Integrais de Linha - Teorema de Green e Independência do Caminho

Cálculo Diferencial e Integral IV Profa Marcela Souza DEMATICENE Universidade Federal do Triângulo MineiroUFTM 3 Integrais de Linha Teorema de Green 35 Integrais de linha independentes do caminho de integração 351 Independência do caminho 352 Teorema Fundamental para as Integrais de Linha 351 Independência do caminho Definição Seja F um campo vetorial contínuo em um domínio D do espaço ou do plano Dizemos que a integral de linha c Fdr é independente do caminho de integração em D se para quaisquer pontos A e B em D o valor da integral é o mesmo para todos os caminhos em D que iniciam em A e terminam em B Isto é c1 Fdr c2 Fdr para quaisquer dois caminhos C1 e C2 em D que tenham os mesmos pontos iniciais e finais Exemplos a Calcule C x2 mx dx 2yz dy y2 dz ao longo de C do A 020 até B 224 onde C a1 é a parábola z x2 y 2 a2 é a poligonal AM0 onde M 100 Voltando ao exemplo b Calcular C 2x dx yz dy 3z dz ao longo da b1 parábola z x2 y 2 do pto A 020 ao pto B 224 b2 linha poligonal A0B onde 0 é a origem Perguntas 1a Como identificar uma integral de linha independente do caminho de integração 2a Podemos calculála conhecendo apenas os ptos A e B ie pto inicial e final da curva C respectivamente 3a O que acontecerá se o caminho de integração for fechado Vemos as respostas destas perguntas na próxima sessão 352 Teorema Fundamental para as Integrais de Linha Recordação Lembre que o Teor Fundamental do Cálculo pode ser escrito como TFC ba Fx dx Fb Fa 1 onde F é contínua em ab A eq 1 tbém é chamada Teorema da Variação Total a integral da taxa de variação é a variação total TFC p as integrais de linha Se consideramos o vetor gradiente f da função f de lar 3 variáveis como uma espécie de derivada de f então o teorema seguinte pode ser considerado uma versão do Teorema Fundamental do Cálculo p as integrais de linha Esse resultado fornece uma maneira conveniente de calcular uma integral de linha em um campo conservativo O resultado estabelece que o valor da integral depende somente das extremidades do caminho e não do caminho específico que os liga Teorema Teor Fundamental dos Integrais de linha Seja f uma função diferencial de 2 ou 3 variáveis em um domínio convexo D R2 ou R3 Seja C uma curva suave em D dada pela função vetorial parametrizaçãort a t b ra A rb B Se F f é contínuo em C em D então C F dr f B f A ou seja C f dr frb fra Interpretação O Teorema Fundamental das Integrais de linha nos diz que podemos calcular a integral de linha de um campo vetorial conservativo F f o campo vetorial gradiente da função potencial f sabendo apenas o valor de f nos pontos terminais de C ii os integrais de linha de campos vetoriais conservativos são independentes do caminho De fato o Teorema Fundamental das Integrais de linha diz que a integral de linha de f é a variação total de f Vetores do Teorema no R² e R³ 1º No R² Se f é uma função de 2 variáveis e C é uma curva plana o início em Ax₁y₁ e término em Bx₂y₂ então o Teorema fica ᶜ f d𝐫 fx₂y₂ fx₁y₁ 2º No R³ Se f é uma função de 3 variáveis e C é uma curva espacial ligando o pto Ax₁y₁z₁ ao pto Bx₂y₂z₂ então temos ᶜ f d𝐫 fx₂y₂z₂ fx₁y₁z₁ Procuramos o teorema p esse caso Obs Apesar de termos provado o Teor anterior p curvas suaves ele tbém vale p curvas vazadas por partes Isto pode ser visto subdividindose C num nº finito de curvas suaves e somando os int mais resultado final Exemplos a Calcular a integral ᶜ F d𝐫 onde F é o campo vetorial Fxyz yz 2 i xz 1 j xy 2z k ao longo de qualquer caminho que une o pto A001 a B121 b b1 Verifique que o campo vetorial Fxyz senx î 2yz ĵ y² k é um campo conservativo em R³ b2 Calcule C F dz ao longo do apoio caminho C de A 020 até B 224 c Encontre o trabalho realizado pelo campo conservativo Fxyz yz î xz ĵ xy k xyz ao longo do apoio curva suave C que ligue o pto A 138 a B 164 Vejamos agora as seguintes equivalências Teorema Seja F f₁ f₂ f₃ um campo vetorial contínuo num domínio convexo D R³ Então são equivalentes as 3 afirmações seguintes a F é o gradiente de uma função potencial f em D ou seja F é conservativo em D F f b A integral de linha de F é independente do caminho de integração em D c A integral de linha de F ao redor de todo caminho fechado simples em D é igual a zero Recordações 1a Def Supô D um subconj de R² ou R³ Então i D é conexo conexo por caminhos se quaisquer 2 ptos de D podem ser ligados por um caminho inteiramente contido em D ii D é simplesmente conexo se D é conexo tal que toda curva fechada simples de D pode se reduzir continuamente a um pto sem sair de D ie contorna somente ptos que estão em D 2a Def i Uma curva é dita fechada se seu pto terminal coincide c seu pto inicial ie rb ra onde C rt t ab ii Uma curva simples é uma curva que não se intercepta em nenhum pto entre os ptos terminais ie a curva não tem autointerseção ra rb por uma curva simples fechada mas rt₁ rt₂ pa a t₁ t₂ b Observações 1 Este teorema estabelece que somente campos vetoriais independentes do caminho são conservativos É viaversa somente campos vetoriais conservativos são independentes do caminho 2 Como a integral de linha de qqer campo vetorial conservativo F é independente do caminho seguese que F dr 0 p qqer caminho fechado Interpretação física o trabalho realizado por qqur campo de força conservativo tal como o campo gravitacional ou o campo elétrico p mover um objeto ao redor de um caminho fechado é 0 Exemplos a Verifique se F exy 1 î exy ĵ é um caminho conservativo em R² Em caso afirmativo calcule 1011 F dr sendo que a notação 1011 significa integral de linha ao longo de aque caminho de 10 a 11 b Determine o trabalho realizado pela força F yz 1 î xz 1 ĵ xy 1 k no deslocamento b1 ao longo da poligonal ABCDE da figura abaixo b2 ao longo do caminho fechado Bibliografia ANTON Howard BIVENS Irl DAVIS Stephen Cálculo volume 2 8ª edição Porto Alegre Bookman 2007 FLEMMING Diva M GONÇALVES Mirian B Cálculo B Funções de várias variáveis integrais múltiplas integrais curvilíneas e de superfície 2ª edição São Paulo PearsonPrentice Hall 2007 STEWART James Cálculo volume 2 6ª edição São Paulo Cengage Learning 2009