Aula 01 Sistema de Forças-2023 1

P R O F M S C R A Y D E A R A U J O S O U S A Aula 01 Sistema de Forças UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA MEC0404 MECÂNICA DOS SÓLIDOS I INTRODUÇÃO Introdução 1 Mecânica Ciência que prevê e descreve as condições de repouso e movimento dos corpos sob ação de forças externas Se divide em Mecânica dos Corpos Rígidos Mecânica dos Corpos Deformáveis Mecânica dos Fluidos A mecânica dos corpos rígidos se baseia nos princípios de Newton e se subdivide em Estática Dinâmica Foco da disciplina Introdução 1 Mecânica Conceitos e Princípios A mecânica trabalha com 4 conceitos básicos Espaço Tempo Massa e Força Espaço Associado a noção de posição dependente de um referencial Tempo Define o momento de ocorrência de um evento Massa Relacionado a quantidade de materia em um corpo ou a resistência ao movimento que ele apresenta Força Ação de um corpo sobre o outro Na mecânica Newtoniana espaço tempo e massa são conceitos absolutos e independentes entre si com a força dependente destes aspectos Introdução 1 Mecânica Conceitos e Princípios Associadas aos 4 conceitos fundamentais estão as chamadas unidades cinéticas definidas segundo um sistema de unidades consistente o Sistema Internacional de Unidades SI Em conjunto as unidades é adotado o uso de prefixos referentes a fatores de multiplicação FUNDAMENTOS DE VETORES Fundamentes de Vetores 1 Grandezas Escalares e Vetoriais Grandezas Escalares São grandezas físicas em que apenas o seu valor numérico com uma unidade correspondente é o suficiente para fornecer uma informação completa Ex Temperatura Massa Tempo Grandezas Vetoriais São grandezas físicas que são descritas por um módulo que indica a quantidade ou o tamanho juntamente com uma direção e sentido no espaço Ex Deslocamento Força Torque Fundamentos de Vetores 1 Grandezas Escalares e Vetoriais As operações vetoriais são largamente utilizadas em situações onde aparecem forças Por exemplo em guindastes pontes elevadores automóveis dimensionamento de vigas e treliças carregamentos reações de apoio Fundamentos de Vetores 1 Grandezas Escalares e Vetoriais Evidenciar adequadamente a ação de vetores pode ser a diferença entre um trabalho nulo e um trabalho real Ex A profa Simone estava com problemas com seu carro e pediu ajuda a dois jovens passando na rua Cada jovem concordou em dar uma força de 10N conforme a figura Fundamentos de Vetores 2 Vetores de mesma magnitude e direção mas sentidos opostos 2 Vetores de mesma magnitude direção e sentido 2 Vetores de mesma direção e sentidos mas magnitudes diferentes 2 Vetores de mesma magnitude e sentido mas direções diferente 2 Vetores Métodos de expressão de grandezas físicas que não podem ser completamente entendidas somente pelo seu valor e unidade O vetor é representado na forma de um segmento de reta orientado uma reta sendo composto de 03 partes Módulo A magnitude quantidade daquilo que se representa pelo vetor dao pelo tamanho da seta ou numeral análogo a ela Sentido Indica se a representação do vetor é positiva ou negativa numa dada direção Direção Orientação do movimento num plano se vertical ou horizontal Rotulase o vetor por uma letra com uma pequena seta para a direita acima da mesma A partir da representação gráfica do vetor é possível entender seu comportamento e comparalo Fundamentos de Vetores 2 Vetores Para descrever a orientação de um vetor usase o Sistema de Coordenadas definindo sua posição no espaço O Sistema de Coordenadas consiste de Um ponto de referência fixo que é a origem Um conjunto de eixos com direções definidas Instruções de como colocar um ponto no espaço em relação à origem e aos eixos O Sistema de Coordenadas mais comumente adotado é o Sistema Cartesiano Neste sistema definese um ponto no plano chamado de origem O a partir do qual se traçam duas retas perpendiculares entre si representando duas direções possíveis Os eixos são comumente nomeados como eixo vertical Y eixo das ordenadas e eixo horizontal X eixo das abscissas Assim um ponto A qualquer nesse plano pode ter sua posição descrita como um par de números referentes a sua posição no eixo X e no Eixo Y XaYa Convencionalmente adotase a separação dos eixos em quadrantes que definem seus valores positivos e negativos Fundamentos de Vetores EXEMPLO DE FIXAÇÃO Fundamentos de Vetores 2 Vetores A grandeza vetorial mais simples e comumente é o deslocamento ou mudança de posição com o vetor nesse caso chamado de Vetor Deslocamento Se um elemento muda de posição indo de A até B indicase esse encaminhamento através de uma seta vazada apontando de A para B Somente o Vetor Deslocamento não nos diz tudo sobre uma trajetória uma vez que ele representa somente o resultado final de um movimento não o movimento propriamente dito A combinação de movimentos através de vetores não funciona da mesma maneira que se observa com grandezas escalares de modo que avaliar seu comportamento e como ela é descrita se torna necessário Fundamentos de Vetores OPERAÇÕES COM VETORES 3 Soma Geométrica de Vetores Suponha que uma partícula se desloque de A até B e depois de B até C Podese representar o deslocamento total independentemente da trajetória seguida através de dois vetores deslocamento sucessivos AB e BC O deslocamento total é um único deslocamento de A para C AC chamase de vetor soma ou vetor resultante dos vetores AB e BC Esse tipo de soma não é uma soma algébrica comum Podese representar a relação entre os três vetores através da equação vetorial É importante considerar no entanto que a soma vetorial envolve não somente a soma algébrica dos módulos mas também sua orientação sentido e direção É possível então tratar essa soma graficamente e geometricamente traçando ligações entre os elementos Operações com Vetores 3 Soma Geométrica de Vetores A soma vetorial definida dessa forma tem 03 propriedades importantes I Lei comutativa A ordem em que os vetores são somados é irrelevante II Lei Associativa Quando existem mais de dois vetores podese agrupálos em qualquer ordem para somálos sem afetar o resultado Operações com Vetores 3 Soma Geométrica de Vetores III Lei da Subtração de Vetores Um vetor b é um vetor de mesmo módulo e direção de um vetor b mas com sentido oposto de modo que sabese que sua soma seria nula Assim somar b é o mesmo que subtrair b de um vetor Operações com Vetores EXEMPLO DE FIXAÇÃO Exemplo De acordo com os vetores da figura 26 mostrar num gráfico em escala um representante do vetor veca vecb vecb veca e vecb veca 4 Componentes de Vetores Um método mais elegante e simples de somar vetores é tratálos de maneira algébrica num sistema de coordenadas Para analisar um vetor num plano cartesiano se faz necessário entender suas componentes Componente Projeção do vetor em um eixo ou retas perpendiculares ao eixo a partir da origem e da extremidade do vetor As duas componentes de um vetor formam 90entre si O ato de obter as componentes de um vetor é chamado de Decomposição de Vetores É possível determinar algebricamente as componentes as componentes de um vetor a partir das fórmulas trigonométricas de um triângulo retângulo Onde o ax ay Componentes do Vetor a nas direções x e y o a Módulo do Vetor o θ ângulo entre o vetor e o eixo horizontal Operações com Vetores 4 Componentes de Vetores Uma vez que um vetor tenha sido decomposto em relação a um conjunto de eixos as componentes podem ser usadas no lugar do vetor Os dois pares de valores contêm a mesma informação Se é conhecido um vetor na notação de componentes ax e ay e se quer especificálo na notação móduloângulo a e θ basta usar as equações Onde o ax ay Componentes do Vetor a nas direções x e y o a Módulo do Vetor o θ ângulo entre o vetor e o eixo horizontal Operações com Vetores EXEMPLO DE FIXAÇÃO Ex 03 Um pequeno avião decola de um aeroporto em um dia nublado e é avistado mais tarde a 215 km de distância em um curso que faz um ângulo de 22 a leste do norte A que distância a leste e ao norte do aeroporto está o avião no momento em que é avistado 5 Soma com Vetores Um vetor unitário é chamado Versor apresentando um Módulo unitário e Admensional definido pelas notações î é um vetor de comprimento unitário que aponta o sentido positivo do eixo x direção horizontal j é um vetor de comprimento unitário que aponta o sentido positivo do eixo y direção vertical Para cada coordenada temse somente um versor associado que serve para indicar o sentido positivo do eixo Considerando 02 vetores a e b suas coordenadas podem ser descritas pelas suas componentes ax e ay bx e by na forma de versores Uma forma de somar vetores é combinar algebricamente as componentes eixo a eixo obtendo então as componentes do vetor resultante Operações com Vetores 6 Multiplicação com Vetores Pode ser executada de 03 maneiras diferentes com abordagens diferentes I Multiplicação de um Vetor por um escalar Considerando um vetor a e um escalar w seu produto será um novo vetor r O resultado obtido na forma do vetor r seguirá as seguintes características O módulo de r é o resultado da multiplicação algébrica entre a e w A direção de r é a mesma direção de a O sentido de r dependerá do sinal de w se mantendo o mesmo se w for positivo ou invertendo caso contrário A divisão de a por w é o mesmo que a multiplicação de a por 1w seguindo os mesmos princípios anteriores II Multiplicação de 02 vetores Escalar Caso entendido como a grandeza Trabalho É descrito pela equação Obedece as propriedades Comutativa e Distributiva Operações com Vetores 6 Multiplicação com Vetores III Multiplicação de 02 Vetores Vetor Chamado de Produto Vetorial É descrito pela seguinte equação A direção do vetor resultante c é perpendicular ao plano definido por a e b com sentido determinado pela Regra da Mão Direita Fazse o movimento de a para b usando os 04 dedos da mão direita fazendo o menor percurso angular com o polegar estendido indicando o sentido do vetor resultante O produto vetorial obedece as seguintes propriedades Operações com Vetores EXEMPLO DE FIXAÇÃO Ex 04 Um homem puxa com a força de 300N uma corda amarrada a um edifício como demonstra a figura a seguir Defina as componentes do vetor força exercido sobre a corda A Ex 05 As forças P e Q representadas abaixo atuam sobre o parafuso Defina o vetor força resultante Ex 06 Quatro forças atuam no Parafuso A apresentado a seguir Determine o vetor força resultante Ex 07 Uma barcaça é puxada por dois rebocadores Se a resultante das forças exercidas pelos rebocadores é uma força de 22500 N de magnitude dirigida ao longo do eixo da barcaça determine a a força de tração em cada um dos cabos sabendo que α 45 EQUILÍBRIO DE FORÇAS 5 Equilíbrio de uma Partícula Uma vez definidas todas as ações sobre um corpo considerasse o mesmo em equilíbrio quando a resultante de todas as forças em ação é igual a zero Algebricamente isso implica na ação de decompor as forças atuantes em direções principais ou dos eixos coordenados e verificação do equilíbrio em cada direção Graficamente podese considerar uma partícula em equilíbrio pela Regra do Polígono Um polígono desenhado com os vetores força aplicados a uma partícula se fechado indica seu equilíbrio Equilíbrio de Forças 5 Equilíbrio de uma Partícula A demonstração visual dos vetores força atuando sobre um corpo é denominado Diagrama de Corpo Livre Em casos que atuam somente 03 forças sobre a partícula o mesmo pode ser resumido graficamente a um triangulo de forças Esse triangulo de forças deverá estar em equilíbrio logo fechado Assim o mesmo respeitará a lei dos senos Equilíbrio de Forças EXEMPLO DE FIXAÇÃO Ex 08 Em uma operação de descarregamento do navio um automóvel de 15750 N é sustentado por um cabo Uma corda é amarrada ao cabo em A e puxada para centrar o automóvel para a posição desejada O ângulo entre o cabo e a vertical é de 2 enquanto o ângulo entre a corda e a horizontal é de 30 Defina a tração na corda 6 Equilíbrio no Espaço Analogamente a ação num plano a ação no espaço é entendida em equilíbrio quando a resultante é nula em todas as direções Assim uma força F atuante no espaço pode ter sua direção definida traçando um plano vertical OBAC Esse plano passa pelo eixo vertical o que permite decompor a Força F em uma componente vertical Fy e uma componente horizontal Fh Equilíbrio de Forças 6 Equilíbrio no Espaço A componente de força Fh por sua vez atua no plano OECD e pode ser decomposta nas direções de X e Y Assim F é decomposta em 03 componentes retangulares vetoriais nas direções dos eixos coordenados Aplicando o teorema de Pitágoras aos triângulos presentes nos planos de decomposição do vetor F têmse Equilíbrio de Forças 6 Equilíbrio no Espaço Ao considerar a relação da Força F com as suas componentes como representada por uma caixa de arestas iguais as componentes coordenadas Assim observase a relação entre as componentes coordenadas que descrevem a magnitude do vetor força F e os ângulos orientados que definem a direção da sua atuação Equilíbrio de Forças 6 Equilíbrio no Espaço Por fim muitas vezes é necessário decompor um vetor força definido por uma magnitude e uma linha de ação Assim admitese a existência de um vetor unitário λ na orientação da linha de ação do vetor força descrito como a relação entre a magnitude do vetor força e o comprimento da sua linha de ação Equilíbrio de Forças EXEMPLO DE FIXAÇÃO Ex 09 Um cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de um parafuso em A A tração no cabo é de 2500 N Determine as componentes da força que atua no parafuso nas direções principais e os ângulos θx θy e θz que definem a direção da força Ex 10 Um muro de concreto esta sendo sustentado pelos cabos mostrados na figura ao lado Sabendo que a tração no cabo AB é de 3780N e no cabo AC é de 5400N determine a intensidade e direção da resultante das forças exercidas nos cabos em questão Referências MERIAM James L KRAIGE Glenn L Mecânica para Engenharia Estática LTC 9ª edição 2022 BEER Ferdinand P JOHNSTON E Russell Estática e Mecânica dos Materiais AMGH 9ª edição 648 p 2011 BEER Ferdinand P Mecânica vetorial para engenheiros estática 5ed São Paulo Makron Books do Brasil 1994 v1 793p UGURAL A C Mecânica dos materiais Rio de Janeiro LTC 2009 xix 638 p