Oscilações Eletromagnéticas e Corrente Alternada - Circuitos LC

Capítulo 31 Oscilações Eletromagnéticas e Corrente Alternada Introdução Nos dois tipos de circuito estudados até agora RC e RL vimos que a carga a corrente e a diferença de potencial crescem ou decrescem exponencialmente com o tempo Agora vamos estudar o circuito formado pela terceira combinação destes elementos ou seja o circuito LC neste caso estas grandezas não variam exponencialmente com o tempo mas sim senoidalmente com um determinado período T e uma frequência angular ω resultam em oscilações do campo elétrico do capacitor e do campo magnético do indutor a que chamamos oscilações eletromagnéticas Oscilações em um circuito LC simples C q U E 2 2 2 Li2 U B Energia armazenada no campo elétrico do capacitor em qualquer instante Carga no capacitor nesse instante Energia armazenada no campo magnético do indutor em qualquer instante Corrente no indutor nesse instante Na figura abaixo estão representados oito estágios em um único ciclo de oscilação de um circuito LC sem resistência Supomos que inicialmente a carga q do capacitor tem o seu valor máximo Q e a corrente i que atravessa o indutor é nula Apenas energia magnética Apenas energia elétrica Apenas energia magnética Apenas energia elétrica Apenas energia magnética f Capacitor descarregando corrente aumentando com sentido contrário a b e Capacitor com carga máxima tendo polaridade contraria a a sem corrente a Capacitor com carga máxima sem corrente b Capacitor descarregando corrente aumentando c Capacitor totalmente descarregado corrente máxima d Capacitor carregando mas com polaridade contrária a corrente diminuindo gCapacitor totalmente descarregado corrente máxima h Capacitor carregado corrente diminuindo a A diferença de potencial entre os terminais do capacitor do circuito em função do tempo Esta grandeza é proporcional a carga no capacitor VR i R Para medirmos a corrente podemos ligar uma pequena resistência R em serie com o capacitor e com o indutor e medir a diferença de potencial variável com o tempo VR entre os seus extremos VR proporcional a iC b Um potencial proporcional a corrente no circuito As letras se referem aos estágios correspondentes de oscilação Em um circuito LC real as oscilações não continuam indefinidamente porque existe sempre alguma resistência presente que retira energia dos campos elétrico e magnético e a dissipa na forma de energia térmica o circuito pode se aquecer Isso significa que a amplitude das oscilações diminui com o tempo como mostra a Fig 313 Compare esta figura com a Fig 1516 que mostra o decaimento das oscilações mecânicas causado pelo atrito em um sistema blocomola FIG 313 Imagem na tela de um osciloscópio mostrando o amortecimento das oscilações em um circuito RLC por causa da dissipação de energia no resistor Cortesia de Agilent Technologies Exemplo 311 Um capacitor de 15 µF é carregado com 57 V A fonte usada para carregar o capacitor é desligada e um indutor de 12 mH é ligado entre os terminais do capacitor formando um circuito LC que começa a oscilar Qual é a corrente máxima no indutor Suponha que a resistência do circuito seja desprezível IDÉIASCHAVE 1 Como a resistência é desprezível a energia eletromagnética do circuito é conservada enquanto a energia é transferida do campo elétrico do capacitor para o campo magnético do indutor e viceversa 2 Em qualquer instante t a energia UBt do campo magnético está relacionada à corrente it no indutor através da Eq 312 UB Li²2 Quando toda a energia está armazenada no campo magnético do indutor a corrente tem o valor máximo I e a energia do campo magnético é UBmáx LI²2 3 Em qualquer instante t a energia UEt do campo elétrico está relacionada à carga qt do capacitor através da Eq 311 UE q²2C Quando toda a energia está armazenada no campo elétrico do capacitor a carga tem o valor máximo Q e a energia do campo elétrico é UEmáx Q²2C Cálculos Com essas idéias podemos escrever a lei de conservação da energia na forma UBmáx UEmáx ou LI²2 Q²2C Explicitando I temos I sqrtQ²LC Conhecemos L e C mas não Q Entretanto usando a Eq 251 q CV podemos relacionar Q à diferença de potencial máxima entre os terminais do capacitor que é a diferença de potencial inicial de 57 V Assim substituindo Q por CV obtemos I V CL 57 V 15 106 F 12 103 H 0637 A 640 mA 313 Analogia Eletromecânica A Analogia Eletromecânica Do ponto de vista formal um circuito LC é análogo a um oscilador harmônico simples que pode se representado por um sistema massamola Capacitor Indutor mola bloco UE 12 q2 C UB 12 Li2 UB UE UE UB cte Up 12 kx2 Uc 12 mv2 Uc Up Up Uc cte 313 Analogia Eletromecânica Tabela 311 Comparação das Energias em Dois Sistemas Oscilantes Sistema BlocoMola Oscilador LC Elemento Energia Elemento Energia Mola Potencial kx22 Capacitor Elétrica 1Cq22 Bloco Cinética mv22 Indutor Magnética Li22 v dxdt i dqdt A frequência angular de oscilação de um circuito LC ideal sem resistência é ω 1 LC circuito LC 314 Oscilações em um Circuito LC Análise Quantitativa A Analogia Eletromecânica Oscilador BlocoMola No sistema massamola a energia total U é em qualquer instante U Uc Up onde Uc é a energia cinética do bloco em movimento e Up é a energia potencial da mola comprimida ou distendida Se não houver atrito U permanece constante isto é dUdt ddt 12 mv2 12 kx2 0 0 dt kx dx dt dv mv dt dx v 2 2 dt x d dt dv Oscilações massamola deslocamento Amplitude oscilações mecânicas Freqüência angular Constante de fase 314 Oscilações em um Circuito LC Análise Quantitativa A Analogia Eletromecânica Oscilador LC Para o caso do oscilador LC em qualquer instante a energia oscilante é dada por U UB UE 12 Li2 12 q2 C 0 dt dq C q dt di Li dt dq i 2 2 dt q d dt di Oscilações LC A Analogia Eletromecânica Fazendo as seguintes correspondências q x i v L m 1C k e lembrando que v dxdt e i dqdt a solução da equação 2 é q Q coswt f Carga onde Q é a amplitude das oscilações da carga w 1sqrtLC frequência angular natural das oscilações eletromagnéticas 314 Oscilações em um Circuito LC Análise Quantitativa A Analogia Eletromecânica Φ é uma constante de fase como no caso mecânico A corrente no circuito LC é i dqdt ωQ senωt Φ Corrente I ωQ i I senωt Φ As constantes Q e Φ são determinadas pelas condições iniciais i0 e q0 314 Oscilações em um Circuito LC Análise Quantitativa Frequência Angular d²qdt² ω²Q cosωt Φ Como L d²qdt² 1C q 0 circuito LC Lω²Q cosωt Φ 1C Q cosωt Φ 0 Lω² 1C 0 ω 1LC 314 Oscilações em um Circuito LC Análise Quantitativa A energia elétrica armazenada em um circuito LC no instante t é dada por UE q²2C Q²2C cos²ωt Φ A energia magnética é UB 12 Li² 12 Lω² Q² sen²ωt Φ Como ω 1LC circuito LC temos UB Q²2C sen²ωt Φ As energias elétrica e magnética variam mas a energia total é constante Figura 314 Energia magnética e energia elétrica armazenadas no circuito da Fig 311 em função do tempo Observe que a soma das duas energias é constante T é o período das oscilações A energia magnética e a energia elétrica armazenadas no circuito em função do tempo UEt e UBt para 0 Os valores máx de UE e UB são ambos iguais a Em qualquer instante a soma UE com UB é igual a Quando UE é máxima UB é nula e viceversa C Q 2 2 C Q 2 2 314 Oscilações em um Circuito LC Análise Quantitativa Oscilador BlocoMola UUbUs12mv212kx2 dUdtddt12mv212kx2mv dvdt kx dxdt0 m d2xdt2 kx0 xX cosωtφ deslocamento Oscilador LC UUBUELi22 q22C dUdtddtLi22 q22CLi didt qC dqdt0 L d2qdt2 1C q0 circuito LC qQ cosωtφ carga idqdt ωQ senωt φ corrente IωQ iI senωt φ Exemplo Oscilador LC Variação da diferença de potencial e da corrente Um capacitor de 15 μF é carregado por uma bateria de 57 V que em seguida é desligada No instante t0 um indutor de 12 mH é ligado ao capacitor para formar um oscilador LC Fig 311 a Qual é a diferença de potencial vLt entre os terminais do indutor em função do tempo Cálculos Aplicando a regra das malhas ao circuito da Fig 311 temos para qualquer instante de tempo t vLtvCt 3118 ou seja como a diferença de potencial ao longo de todo o circuito é zero a diferença de potencial vL no indutor é sempre igual à diferença de potencial vC no capacitor Assim podemos calcular vLt a partir de vCt e podemos calcular vCt a partir de qt usando a Eq 251 qCV Como a diferença de potencial vCt é máxima no instante t0 em que as oscilações começam a carga q do capacitor também é máxima nesse instante Assim a constante de fase φ é zero e a Eq 3112 nos dá qQ cos ωt 3119 qCQC cos ωt vC VC cos ωt 3120 vL VC cos ωt 3121 ω1LC 10012 H15 x 106 F05 7454 rads 7500 rads Assim a Eq 3121 se torna vL 57 V cos 7500 radst Exemplo Oscilador LC Variação da diferença de potencial e da corrente Um capacitor de 15 μF é carregado por uma bateria de 57 V que em seguida é desligada No instante t0 um indutor de 12 mH é ligado ao capacitor para formar um oscilador LC Fig 311 b Qual é a máxima taxa de variação didtmáx da corrente no circuito Cálculos Derivando esta equação obtemos didt ddtωQ sen ωt ω2 Q cos ωt Podemos simplificar esta equação substituindo Q por CVC já que conhecemos C e VC mas não conhecemos Q e substituindo ω por 1LC de acordo com a Eq 314 O resultado é o seguinte didt 1LC CVC cos ωt VCL cos ωt VCL 57 V 0012 H 4750 As 4800 As Isso significa que a taxa de variação da corrente varia senoidalmente e seu valor máximo é 315 Oscilações Amortecidas em um Circuito RLC Figura 315 Circuito RLC série Enquanto a carga contida no circuito oscila entre o indutor e o capacitor parte da energia do circuito é dissipada no resistor o que reduz progressivamente a amplitude das oscilações 315 Oscilações Amortecidas em um Circuito RLC Com um um resistor R no circuito a energia eletromagnética total U do sistema soma da energia elétrica com a energia magnética não é mais constante pois diminui com o tempo na medida em que é transformada em energia térmica no resistor dUdt 0 Então U UB UE U 12 Li2 q22C dUdt Li didt qC dqdt i2 R 315 Oscilações Amortecidas em um Circuito RLC e dUdt Ri2 ou Li didt qC dqdt Ri2 L d2qdt2 R dqdt 1C q 0 circuito RLC Como i dqdt d2qdt2 RL dqdt 1LC q 0 3 A solução ed é a seguinte Assim a energia do campo elétrico oscila de acordo com um termo proporcional ao quadrado do cosseno enquanto a amplitude das oscilações diminui exponencialmente com o tempo 315 Oscilações Amortecidas em um Circuito RLC É importante notar que agora as oscilações são amortecidas pois a amplitude de qt decai exponencialmente com o tempo Exemplo 313 Um circuito RLC série tem um indutância L 12 mH uma capacitância C 16 μF e uma resistência R 15 Ω a Em que instante t a amplitude das oscilações da carga do circuito é 50 do valor inicial Queremos que Qmax eR2Lt 05Qmax Rt2L ln 05 daí t 2LR ln 05 t 0011 s b Quantas oscilações o circuito executou até esse instante O tempo para uma oscilação completa é o período T 2πω Neste caso como R2L2 ω02 ω ω0 Ou seja ΔtT Δt2πLC 0011 2π12103 x 1610612 13