Aula sobre Campos Elétricos: Definição, Vetor, Linhas e Intensidade

Aula 4 Campos Elétricos 222 O Campo Elétrico O campo elétrico é um campo vetorial O campo elétrico consiste em uma distribuição de vetores na região em torno de um objeto eletricamente carregado como um bastão de vidro Podemos definir o campo elétrico em um ponto nas proximidades de um objeto carregado como o ponto P da Fig da seguinte forma Uma carga de prova positiva q0 colocada no ponto experimenta uma força eletrostática O campo elétrico no ponto P é dado pela equação A unidade de campo elétrico do SI é o Newton por Coulomb NC Tabela 221 Alguns Campos Elétricos Local ou Situação Valor NC Superfície de um núcleo de urânio 3 10²¹ Átomo de hidrogênio a uma distância de 529 10¹¹ m do núcleo 5 10¹¹ Ruptura dielétrica do ar 3 10⁶ Perto da superfície carregada de uma fotocopiadora 10⁵ Perto de um pente carregado 10³ Atmosfera inferior 10² Interior de um fio de cobre de uma instalação residencial 10² Linhas de Campo elétrico Como se fosse linhas de força Fornecem uma boa forma de visualizarmos padrões em campos elétricos qo qo httpwwwfalstadcomvector3de 223 Linhas de Campo Elétrico As linhas de campo elétrico se afastam das cargas positivas onde começam e se aproximam das cargas negativas onde terminam Em qualquer ponto a orientação de uma linha de campo retilínea ou a orientação da tangente a uma linha de campo não retilínea é a orientação do campo E nesse ponto As linhas de campo são desenhadas de tal forma que o número de linhas por unidade de área medido em um plano perpendicular às linhas é proporcional ao módulo de E Assim tem valores elevados nas regiões em que as linhas de campo estão próximas e valores pequenos nas regiões em que as linhas de campo estão afastadas Figura 222 a Uma força eletrostática F age sobre uma carga de prova positiva colocada nas proximidades de uma esfera que contém uma distribuição uniforme de cargas negativas b O vetor campo elétrico E na posição da carga de prova e as linhas de campo no espaço que cerca a esfera As linhas de campo elétrico terminam na esfera negativamente carregada As linhas têm origem em cargas positivas distantes E q imagem de um vetor campo elétrico apontando para fora a partir de uma carga positiva central q E q imagem de um vetor campo elétrico apontando para dentro em direção a uma carga negativa central q Esfera metálica carregada por um gerador carga elétrica líquida A alta concentração de carga na esfera cria um forte campo elétrico em torno da esfera As cargas de fuga então através do gás em torno da esfera produzem um brilho rosado Linhas de Campo elétrico Linhas do campo elétrico penetrante duas superfícies A magnitude do campo é maior na superfície A do que na superfície B densidade linhas Linhas mais próximas Campo mais intenso Linhas de Campo elétrico Please make your selection A A B B C C Linhas de Campo elétrico Campo elétrico de uma carga puntiforme Para determinar o campo elétrico produzido a uma distância r de uma carga pontual q colocamos uma carga de prova positiva q0 nesse ponto Determinação do Campo Elétrico O campo elétrico total no ponto P é igual à soma vetorial dos campos que cada carga da distribuição produz no ponto P Esse resultado é chamado de princípio da superposição dos campos elétricos Linhas de um Campo Elétrico Uma linha de campo elétrico é desenhada como uma linha imaginária reta ou curva que passa por uma região do espaço de tal modo que sua tangente em qualquer ponto forneça a direção e o sentido do campo elétrico no ponto considerado Linhas de um Campo Elétrico A figura abaixo mostra algumas das linhas de campo elétrico em um plano com a uma única carga positiva b duas cargas de mesmo módulo porém de sinais opostos um dipolo Linhas de um Campo Elétrico A figura abaixo mostra algumas das linhas de campo elétrico em um plano com c duas cargas positivas iguais Uma carga q1 70 C está localizada na origem e uma segunda carga q2 50 C está localizada no eixo x a 03 m da origem Encontre o campo elétrico em P que tem coordenadas 0 04 m P 03 m 04 m 05 m E1 E2 E cos 35 sen 45 Componente x de E2 Componente y de E2 CAMPO ELÉTRICO Exemplo Campo Elétrico Produzido por Três Cargas A Fig 227a mostra três partículas de cargas q1 2Q q2 2Q e q3 4Q todas situadas a uma distância d da origem Determine o campo elétrico total E produzido na origem pelas três partículas E1 14πε₀ 2Qd² E1 E2 14πε₀ 2Qd² 14πε₀ 2Qd² 14πε₀ 4Qd² Observando a Fig 227c vemos que as componentes y dos dois vetores se cancelam e as componentes x são iguais e se somam Assim o campo elétrico total na origem está orientado no sentido do semieixo x positivo e o módulo do vetor é E 2E3x 2E3 cos 30 2 14πε₀ 4Q d² 0866 693Q 4πε₀ d² Figura 227 a Três partículas com cargas q1 q2 e q3 situadas à mesma distância d da origem b Os vetores campo elétrico E1 E2 e E3 produzidos na origem pelas três partículas c O vetor campo elétrico E3 e a soma vetorial E1 E2 na origem O campo deve ser determinado neste ponto vazio Atração Atração Repulsão Atração 225 Campo Elétrico Produzido por um Dipolo Elétrico Figura 228 a Um dipolo elétrico Os vetores campo elétrico E e E no ponto P do eixo do dipolo são produzidos pelas duas cargas do dipolo As distâncias entre o ponto P e as duas cargas que formam o dipolo são r e r b O momento dipolar p do dipolo aponta da carga negativa para a carga positiva Do lado de cima q domina Do lado de baixo q domina Dipolos Elétricos Um dipolo elétrico é um par de cargas puntiformes com mesmo módulo porém sinais opostos uma carga positiva q e uma carga negativa q separadas por uma distância d Uma molécula de água mostrando a carga positiva em vermelho e a carga negativa em azul 225 Campo Elétrico Produzido por um Dipolo Elétrico Por simetria o campo elétrico E no ponto P e também os campos E e E produzidos pelas partículas que formam o dipolo deve ser paralelo ao eixo do dipolo que foi tomado como o eixo z Aplicando o princípio de superposição aos campos elétricos vemos que o módulo E do campo elétrico no ponto P é dado por E E E 14πε₀ qr² qr² q4πε₀z 12 d² q4πε₀z 12 d² E q4πε₀z² 11 d2z² 11 d2z² E q4πε₀z² 2dz 1 d2z²² q2πε₀z³ d 1 d2z²² d2z 1 E 12πε₀ qdz³ O produto qd formado pelos dois parâmetros que definem o dipolo é o módulo p de uma grandeza conhecida como momento dipolar elétrico do dipolo Exemplo Dipolos Elétricos e Sprites Podemos modelar o campo elétrico produzido pelas cargas da nuvem supondo que existe um dipolo vertical formado por uma carga q na altura h da nuvem e uma carga q a uma distância h abaixo da superfície Fig 229c Se q 200 C e h 60 km qual é o módulo do campo elétrico do dipolo a uma altitude z1 30 km ou seja a uma altitude um pouco acima das nuvens e a uma altitude z2 60 km ou seja um pouco acima da estratosfera E 1 2πε0 q2h z3 onde 2h é a distância entre as cargas q e q na Fig 229c O campo elétrico a uma altitude z1 30 km é dado por E 1 2πε0 200 C260 103 m 30 103 m3 16 103 NC A uma altitude z2 60 km temos E 20 102 NC Os sprites Fig 229a são clarões que às vezes são vistos no céu acima de grandes tempestades Ainda não são bem compreendidos mas acreditase que sejam produzidos quando ocorre um relâmpago particularmente intenso entre a terra e uma nuvem de tempestade particularmente se o relâmpago transferir uma grande quantidade de carga negativa q da terra para a base da nuvem Fig 229b PRODUZID0S POR UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGA Considerar um elemento q desta distribuição Campo produzido por toda a carga Levando q ao limite do contínuo q dq podemos integrar sobre toda a distribuição CAMPO ELÉTRICO Densidade de Carga Como representar uma carga q distribuída em um objeto Carga total Elementos de carga q dq Linha de carga cargam dq dx Cm Superfície de carga cargam2 dq dA Cm2 Volume de carga cargam3 dq dV Cm3 226 Campo Elétrico Produzido por uma Linha de Cargas Quando lidamos com distribuições contínuas de cargas é conveniente expressar a carga de um objeto em termos de uma densidade de cargas em vez da carga total No caso de uma linha de cargas por exemplo usamos a densidade linear de cargas ou carga por unidade de comprimento cuja unidade no SI é o coulomb por metro A Tabela 222 mostra outras densidades de cargas que também são usadas Tabela 222 Algumas Medidas de Carga Elétrica Nome Símbolo Unidade do SI Carga q C Densidade linear de cargas Cm Densidade superficial de cargas Cm2 Densidade volumétrica de cargas Cm3 CAMPO ELÉTRICO PRODUZID0S POR UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGA dE Modulo E dE mas Qual a forma da expressão do campo se a l Uma haste de comprimento l tem uma carga positiva Q uniformemente distribuída ao longo do seu comprimento correspondendo a uma densidade linear de carga Calcule o campo elétrico no ponto P localizado ao longo do eixo da haste e a uma distância a do seu extremo 226 Campo Elétrico Produzido por uma Linha de Cargas Podemos dividir mentalmente o anel em elementos de carga tão pequenos que se comportem como cargas pontuais e aplicar a definição de campo elétrico a cada um desses elementos Em seguida podemos somar os campos elétricos produzidos no ponto P por esses elementos o campo produzido pelo anel no ponto P é a soma vetorial desses campos Seja ds o comprimento de um dos elementos de carga do anel Como λ é a carga por unidade de comprimento a carga do elemento é dada por dq λ ds Esse elemento de carga produz um campo elétrico dE no ponto P que está a uma distância r do elemento 226 Campo Elétrico Produzido por uma Linha de Cargas dE 14πε₀ dq r² 14πε₀ λ ds r² 14πε₀ λ ds z² R² ¹² As componentes dos campos dE paralelas ao eixo central são todas iguais as componentes perpendiculares têm o mesmo módulo mas orientações diferentes As componentes paralelas são dE cos θ zλ 4πε₀z² R²³² ds Finalmente para o anel inteiro E dE cos θ zλ 4πε₀z² R²³² ₀²πR ds zλ2πR 4πε₀z² R²³² Exemplo Campo Elétrico de um Arco de Circunferência Carregado A Fig 2211a mostra uma barra de plástico com uma carga Q uniformemente distribuída A barra tem a forma de um arco de circunferência de 120 de extensão e raio r Os eixos de coordenadas são escolhidos de tal forma que o eixo de simetria da barra é o eixo x e a origem P está no centro de curvatura do arco Em termos de Q e r qual é o campo elétrico E produzido pela barra no ponto P Esta barra certamente não é uma partícula Entretanto podemos tratar este elemento como uma partícula As componentes y se cancelam e podem ser ignoradas As componentes x se somam e a soma deve ser calculada Podemos relacionar o comprimento do elemento ao arco subtendido Exemplo Campo Elétrico de um Arco de Circunferência Carregado A Fig 2211a mostra uma barra de plástico com uma carga Q uniformemente distribuída A barra tem a forma de um arco de circunferência de 120 de extensão e raio r Os eixos de coordenadas são escolhidos de tal forma que o eixo de simetria da barra é o eixo x e a origem P está no centro de curvatura do arco Em termos de Q e r qual é o campo elétrico E produzido pela barra no ponto P Esta barra certamente não é uma partícula As componentes x se somam e a soma deve ser calculada Figura 2211 a Uma barra de plástico de carga Q tem a forma de um arco de circunferência de raio r e ângulo central 120º o ponto P é o centro de curvatura da barra b As componentes do campo produzido por elementos simétricos da barra λ cargacomprimento Q2πr3 0477Qr dq λ ds Tratando o elemento como uma carga pontual dE 14πε₀ dqr² 14πε₀ λ dsr² Como a carga q é negativa dE aponta na direção de ds A cada elemento ds corresponde um elemento simétrico ds na outra metade da barra As componentes y dos campos produzidos por elementos simétricos se cancelam já que possuem o mesmo módulo e sentidos opostos enquanto as componentes x se somam pois possuem o mesmo sentido ds r dθ E dEx 60 a 60 14πε₀ λr² cos θ r dθ λ4πε₀r 60 a 60 cos θ dθ λ4πε₀r sen θ 60 a 60 λ4πε₀r sen 60 sen60 173λ4πε₀r Para calcular o campo elétrico em um ponto P situado no eixo central de um disco a uma distância z do centro do disco dividimos o disco em anéis concêntricos e somamos as contribuições de todos os anéis para o campo no ponto P A figura mostra um desses anéis de raio r e largura radial d r Se σ é a carga por unidade de área a carga do anel é e o campo produzido pela carga é Podemos calcular E integrando dE para toda a superfície do disco ou seja integrando em relação a r de r 0 a r R Área 227 Campo Elétrico Produzido por um Disco Carregado Fazendo R enquanto mantemos z finita o termo entre parênteses tende para 1 e a equação se reduz a E σ2ε₀ placa infinita 228 Uma Carga Pontual em um Campo Elétrico Na presença de um campo elétrico uma partícula de carga q é submetida a uma força dada por F qE Isso significa que A força eletrostática F que age sobre uma partícula carregada submetida a um campo elétrico E tem o mesmo sentido que E se a carga q da partícula for positiva e o sentido oposto se a carga q for negativa 228 Uma Carga Pontual em um Campo Elétrico Medindo a Carga Elementar Impressoras Jato de Tinta FE qE neE mg Figura 2214 Representação esquemática do equipamento usado por Millikan para medir a carga elementar e Quando uma gota de óleo eletricamente carregada penetra na câmara C através de um orifício na placa P1 o movimento da gota pode ser controlado fechando e abrindo uma chave S e assim criando e eliminando um campo elétrico na câmara C O microscópio foi usado para observar a gota e medir sua velocidade Figura 2215 Representação esquemática de um tipo de impressora jato de tinta Gotas de tinta são produzidas no gerador G e recebem uma carga na unidade de carregamento C Um sinal elétrico proveniente de um computador controla a carga fornecida a cada gota e portanto o efeito de um campo constante E sobre a gota e a posição em que a gota atinge o papel Please make your selection A Direita B Esquerda C Cima D Baixo x y e E F x y e E Please make your selection A Direita B Esquerda C Cima D Baixo x y e E F e F x y e E F e Please make your selection A Direita B Esquerda C Cima D Baixo x y e E F e F x y e E F e F e F Please make your selection A Direita B Esquerda C Cima D Baixo x y e E F e F p F x y e E F e F e F Please make your selection A Direita B Esquerda C Cima D Baixo e Please make your selection A Direita B Esquerda C Cima D Baixo x y E e Please make your selection A aumenta B diminui x y E e v diminui F Exemplo Movimento de uma Partícula Carregada em um Campo Elétrico A Fig 2217 mostra as placas defletoras de uma impressora jato de tinta com eixos de coordenadas superpostos Uma gota de tinta com uma massa m de 13 x 10ˆ10 kg e uma carga negativa de valor absoluto Q 15 x 10ˆ13 C penetra na região entre as placas movendose inicialmente na direção do eixo x com uma velocidade vx 18 ms O comprimento L de cada placa é 16 cm As placas estão carregadas e portanto produzem um campo elétrico em todos os pontos da região entre elas Suponha que esse campo E esteja dirigido verticalmente para baixo seja uniforme e tenha um módulo de 14 x 10ˆ6 NC Qual é a deflexão vertical da gota ao deixar a região entre as placas A força gravitacional é pequena em comparação com a força eletrostática e pode ser desprezada Figura 2217 Uma gota de tinta de massa m e carga Q é desviada por um campo elétrico em uma impressora jato de tinta IDEIACHAVE A gota está negativamente carregada e o campo elétrico está dirigido para baixo De acordo com a Eq 2228 a gota é submetida a uma força eletrostática constante de módulo QE dirigida para cima Assim ao mesmo tempo que se desloca paralelamente ao eixo x com velocidade constante vx a gota é acelerada para cima com uma aceleração constante ay Cálculos Aplicando a segunda lei de Newton F ma às componentes y da força e da aceleração temos ay Fm QEm Seja t o tempo necessário para que a gota passe pela região entre as placas Durante esse intervalo os deslocamentos vertical e horizontal da gota são y 12 ay tˆ2 e L vxt respectivamente Eliminando t nas duas equações e substituindo ay por seu valor dado pela Eq 2230 obtemos y QELˆ2 2mvxˆ2 15 x 10ˆ13 C14 x 10ˆ6 NC16 x 10ˆ2 mˆ2 213 x 10ˆ10 kg18 msˆ2 64 x 10ˆ4 m 064 mm 229 Um Dipolo em um Campo Elétrico Quando um dipolo elétrico é colocado em uma região onde existe um campo elétrico forças eletrostáticas agem sobre as cargas do dipolo Se o campo elétrico é uniforme essas forças agem em sentidos opostos com o mesmo módulo FqE Embora a força total aplicada pelo campo ao dipolo seja zero e o centro de massa do dipolo não se mova as forças a plicadas às cargas do dipolo produzem um torque 𝛕 em relação ao centro de massa Como o centro de massa está na reta que liga as cargas do dipolo a uma distância x de uma das cargas e a uma distância d x da outra carga o torque total é dado por 𝛕Fx sen 𝜃 Fdxsen 𝜃 Fd sen 𝜃 pE sen 𝜃 𝛕 𝒑 𝑬 torque em um dipolo Torque produz uma rotação no sentido horário acrescentamos um sinal no módulo do torque 𝜏 𝑝𝐸𝑠𝑒𝑛𝜃 O torque tende a alinhar o dipolo com o campo Figura 2219 a Um dipolo elétrico na presença de um campo elétrico externo uniforme 𝑬 Dois centros de cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos estão separados por uma distância d A reta que liga as cargas representa o fato de que a distância entre elas se mantém constante b O campo 𝑬 aplica um torque 𝛕 ao dipolo A direção de 𝛕 é para dentro do papel o que está representado na figura pelo símbolo 229 Um Dipolo em um Campo Elétrico Energia Potencial Uma energia potencial pode ser associada à orientação de um dipolo elétrico em relação a um campo elétrico A energia potencial do dipolo é mínima quando o momento está alinhado 𝒑 com o campo 𝑬 As equações são mais simples se definimos a energia potencial como sendo nula quando o ângulo 𝜃 da Fig é 90 Nesse caso podemos determinar a energia potencial U do dipolo para qualquer outro valor de 𝜃 calculando o trabalho 𝑊 realizado sobre o dipolo quando o dipolo gira da posição de 90 para esse valor de 𝜃 𝑈 𝑊 𝜏 d𝜃 𝑝𝐸 sen 𝜃 d𝜃 U 𝑝𝐸𝑐𝑜𝑠𝜃 U 𝒑 𝑬 energia potencial de um dipolo O torque tende a alinhar o dipolo com o campo Figura 2219 a Um dipolo elétrico na presença de um campo elétrico externo uniforme 𝑬 Dois centros de cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos estão separados por uma distância d A reta que liga as cargas representa o fato de que a distância entre elas se mantém constante b O campo 𝑬 aplica um torque 𝛕 ao dipolo A direção de 𝛕 é para dentro do papel o que está representado na figura pelo símbolo Alimentos contém água Muitas moléculas tais como os da água são dipolos eléctricos o que significa que tem uma carga positiva parcial numa extremidade e uma carga negativa parcial no outro e por conseguinte à medida que tentam girar e alinharse com o campo eléctrico alternado das micro ondas Moléculas em rotação colidem com outras moléculas e colocandoas também em movimento dispersando assim energia Esta energia quando dispersa como a vibração molecular em sólidos e líquidos ou seja tanto como energia potencial e energia cinética de átomos é o denominamos de calor CAMPOS ELÉTRICOS Exemplo Torque e Energia de um Dipolo Elétrico em um Campo Elétrico Uma molécula de água H2O neutra no estado de vapor tem um momento dipolar elétrico cujo módulo é 62 1030 C m a Qual é a distância entre o centro das cargas positivas e o centro das cargas negativas da molécula IDEIACHAVE O momento dipolar de uma molécula depende do valor absoluto q da carga positiva ou negativa da molécula e da distância d entre as cargas Cálculos Como uma molécula neutra de água possui 10 elétrons e 10 prótons o módulo do momento dipolar é dado por 𝑝𝑞𝑑10𝑒𝑑 em que d é a distância que queremos determinar e e é a carga elementar Assim temos d p10𝑒 62 1030 Cm 10160 1019 C 39 1012 m 39 pm Essa distância é menor do que o raio do átomo de hidrogênio b Se a molécula é submetida a um campo elétrico de 15 104 NC qual é o máximo torque que o campo elétrico pode exercer sobre a molécula Um campo com essa intensidade pode facilmente ser produzido em laboratório IDEIACHAVE O torque exercido por um campo elétrico sobre um dipolo é máximo quando o ângulo 𝜃 entre 𝒑 e 𝑬 é 90 Cálculo Fazendo 𝜃 90 na Eq 2233 obtemos 𝜏 𝑝 𝐸 sen 𝜃 62 1030 Cm15 104 NCsen 90 93 1026 Nm Resposta c Que trabalho deve ser realizado por um agente externo para fazer a molécula girar de 180 na presença deste campo partindo da posição em que a energia potencial é mínima 𝜃 0 IDEIACHAVE O trabalho realizado por um agente externo através de um torque aplicado à molécula é igual à variação da energia potencial da molécula devido à mudança de orientação Cálculo De acordo com a Eq 2240 temos 𝑊a U180 U0 𝑝𝐸 cos 180 𝑝𝐸 cos 0 2𝑝𝐸 262 1030 Cm15 104 NC 19 1025 J Resposta Lista 1 Cap 21 Halliday 9ªEd Perguntas 24689 10 Problemas 2 57910131517212223 24446062 2529343539505260 Cap 22 Halliday 9ªEd Perguntas 13456910 Problemas 12 6789121519 24 26 27 3132 33 35 37 41 4647 50 51 52 7783 56 57 Cap 23 Lei de Gauss Perguntas 1 2 3 4 5 6 10 Problemas 15691115 1319 21 25273132 35 39 41 43 495152 53 74 77