Integrais de Linha - Teorema de Green e Aplicações UFTM

Cálculo Diferencial e Integral IV Profa Marcela Souza DEMATICENE Universidade Federal do Triângulo MineiroUFTM 3 Integrais de Linha Teorema de Green 34 Integrais de linha no plano e no espaço 341 Integrais de linha de campos escalares 342 Integrais de linha de campos vetoriais 34 Integrais de linha no plano e no espaço Introdução Em capítulos anteriores consideramos 3 tipos de integrais em coordenadas retangulares integrais simples em intervalos integrais duplas em regiões bidimensionais e integrais triplas em regiões tridimensionais Nesta seção discutiremos integrais ao longo de curvas nos espaços bi e tridimensionais Motivação no R3 Dado uma curva vecrt xtveci ytvecj ztveck a leq t leq b para o pelo domínio de uma fxyz no espaço os valores de f ao longo da curva são dados pela função composta fxt yt zt Se integrarmos essa função composta em relação ao comprimento do arco ta a tb calculamos a integral de linha de f ao longo da curva que é também chamada de integral de f c relação ao comprimento de arco de C Apesar da geometria tridimensional a integral de linha é uma integral comum de uma função real sobre um intervalo real f o vecr vecrt y0 vecrt a t y vecr D Domf C subset D y vecrt rightarrow R y0 vecr Importância Aplicações A importância dos integrais de linha está em suas aplicações São essas os integrais ci aos quais calculamos o trabalho realizado por forças variáveis ao longo de caminhos no espaço e as taxas as quais líquidos roçam ao longo de curvas e através de fronteiras 341 Integrais de linha de campos escalares A integral de linha de um campo escalar constitui uma generalização simples e natural do conceito de integral definida 3411 Definição Sejam C uma curva suave orientada c1 pto inicial A e pto terminal B e f um campo escalar definido em cada pto de xy a No plano R2 xy R2 factorul cujo domínio contém a curva C Suponha C uma curva plana dada pelos eq paramétricas xxt yyt a t b 1 ou equivalente matriz pela eq vetorial rt xt i ytj t ab Como C é suave ou lisa r é contínua e rt 0 Procedimento p construir a integral de linha 1 Dividimos a curva C em n subarcos ou pequenos arcos pelos ptos AP0 P1 P2 Pi1 Pi Pn B 2 Dividimos por Δxi o comprimento do subarco Pi1 Pi 3 Em cada subarco Pi1 Pi escolhemos um pto xi yi Em seguida tomamos o limite dessa soma e fazemos a seguinte definição por analogia c a integral de Riemann de uma variável real Definição Suponha uma curva plana suave e eq vetorial rt xt yt t ab CDr Se f é definida sobre uma curva suave C dada pelo eq 1 então a integral de linha de f sobre C dirigido ao longo de C de A até B que denotamos C fxy ds é definida por C fxy ds limn Δxi0 i1n fxi yi Δxi 2 onde o limite é a direita existe Observação 1 Se dá é contínua o limite de 2 existe A curva C é tbm chamada caminho de integração 2 Se a curva C é suave por partes a integral de linha sobre C é definida como a soma das integrais sobre cada parte suave de C 3 A integral C fxy ds ou C fxyz ds tem é denominada integral do campo escalar f em relação ao comprimento de arco de C Interpretação Assim como por os integrais de funções de uma váriavel real podemos interpretar a integral de linha de uma função positiva como uma área De fato se fxy 0 então C fxy ds representa a área de um lado da curva ou cortina da figura abaixo cuja base é C e cuja altura acima do ponto xy é fxy Gxyz R³ é uma superfície de R³ b No espaço R³ C é uma curva espacial fi R³ R função real cujo domínio contém a curva C D Df Suponha agora que C seja uma curva espacial suave dada pelas equações paramétricas x xt y yt z zt a t b ou pela eq vetorial rt xti ytj ztk t ab Procedimento p construir a integral de linha 1 Dividimos a curva C em n subarcos ou pequenos arcos pelos ptos A P0 P1 P2 Pi1 Pi Pn B 2 Denotamos por xi o comprimento do subarco Pi1Pi 3 Em cada subarco Pi1Pi escolhemos um pto xi xi1 xi2 zi 4 Calculamos fxi multiplicamos esse valor por xi e formamos a soma Sn Σi1n fxi xi De modo semelhante ao feito por curvas planas definimos Definição Se f é uma função de 3 variáveis que é contínua definida em alguma região contendo C então definimos a integral de linha de f ao longo de C essa definição está relacionada ao comprimento de arco de modo semelhante ao feito por curvas planas C fxyz ds limn max xi 0 Σi1n fxi xi 3 gde o limite à direita existe Obs se f é contínua o limite existe Obs a integral C fxyz ds será denominada integral do campo escalar f em relação ao comprimento de arco 3412 Cálculo da Integral de Linha Cálculo para curvas suaves No R3 Sejam C uma curva suave no espaço e seq vetorial rt xt i yt j zt k c t ab e f D R3 R t q C D Df Como C é suave rt drdt é contínua e nunca se anula então podemos considerar a função comprimento do arco st at ru du Pelo TFC temos que dsdt rt n1 ds rt dt Podemos então calcular a integral de linha de f sobre C como C fxyz ds ab fxtytzt rt dt ou C fxy ds ab fxtyt rt dt Essa fórmula calculará a integral corretamente não importa qual parametrização usamos desde que esta seja lisa no R² xtyt t ab r D R² R t q C D Dt C fxy ds ab fxtyt rt d t Procedimento prático para o cálculo de uma Integral de Linha Para integrar uma função contínua fxyz sobre uma curva C Passo 1 Encontre uma parametrização suave de C pt xt i yt j zt k a t b Passo 2 Calcule a integral como C fxyz ds ab fxtytzt pt dt ou no R² C fxy ds ab fxtyt pt dt Observações 1 Se f tem o valor cte 1 então a integral de f sobre C dá o comprimento de C 2 fato Se fxyz 1 C ds ab pt dt l que é o comprimento de C 2 Se a parametrização for por comprimento de arco então pt1 t ab 1 daí C fxyz ds ab fxtytzt dt Exemplos calculando uma integral de linha a Calcular c x2y ds onde C é a semicircunferência centrada na origem de raio R3 dada abaixo b Integrar fxyzx3y2z sobre o segmento de reta C que une o oirigem ao pto 111 343 Propriedades Fundamentais As propriedades das integrais de linha são análogas às propriedades das integrais definidas Proposição Suponha que C é uma curva suave ou suave por partes e que fxyz e gxyz são funções contínuas em cada pto de C Então a c Kfxyz ds Kc fxyz ds onde K é uma cte b c fxyzgxyz ds c fxyz ds c gxyz ds Aditividade c Seja C uma curva cto inicial A e pto terminal B Se P é um pto de C entre A e B C1 a parte de C de A até P e C2 a parte de C de P até B então C fxyz ds C1 fxyz ds C2 fxyz ds d C fxyz ds C fxyz ds onde C representa a curva C orientada no sentido oposto Exemplos a Calcular C 3xy ds sendo C o triângulo de vértices A00 B10 e C12 no sentido antihorário b Considere um caminho C de origem 000 até o pto 111 dado pela união dos segmentos de reta C1 e C2 da figura abaixo ie CC1 C2 Integre fxyzx3y2z sobre CC1 C2 Bibliografia ANTON Howard BIVENS Irl DAVIS Stephen Cálculo volume 2 8ª edição Porto Alegre Bookman 2007 FLEMMING Diva M GONÇALVES Mirian B Cálculo B Funções de várias variáveis integrais múltiplas integrais curvilíneas e de superfície 2ª edição São Paulo PearsonPrentice Hall 2007 STEWART James Cálculo volume 2 6ª edição São Paulo Cengage Learning 2009