Física 2 Corpos Rigidos

Mecânica do Sistema e Física Térmica 20251 Lista de Problemas 3 Prof Pedro Henrique Nome Dre Dicas para resolução das listas Sempre justifique cada passo de suas resoluções Evite simplificações matemáticas não triviais Evite também usar o chatgpt e derivados Questão 1 Considere um planeta de massa 𝑚 orbitando o Sol sob a ação exclusiva da força gravitacional Use a conservação do momento angular para demonstrar a segunda lei de Kepler 2 pontos Questão 2 Um aro de raio R 1 metro giral de tal modo que o ângulo em radianos em função do tempo é dado pela expressão 2 pontos θ 𝑏𝑡 2 𝑐𝑡 4 onde b 1 rads² c 2 rad e t é dado em segundos Calcule 𝑠 4 a a velocidade angular para t 1s b aceleração centrípeta para t 2s c aceleração angular para t2s d aceleração tangencial para t2s e aceleração total para t2s Questão 3 Um projétil de massa m é lançado da origem de um sistema de coordenadas cartesianas com velocidade inicial 𝑣0 formando um ângulo com o eixo horizontal Ox θ Obtenha A uma expressão para o momento angular em relação à origem como função do tempo 2 pontos B O torque em relação à origem 2 pontos C Demonstre que a relação é válida 2 pontos 𝑑𝐿 𝑑𝑡 τ A velocidade angular ω é a derivada do ângulo θ em relação ao tempo t Dado que θ bt² ct⁴ onde b 1 rads² e c 2 rads⁴ podemos encontrar ω derivando θ em relação a t ω dθdt ddt bt² ct⁴ Aplicando a regra da potência para a derivação temos ω 2bt 4ct³ Agora substituímos os valores de b e c ω 21t 42t³ 2t 8t³ Para encontrar a velocidade angular em t 1 s substituímos t 1 na equação ω1 21 81³ 2 8 10 rads Portanto a velocidade angular em t 1 s é 10 rads 3 Relacionar com a área varrida Considere um pequeno intervalo de tempo dt durante o qual o planeta se move ao longo de sua órbita A área dA varrida pela linha que conecta o planeta ao Sol é dada por dA 12 r vdt 12 r²ωdt 4 Derivar a taxa de variação da área Divida ambos os lados da equação por dt para obter a taxa de variação da área em relação ao tempo dAdt 12 r²ω 5 Substituir o momento angular Podemos expressar r²ω em termos do momento angular L L mr²ω r²ω Lm Substituindo na equação da taxa de variação da área dAdt 12 Lm 6 Conclusão Como L e m são constantes a taxa de variação da área dAdt também é constante dAdt constante Isso significa que a área varrida por unidade de tempo é constante o que é exatamente a segunda lei de Kepler 1 A segunda lei de Kepler também conhecida como a lei das áreas afirma que uma linha que conecta um planeta ao Sol varre áreas iguais durante intervalos de tempo iguais Isso significa que a velocidade de um planeta em sua órbita é maior quando está mais próximo do Sol e menor quando está mais distante Para demonstrar essa lei usando a conservação do momento angular podemos seguir os seguintes passos 1 Definir o momento angular O momento angular L de um planeta de massa m orbitando o Sol é dado por L r p r mv mr²ω onde r é o vetor posição do planeta em relação ao Sol p é o momento linear do planeta v é a velocidade do planeta ω é a velocidade angular do planeta 2 Conservação do momento angular Em um sistema onde a única força atuante é a força gravitacional uma força central o momento angular é conservado Isso significa que L é constante ao longo da órbita L constante B A aceleração centrípeta ac é dada por ac ω²R Onde ω é a velocidade angular R é o raio do aro Primeiro precisamos encontrar a velocidade angular ω em função do tempo t A velocidade angular é a derivada do ângulo em relação ao tempo ω dθdt Dado que θ bt² ct⁴ onde b 1 rads² e c 2 rads⁴ derivamos θ em relação a t ω ddt bt² ct⁴ 2bt 4ct³ Agora substituímos os valores de b e c ω 21t 42t³ 2t 8t³ Para t 2 s ω2 22 82³ 4 88 4 64 68 rads Agora que temos a velocidade angular ω em t 2 s podemos calcular a aceleração centrípeta ac Dado que R 1 m ac ω²R 68² 1 4624 ms² Portanto a aceleração centrípeta para t 2 s é 4624 ms² C A posição angular é dada por θ bt² ct⁴ Primeiro encontramos a velocidade angular ω que é a primeira derivada da posição angular em relação ao tempo ω dθdt 2bt 4ct³ Agora encontramos a aceleração angular α que é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo α dwdt 2b 12ct² Dado que b 1 rads² e c 2 rads⁴ substituímos esses valores na equação da aceleração angular α 21 122t² 2 24t² Para t 2 s a aceleração angular é α 2 242² 2 244 2 96 98 rads² Portanto a aceleração angular para t 2 s é 98 rads² D 1 Velocidade Angular ω A velocidade angular ω é a derivada primeira do ângulo θ em relação ao tempo t ω dθdt ddt bt2 ct4 2bt 4ct3 2 Aceleração Angular α A aceleração angular α é a derivada da velocidade angular ω em relação ao tempo t α dωdt ddt 2bt 4ct3 2b 12ct2 Agora vamos substituir os valores de b e c na expressão da aceleração angular α 21 122t2 2 24t2 Para t 2 s α 2 2422 2 244 2 96 98 rads2 3 Aceleração Tangencial at A aceleração tangencial at é o produto da aceleração angular α pelo raio R at α R Dado que R 1 m at 98 rads2 1 m 98 ms2 Portanto a aceleração tangencial para t 2 s é 98 ms2 E A aceleração angular é dada por αt 2b 12ct2 Para t 2s α2 21 12222 2 1224 2 96 98 rads2 A aceleração tangencial é dada por at Rαt Para t 2s at 1 98 98 ms2 Agora precisamos calcular a velocidade angular no instante t 2s ωt 2bt 4ct3 Para t 2s ω2 212 4223 4 428 4 64 68 rads A aceleração centrípeta é dada por ac Rω2t Para t 2s ac 1 682 4624 ms2 A aceleração total é a soma vetorial da aceleração tangencial e da aceleração centrípeta Como elas são perpendiculares podemos usar o teorema de Pitágoras a at2 ac2 a 982 46242 9604 21381376 21390980 4625 ms2 Portanto a aceleração total para t 2s é aproximadamente 4625 ms2 3 A O momento angular L de uma partícula em relação a um ponto de referência é definido como L r p onde r é o vetor posição da partícula em relação ao ponto de referência e p m v é o momento linear da partícula No caso de um projétil lançado da origem de um sistema de coordenadas cartesianas com velocidade inicial v0 e ângulo θ em relação ao eixo horizontal Ox temos 1 Vetor Posição rt A posição do projétil em função do tempo é dada por rt v0 cosθ t i v0 sinθ t 12 gt² j onde g é a aceleração devido à gravidade 2 Vetor Velocidade vt A velocidade do projétil em função do tempo é dada por vt drdt v0 cosθ i v0 sinθ gt j 3 Momento Linear pt O momento linear é pt m vt m v0 cosθ i v0 sinθ gt j 4 Momento Angular Lt Agora calculamos o momento angular Lt rt pt Lt i j k v0 cosθ t v0 sinθ t 12 gt² 0 m v0 cosθ m v0 sinθ gt 0 Lt v0 cosθ t mv0 sinθ gt v0 sinθ t 12 gt² m v0 cosθ k Lt m v0² cosθ sinθ t m v0 cosθ g t² m v0² sinθ cosθ t 12 m g v0 cosθ t² k Lt m v0 cosθ g t² 12 m g v0 cosθ t² k Lt 12 m g v0 cosθ t² k Portanto a expressão para o momento angular em relação à origem como função do tempo é Lt 12 mgv0 cosθ t² k O momento angular está ao longo do eixo z direção k e seu sentido é negativo indicando que está entrando no plano B O torque τ em relação à origem é dado pelo produto vetorial do vetor posição r e a força resultante F atuando sobre o projétil τ r F Neste caso a única força atuando sobre o projétil é a força gravitacional dada por F mg mg j Onde m é a massa do projétil g é a aceleração devido à gravidade que aponta para baixo direção j O vetor posição r do projétil em função do tempo é dado por r t v 0 cos θ t i v 0 sin θ t 1 2 g t 2 j Onde v 0 é a velocidade inicial θ é o ângulo de lançamento em relação ao eixo horizontal t é o tempo Agora calculamos o torque τ τ r F v 0 cos θ t i v 0 sin θ t 1 2 g t 2 j m g j Usando as propriedades do produto vetorial i j k e j j 0 temos τ v 0 cos θ t m g i j v 0 sin θ t 1 2 g t 2 m g j j τ m g v 0 cos θ t k Portanto o torque em relação à origem é τ m g v 0 cos θ t k Este torque aponta na direção k que é perpendicular ao plano do movimento no caso entrando na página se considerarmos o plano xy como o plano do movimento O torque aumenta linearmente com o tempo indicando que a taxa de variação do momento angular está aumentando constantemente devido à força gravitacional C Para demonstrar que d L d t τ onde L é o momento angular e τ é o torque podemos seguir os seguintes passos 1 Definir o Momento Angular O momento angular L de uma partícula em relação a um ponto de referência é definido como L r p Onde r é o vetor posição da partícula em relação ao ponto de referência p é o momento linear da partícula dado por p m v onde m é a massa e v é a velocidade 2 Derivar o Momento Angular em Relação ao Tempo Vamos derivar L em relação ao tempo t d L d t d d t r p Usando a regra do produto para a derivada de um produto vetorial dLdt drdt p r dpdt 3 Identificar Termos drdt é a velocidade v da partícula p m v então dpdt m dvdt m a onde a é a aceleração Substituindo esses termos na equação dLdt v m v r m a 4 Simplificar a Equação O primeiro termo v m v é zero porque o produto vetorial de um vetor por si mesmo é sempre zero Assim dLdt r m a 5 Relacionar com a Segunda Lei de Newton Pela Segunda Lei de Newton F m a onde F é a força resultante atuando sobre a partícula Substituindo m a por F dLdt r F 6 Definir o Torque O torque τ é definido como o produto vetorial do vetor posição r e a força F τ r F 7 Conclusão Comparando as equações temos dLdt r F τ Portanto demonstramos que dLdt τ Esta equação mostra que a taxa de variação do momento angular de uma partícula é igual ao torque resultante que atua sobre ela