Lista de Exercicios - Equacoes Parametricas e Produto Escalar

1 Equações Paramétricas 1 Obtenha dois pontos distintos e dois vetores diretores distintos da reta com equação paramétrica xt 1 t yt t zt 4 2t Verifique se os pontos P 1 3 3 e Q 3 4 12 pertencem à reta 2 Escreva uma equação paramétrica da reta que contém o ponto 2 0 3 e é paralela à reta descrita pelas equações 1x5 3y4 z36 3 Sejam A 3 6 7 B 5 2 3 e C 4 7 6 a Mostre que A B C são vértices de um triângulo isto é não são colineares b Escreva as equações paramétricas da reta que contém a mediana relativa ao vértice C 4 Escreva uma equação paramétrica e uma equação cartesiana do plano que contém o ponto A 1 2 0 e é paralelo aos vetores 𝑢 1 1 0 e 𝑣 2 3 1 isto é é gerado por 𝑢 e 𝑣 5 Escreva uma equação paramétrica e uma equação cartesiana do plano que contém os pontos A 1 1 0 e B 1 1 1 é paralelo ao vetor 𝑢 2 1 0 6 Escreva uma equação paramétrica e uma equação cartesiana do plano que contém o ponto A 1 0 1 e a reta x12 y3 2z 2 Produto Escalar 1 Seja 𝑣 2 3 0 6 Encontre todos os escalares k ℝ tais que k 𝑣 5 2 Para os pares do pontos abaixo calcule a distância Euclidiana entre eles a P1 3 3 3 e P2 1 0 4 b P1 1 2 3 0 e P2 5 1 2 2 c P1 0 1 1 1 2 e P2 2 1 0 1 3 3 Calcule o cosseno do ângulo entre os vetores posição dos itens do exercício anterior Isto é calcule o cosseno do ângulo entre 𝑂𝑃1 e 𝑂𝑃2 Em cada caso decida se o ângulo é agudo obtuso ou reto 4 Seja um vetor 𝑣 do plano que tem comprimento de 9 unidades e aponta na direção que faz um ângulo de 120 no sentido antihorário a parti do eixo x positivo Seja também 𝑢 um vetor do plano que tem comprimento de 5 unidades e aponte na direção e sentido do eixo y positivo Calcule 𝑣 𝑢 5 Se 𝑣 2 e 𝑤 3 quais são os maiores e menores valores possíveis de 𝑣 𝑤 6 O que pode ser dito sobre dois vetores não nulos 𝑣 e 𝑢 que satisfazem a equação 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 7 Qual relação deve ser verificada para que o ponto P a b c esteja equidistante da origem e do plano xz 8 Faça o que se pede a Mostre que as componentes do vetor 𝑣 v1 v2 da figura a abaixo são v1 𝑣 cos θ e v2 𝑣 sen θ b Sejam os vetores 𝑢 e 𝑣 da figura b abaixo Use o resultado do item anterior para encontrar as componentes de 4𝑢 5𝑣