Lei de Ampere - Conceitos, Formulação e Aplicações em Eletromagnetismo

Lei de Ampere Após a descoberta de Ørsted o físico francês AndreMarie Ampere 17751836 realizou uma série de experimentos que culminaram em uma relação muito útil para a determinação do campo magnético produzido por uma distribuição de corrente elétrica Considere um circuito fechado de forma arbitrária em torno de uma corrente imagine que o circuito é composto de pequenos segmentos infinitesimais d𝑠 Calculamos o produto escalar 𝐵 𝑑𝑠 para cada segmento Segundo os experimentos realizados por Ampere a soma de todos os valores deste produto escalar para o circuito fechado é igual à corrente no interior do circuito vezes uma constante Esta relação é conhecida como lei de Ampere e pode ser escrita como 𝐵 𝑑𝑠 μ0𝐼 Lei de Ampere Para o caso de um fio retilíneo podemos considerar circuitos fechados ao redor do fio na forma de círculos Aplicando a lei de Ampere obtemos 𝐵 𝑑𝑠 B 𝑑𝑠 B2πr μ0𝐼 B μ0𝐼 2πr onde 𝑑𝑠 2πr e o módulo do campo magnético é constante ao longo do circuito Lei de Ampere A lei de Ampere é válida somente para correntes constantes Além disso embora ela seja válida para todas as configurações de corrente ela apenas tornase útil para calcular campos magnéticos de configurações altamente simétricas de forma similar ao caso da lei de Gauss para o cálculo do campo elétrico de distribuições simétricas de cargas Lei de Ampere A Lei de Ampere é uma das Equações de Maxwell e portanto uma lei fundamental do eletromagnetismo Podemos trivialmente verificar que a Lei de Ampere vale para um fio infinito de corrente em que B μ0 i 2 π r a uma distância r do fio Neste caso temos para um circuito C circular ao fio onde sabemos que B tem o mesmo valor e aponta na direção de dl L B dl B d l B d l μ 0 i 2 π r 2 π r μ 0 i Lei de Ampère B ds μ 0 i env lei de Ampère É assim que se escolhem os sinais das correntes para aplicar a lei de Ampère Figura 2912 Uso da regra da mão direita da lei de Ampère para determinar os sinais das correntes envolvidas por uma amperiana A situação é a da Fig 2911 Apenas as correntes envolvidas pela amperiana aparecem na lei de Ampère Figura 2911 Aplicação da lei de Ampère a uma amperiana arbitrária que envolve dois fios retilíneos longos mas não um terceiro Observe o sentido das correntes Envolva a amperiana com a mão direita com os dedos apontando no sentido da integração Uma corrente no sentido do polegar estendido recebe sinal positivo uma corrente no sentido oposto recebe sinal negativo Lei de Ampere Para a determinação dos circuitos ou trajetórias de integração algumas vezes chamadas espiras amperianas devemos satisfazer uma ou mais das seguintes condições 1 O valor do campo magnético é constante ao longo da trajetória 2 O campo magnético é nulo em todos os pontos ao longo da trajetória 3 B e ds são paralelos e portanto B ds B d s 4 B e ds são perpendiculares Logo B ds 0 Lei de Ampère Campo Magnético Perto de um Fio Longo Percorrido por Corrente Considere um fio reto com raio R com corrente uniformemente distribuída em seu interior como na Fig para o qual desejamos saber o campo B tanto dentro quanto fora do fio Usando a Lei de Ampere com um circuito Amperiano fora do fio temos B d s B d l B d l B2π r μ0 i Toda a corrente está envolvida e deve ser incluída na lei de Ampère B μ0 i2π r do lado de fora de um fio retilíneo A amperiana é uma circunferência concêntrica com um raio maior que o raio do fio Lei de Ampère Campo Magnético Dentro de um Fio Longo Percorrido por Corrente Similarmente usando um circuito dentro do fio e incluindo somente a corrente i interna a r B d s B2π r μ0 i μ0 i r2R2 Apenas as correntes envolvidas pela amperiana são incluídas na lei de Ampère B μ0 i 2π R2 r A corrente está distribuída uniformemente ao longo da seção reta do fio e aponta para fora do papel A amperiana é uma circunferência concêntrica com um raio menor ou igual ao raio do fio Campo dentro de um fio gerado por sua corrente Exemplo Uso da Lei de Ampère para Calcular o Campo no Interior de um Cilindro Longo Percorrido por Corrente A Fig 2915a mostra a seção reta de um cilindro longo condutor oco de raio interno a 20 cm e raio externo b 40 cm O cilindro conduz uma corrente para fora do plano do papel e o módulo da densidade de corrente na seção reta é dado por J c r2 com c 30 106 Am4 e r em metros Qual é o campo magnético B no ponto da Fig 2915a que está situado a 30 cm de distância do eixo central do cilindro Queremos calcular o campo magnético no ponto de raio r Para isso traçamos uma circunferência amperiana passando pelo ponto Precisamos calcular a corrente na área envolvida pela amperiana Começamos com um anel tão fino que a densidade de corrente pode ser considerada constante no interior A área dA do anel é o produto do perímetro da circunferência pela largura d r A corrente no anel é o produto da densidade de corrente J pela área dA do anel Precisamos somar as correntes em todos os anéis desde o menor até o maior cujo raio é igual ao raio da amperiana Solenóide Campo em um solenóide No seu interior os campos se somam e o campo total é aproximadamente constante e uniforme No seu exterior os campos se cancelam e o campo é aproximadamente nulo Solenóide Considere o circuito mostrado que contém N espiras com suas correntes atravessando o circuito Usando a Lei de Ampere temos B ds μ0 iin Temos B ds ab B ds bc B ds cd B ds da B ds Destas somente a primeira da valor não nulo e igual a Bh A segunda e quarta sao nulas pois o B dl e na terceira B 0 Solenóide Alem disso definindo n Nh número de espiras por unidade de comprimento temos iin Ni nhi B ds μ0 iin Bh μ0 i n h B μ0 in solenoide ideal Toróide Campo em um toróide Toróide Considere um toróide com raio r como na Fig para o qual desejamos saber o campo B em seu interior O toróide é basicamente um solenoide curvado e com as extremidades identificadas Usando a Lei de Ampere temos 𝐵 𝑑𝑠 μ₀iin B2πr μ₀Ni onde i é a corrente no toroide que é positiva para os fios envolvidos pela amperiana e N é o número de espiras Isso nos dá B μ₀Ni 2πr Toróide Exemplo Campo no Interior de um Solenoide Um solenoide tem um comprimento L 123 m um diâmetro interno d 355 cm e conduz uma corrente i 557 A É formado por cinco camadas de espiras cerradas cada uma com 850 espiras Qual é o valor de B no centro do solenoide IDEIACHAVE O módulo B do campo magnético no eixo central do solenoide está relacionado à corrente i do solenoide e ao número n de espiras por unidade de comprimento através da Eq 2923 B μ₀in Cálculo Como B não depende do diâmetro das espiras o valor de n para cinco camadas de espiras é simplesmente cinco vezes maior que o valor para uma camada Assim de acordo com a Eq 2923 temos B μ₀in 4π 10⁷ TmA557 A 5 850 espiras 123 m 242 10² T 242 mT Resposta Esse é o valor aproximado do campo magnético no interior da maior parte do solenoide Qual é o campo magnético produzido pela bobina em um ponto no espaço Sem simetria para a Lei de Ampere Usase lei de BiotSavart Simplificar Bobina com uma única espira circular Calcular B sobre o eixo central eixo z Uma Bobina Percorrida por Corrente como um Dipolo Magnético Também temos Figura 2922 Vista de perfil de uma espira circular de raio R O plano da espira é perpendicular ao papel e apenas a metade mais distante da espira aparece na figura A lei de BiotSavart pode ser usada para calcular o campo magnético em um ponto P do eixo central da espira B dB dB μ₀ 4π i ds sen 90 r² dB dB cos α μ₀ i cos α ds 4π r² r R² z² cos α R r R R² z² dB μ₀ i R 4π R² z²³² ds B dB μ₀ i R 4π R² z²³² ds ds É simplesmente o perímetro 2π R da espira Bz μ₀ i R² 2R² z²³² Uma Bobina Percorrida por Corrente como um Dipolo Magnético Para pontos muito distantes da bobina para uma bobina de N espiras Assim podemos encarar uma bobina percorrida por corrente como um dipolo magnético sob dois aspectos 1 a bobina experimenta um torque na presença de um campo magnético externo 2 a bobina produz um campo magnético que é dado para pontos distantes sobre o eixo z fig Figura 2921 Uma espira percorrida por corrente produz um campo magnético semelhante ao de um ímã em forma de barra com um polo norte e um polo sul O momento dipolar magnético da espira cujo sentido é dado pela regra da mão direita aponta do polo sul para o polo norte ou seja na mesma direção que o campo B no interior da espira