sentidos opostos). Para manter a conservação da energia total, após o choque, a única possibilidade é de as partículas continuarem com o mesmo valor do momento linear em magnitude e alternar os sinais (mudam o sentido de propagação)! Colisões Relativísticas No referencial P, a soma dos momentos lineares é nula (antes e depois da colisão). Portanto, as partículas possuem momento lineares de mesma magnitude mas de sinais diferentes (partículas se movem em sentidos opostos). Para manter a conservação da energia total, após o choque, a única possibilidade é de as partículas continuarem com o mesmo valor do momento linear em magnitude e alternar os sinais (mudam o sentido de propagação)! (p(p) 1,a = +p(p) 1,a > 0; p(p) 2,a = −p(p) 1,a < 0) (p(p) 1,d = −p(p) 1,a < 0; p(p) 2,d = +p(p) 1,a > 0) Colisões Relativísticas A relação entre o momento linear da partícula da esquerda antes da colisão para o referencial L e P é através da velocidade u. (p; p(p) 1,a) p(p) 1,a = γ p − u c2 m1c2 p 1 − v2/c2 ! Colisões Relativísticas A relação entre o momento linear da partícula da esquerda antes da colisão para o referencial L e P é através da velocidade u. (p; p(p) 1,a) p(p) 1,a = γ p − u c2 m1c2 p 1 − v2/c2 ! p(p) 1,a = γ m1(v − u) p 1 − v2/c2 Colisões Relativísticas A relação entre o momento linear da partícula da esquerda antes da colisão para o referencial L e P é através da velocidade u. (p; p(p) 1,a) p(p) 1,a = γ p − u c2 m1c2 p 1 − v2/c2 ! p(p) 1,a = γ m1(v − u) p 1 − v2/c2 Essa equação mostra que os valores dos momentos lineares após a colisão podem ser obtidos no referencial L. Colisões Relativísticas Vamos relacionar os momentos lineares de antes e depois da colisão, com as energias totais de cada partícula, para cada um dos referenciais inerciais: RL Antes RL Depois (p2,d; E2,d) (p1,d; E1,d) (p; E1,a) (0; E2,a) Antes RP (p(p) 1,a; E(p) 1,a) (−p(p) 1,a; E(p) 2,a) Depois RP (−p(p) 1,a; E(p) 1,a) (p(p) 1,a; E(p) 2,a) Colisões Relativísticas Aplicando a transformação de Lorentz para o momento e energia para a partícula da direita (2), antes e depois do choque, determinamos: 0 = γ ⇣ −p(p) 1,a + u c2 E(p) 2,a ⌘ p2,d = γ ⇣ p(p) 1,a + u c2 E(p) 2,a ⌘ Colisões Relativísticas Aplicando a transformação de Lorentz para o momento e energia para a partícula da direita (2), antes e depois do choque, determinamos: 0 = γ ⇣ −p(p) 1,a + u c2 E(p) 2,a ⌘ p2,d = γ ⇣ p(p) 1,a + u c2 E(p) 2,a ⌘ O momento da partícula da direita após a colisão se escreve: p2,d = 2γp(p) 1,a p(p) 1,a = γ ⇣ p − u c2 E1,a ⌘ Colisões Relativísticas Aplicando a transformação de Lorentz para o momento e energia para a partícula da direita (2), antes e depois do choque, determinamos: 0 = γ ⇣ −p(p) 1,a + u c2 E(p) 2,a ⌘ p2,d = γ ⇣ p(p) 1,a + u c2 E(p) 2,a ⌘ O momento da partícula da direita após a colisão se escreve: p2,d = 2γp(p) 1,a O trabalho agora é reescrever essa quantidade em função dos dados de antes da colisão. p(p) 1,a = γ ⇣ p − u c2 E1,a ⌘ Colisões Relativísticas O valor do momento da partícula da direita, em relação ao referencial do laboratório fica: p2,d = 2γ2 ⇣ p − u c2 E1,a ⌘ u = p m2 + E1,a/c2 = 2 1 − u2/c2 ⇣ p − u c2 E1,a ⌘ Colisões Relativísticas O valor do momento da partícula da direita, em relação ao referencial do laboratório fica: p2,d = 2γ2 ⇣ p − u c2 E1,a ⌘ u = p m2 + E1,a/c2 = 2 1 − u2/c2 ⇣ p − u c2 E1,a ⌘ Após simplificações naturais, a expressão para o momento linear dessa partícula assume a fórmula: p2,d = 2m2 ⇣ m2 + p m2 1 + p2/c2 ⌘ m2 2 + 2m2 p m2 1 + p2/c2 + m2 1 p Colisdoes Relativisticas O valor do momento da particula da esquerda, em relagdo ao referencial do laboratorio, apos 0 choque é determinado por p-p2: Pi,d — —___(minm) = m2) P ms + 2m2\/m*s + p2/c?2 +m? Colisdes Relativisticas O valor do momento da particula da esquerda, em relagdo ao referencial do laboratorio, apos 0 choque é determinado por p-p2: Pi,d — —___(minm) = m2) P ms + 2m2\/m*s + p2/c?2 +m? 2M (ms + m4 +p /e) P2,d = DO SSO PP ms + 2m2./mi + p?/c? + m4 e Ad e 7 e Colisoes Relativisticas O valor do momento da particula da esquerda, em relagdo ao referencial do laboratorio, apos 0 choque é determinado por p-p2: Pi,d — —___(minm) = m2) P ms + 2m2\/m*s + p2/c?2 +m? 2M (ms + m4 +p /e) P2,.4d = —S>DOOOO ORS PP ms + 2m2./mi + p?/c? + m4 Esse resultado da teoria da relatividade pode ser comparado com o resultado da colisdo eldstica da fisica classica: 2M p Thy — 2 = —— 1d = ——— P2.d mae + ma m2 +My Colisões Relativísticas Exemplo: Duas partículas de massas idênticas colidem elasticamente. Antes da colisão, uma partícula se encontra em repouso enquanto a outra possui momento linear p. Determine os momentos lineares das partículas após a colisão. Colisões Relativísticas Exemplo: Duas partículas de massas idênticas colidem elasticamente. Antes da colisão, uma partícula se encontra em repouso enquanto a outra possui momento linear p. Determine os momentos lineares das partículas após a colisão. Com massas iguais, as partículas apenas trocam o valor do momento linear. Por isso, a partícula em repouso adquire o momento p e a partícula em movimento fica em repouso, após a colisão. Colisões Relativísticas Exemplo: Um feixe luminoso de energia E (momento linear E/c) incide sobre um corpo espelhado em repouso. Determine o momento linear do corpo após a reflexão. Colisões Relativísticas Exemplo: Um feixe luminoso de energia E (momento linear E/c) incide sobre um corpo espelhado em repouso. Determine o momento linear do corpo após a reflexão. As fórmulas anteriores permanecem válidas com m1=0! p2,d = m2c2 + E m2c2 + 2E ✓ 2E c ◆ Colisões Relativísticas Exemplo: Um feixe luminoso de energia E (momento linear E/c) incide sobre um corpo espelhado em repouso. Determine o momento linear do corpo após a reflexão. As fórmulas anteriores permanecem válidas com m1=0! p2,d = m2c2 + E m2c2 + 2E ✓ 2E c ◆ Esse resultado mostra que, quando a superfície espelhada entra em movimento, o momento linear recebido é um pouco menor que 2(E/c) (duas vezes o momento linear do feixe inicial). Isso ocorre uma vez que, quando em movimento, o campo refletido não é idêntico ao incidente. Pode-se entender essa diferença pelo efeito Doppler no feixe refletido. • Transformação de Lorentz para o vetor momento linear e a energia total; • Colisão Elástica de duas partículas; • Colisão perfeitamente inelástica entre duas partículas. Colisões Relativísticas Colisões Relativísticas m1 v1 m2 Uma colisão entre dois corpos é dita ser perfeitamente inelástica se as partículas permanecem juntas após a colisão. Nessa colisão, para as partículas ficarem ligadas, é necessário que a energia interna mude de valor. De fato, parte da energia cinética inicial é convertida em energia interna (capaz de manter a estabilidade da nova partícula). De forma que a massa de repouso da nova partícula é maior que a soma das massas das partículas anteriores. Na colisão perfeitamente inelástica com duas partículas ao longo de uma direção, existem ao todo 6 variáveis: Colisões Relativísticas (m1, m2, M, v1,a, v2,a, vd) Na colisão perfeitamente inelástica com duas partículas ao longo de uma direção, existem ao todo 6 variáveis: A lei da conservação do momento linear e a lei da conservação da energia total restringem os possíveis valores dessas quantidades. Com seis variáveis e duas equações, existem apenas quatro variáveis independentes. Por isso, um problema de interesse é determinar a velocidade final do novo corpo e a nova massa do mesmo (após a colisão) em função das outras quatro variáveis. Colisões Relativísticas (m1, m2, M, v1,a, v2,a, vd) [M(m1, m2, v1,a, v2,a); vd(m1, m2, v1,a, v2,a)] Colisões Relativísticas Vamos relacionar os momentos lineares de antes e depois da colisão, com as energias totais de cada partícula, para cada um dos referenciais inerciais L e P: RL Antes RL Depois (p; E1,a) (0; E2,a) Antes RP (p(p) 1,a; E(p) 1,a) (−p(p) 1,a; E(p) 2,a) Depois RP (0, Mc2) (p, EL) Colisões Relativísticas As soluções em cada referencial inercial não são muito complicadas e podem ser deduzidas diretamente através das leis de conservação do momento linear e da energia total. Colisões Relativísticas As soluções em cada referencial inercial não são muito complicadas e podem ser deduzidas diretamente através das leis de conservação do momento linear e da energia total. Como a conexão entre os referenciais L e P é idêntica ao da colisão elástica. Vamos usar essas mesmas relações. No referencial inercial P, o valor da massa de repouso da nova partícula é obtida pela conservação da energia (toda a energia cinética é convertida em massa). Mc2 = E(p) 1,a + E(p) 2,a Colisões Relativísticas As soluções em cada referencial inercial não são muito complicadas e podem ser deduzidas diretamente através das leis de conservação do momento linear e da energia total. Como a conexão entre os referenciais L e P é idêntica ao da colisão elástica. Vamos usar essas mesmas relações. No referencial inercial P, o valor da massa de repouso da nova partícula é obtida pela conservação da energia (toda a energia cinética é convertida em massa). Mc2 = E(p) 1,a + E(p) 2,a E(p) 2,a = γE2,a u = p m2 + E1,a/c2 E(p) 1,a = γ (E1,a − up) Colisões Relativísticas As soluções em cada referencial inercial não são muito complicadas e podem ser deduzidas diretamente através das leis de conservação do momento linear e da energia total. Como a conexão entre os referenciais L e P é idêntica ao da colisão elástica. Vamos usar essas mesmas relações. No referencial inercial P, o valor da massa de repouso da nova partícula é obtida pela conservação da energia (toda a energia cinética é convertida em massa). Mc2 = E(p) 1,a + E(p) 2,a E(p) 2,a = γE2,a u = p m2 + E1,a/c2 E(p) 1,a = γ (E1,a − up) ! M = r m2 2 + 2m2 q m2 1 + p2/c2 + m2 1 Colisões Relativísticas As soluções em cada referencial inercial não são muito complicadas e podem ser deduzidas diretamente através das leis de conservação do momento linear e da energia total. Como a conexão entre os referenciais L e P é idêntica ao da colisão elástica. Vamos usar essas mesmas relações. No referencial inercial P, o valor da massa de repouso da nova partícula é obtida pela conservação da energia (toda a energia cinética é convertida em massa). Mc2 = E(p) 1,a + E(p) 2,a E(p) 2,a = γE2,a u = p m2 + E1,a/c2 E(p) 1,a = γ (E1,a − up) ! M = r m2 2 + 2m2 q m2 1 + p2/c2 + m2 1 No limite clássico, a massa M é dada pela soma das massas das duas partículas. Colisões Relativísticas A energia total da nova partícula no referencial L é encontrado tomando M a massa de repouso e p o momento linear da partícula: EL = q (Mc2)2 + p2c2 Colisões Relativísticas Exemplo: Duas partículas de massa m colidem e permanecem juntas após a colisão. Determine a nova massa de repouso da partícula. Considere uma partícula em repouso e a outra com momento p. Colisões Relativísticas Exemplo: Duas partículas de massa m colidem e permanecem juntas após a colisão. Determine a nova massa de repouso da partícula. Considere uma partícula em repouso e a outra com momento p. M = r m2 2 + 2m2 q m2 1 + p2/c2 + m2 1 Colisões Relativísticas Exemplo: Duas partículas de massa m colidem e permanecem juntas após a colisão. Determine a nova massa de repouso da partícula. Considere uma partícula em repouso e a outra com momento p. M = r m2 2 + 2m2 q m2 1 + p2/c2 + m2 1 M = q 2m2 + 2m p m2 + p2/c2 Colisões Relativísticas Exemplo: Duas partículas de massa m colidem e permanecem juntas após a colisão. Determine a nova massa de repouso da partícula. Considere uma partícula em repouso e a outra com momento p. M = r m2 2 + 2m2 q m2 1 + p2/c2 + m2 1 M = q 2m2 + 2m p m2 + p2/c2 M = 2m s 1 + p 1 + p2/(m2c2) 2 > 2m