Campos Conservativos e Funções Potenciais - Integrais de Linha e Teorema de Green

Cálculo Diferencial e Integral IV Profa Marcela Souza DEMATICENE Universidade Federal do Triângulo MineiroUFTM 3 Integrais de Linha Teorema de Green 33 Campos conservativos e funções potenciais 331 Definição e Exemplos 332 Cálculo de uma função potencial Campos Conservativos e Funções Potenciais Introdução Seja F um campo vetorial arbitrário do espaço bi ou tridimensional PERGUNTA Será que F é um campo gradiente de alguma função f Caso afirmativo como determinar f Esse é um problema importante em diversas aplicações e vamos estudálo a mais detalhe mais adiante 331 Definição e Exemplos Definição Dizemos que um campo vetorial F do espaço bi ou tridimensional é conservativo numa região D se for o campo gradiente de alguma função f nesta região D ou seja se F f A f é denominada uma função potencial de F na região Ou equivalentemente Seja F um campo vetorial em um domínio D Se f fxyz é uma função diferenciável em D tal que F grad f dizemos que F é um campo conservativo ou um campo gradiente em D A função f é chamada função potencial de F em D Exemplos a O campo vetorial F 4x 5 yz i 5 xz j 5 xy k é um campo conservativo pois a função f é diferenciável em R³ e seu gradiente é F Portanto f é uma função potencial de F b campos de quadrado inverso são conservativos um 𝓺𝓾𝓮𝓻 região que não continha a origem Por exemplo b1 Espaço bidimensional ℝ² Considere o campo de quadrado inverso em ℝ² Fxy cx² y²32 xî yĵ ou Fr cr³ r onde r é o vetor posição Temos que a função fxy cx² y²12 é uma função potencial de F um 𝓺𝓾𝓮𝓻 região que não continha a origem No caso tridimensional é análogo b2 Espaço tridimensional ℝ³ Considere o campo de quadrado inverso em ℝ³ Fxyz cx² y² z²32 xî yĵ zk ou Fr cr³ r onde r é o vetor posição Faça o mesmo que b1 Já vimos que o rotacional do gradiente de um campo escalar é 0 rotf0 Uma consequência imediata disso nos dá a 1a parte do seguinte resultado Teorema Supõa F 𝒞1Dℝ³ ou 𝜑1𝜑2𝜑3 um campo vetorial contínuo num domínio D cuj derivadas parciais de 1a ordem contínuas em D a Se F é conservativo um D então rotF0 em D Ie se F admite uma função potencial f rotF0 xyzD Raciocinamnte b Se rotF0 em D e D é simplesmente conexo então F é conservativo em D Lembre que Definição Seja D um subconjunto de R² ou R³ Então i D é conexo por caminhos se quaisquer dois pontos de D podem ser ligados por uma curva contínua contida em D ii D é simplesmente conexo se toda curva fechada simples de D pode se reduzir continuamente a um ponto sem sair de D Obs vamos pegar p R³ O caso p R² é análogo Seja F f₁ f₂ f₃ um campo vetorial contínuo em D a derivadas parciais de 1ª ordem contínuas em D Pelo teor anterior vimos que a Se F admite uma função potencial f ie F f então rot F 0 xyz D 1 ou equivalentemente f₁y f₂x f₁z f₃x f₂z f₃y 2 Isto é 1 vale 2 vale Aplicação do teorema Podemos usar o teorema p verificar se um campo vetorial é conservativo aplicando o item b ou não conservativo aplicando a contrapositiva do item a se rot F 0 F não é conservativo Exemplos Usando o Teorema anterior verifique se os seguintes campos vetoriais são conservativos a F 2x²y i 5x z j x²y² k em D R³ b F 4xy z i 2x²y j x k em D R³ 332 Cálculo de uma função potencial Supondo que F f1 f2 f3 é o gradiente de uma função potencial f em um domínio D R³ podemos determinar f usando as igualdades fx f1 fy f2 e fz f3 Daí para determinar f basta usar o método das integrações Os exemplos que seguem nos mostram o procedimento a ser adotado Exemplos a Verificar se o campo vetorial F yz 2 i xz 1 j xy 2z k é um campo gradiente em R³ Em caso afirmativo encontrar uma função potencial f b b1 Mostre que Fxyz y2 z3 i 2xy z3 j 3xy2 z2 k é um campo vetorial conservativo b2 Determine uma função f tal que F f Bibliografia ANTON Howard BIVENS Irl DAVIS Stephen Cálculo volume 2 8ª edição Porto Alegre Bookman 2007 FLEMMING Diva M GONÇALVES Mirian B Cálculo B Funções de várias variáveis integrais múltiplas integrais curvilíneas e de superfície 2ª edição São Paulo PearsonPrentice Hall 2007 STEWART James Cálculo volume 2 6ª edição São Paulo Cengage Learning 2009