Densidade de Fluxo Elétrico e Lei de Gauss em Cilindro Longo - Cálculos e Aplicações

Densidade de fluxo elétrico 𝐷 𝜀0𝐸 𝜀0 𝑄𝑇𝜀0 𝐴 𝑄𝑇 𝐴 Carga Total vamos supor que o comprimento do cilindro está paralelo ao eixo z 𝐿 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑄𝑇 𝜌𝑣𝜌 𝜙 𝑧𝑑𝑣 3𝜌 2𝑎3 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧 2𝑎 𝑎 2𝜋 0 𝐿 0 𝑄𝑇 𝑑𝑧 𝑑𝜙 2𝜋 0 𝐿 0 3𝜌 2𝑎3 𝜌𝑑𝜌 2𝑎 𝑎 𝑑𝑧 𝐿 0 𝑑𝜙 2𝜋 0 3 2𝑎3 𝜌2𝑑𝜌 2𝑎 𝑎 𝑄𝑇 𝑧0 𝐿𝜙0 2𝜋 3 2𝑎3 𝜌3 3 𝑎 2𝑎 2𝜋𝐿 3 2𝑎3 2𝑎3 𝑎3 3 𝑄𝑇 2𝜋𝐿 3 2𝑎3 7𝑎3 3 7𝜋𝐿 𝐷 𝑄𝑇 𝐴 7𝜋𝐿 𝐴 Área total do cilindro 𝐴 2𝐴𝐵 𝐴𝐿 2𝜋𝜌2 2𝜋𝜌𝐿 2𝜋2𝑎 𝑎2 2𝜋2𝑎 𝑎𝐿 𝐴 2𝜋𝑎2 2𝜋𝑎𝐿 2𝜋𝑎𝑎 𝐿 𝐷 7𝜋𝐿 2𝜋𝑎𝑎 𝐿 7𝐿 2𝑎𝑎 𝐿 O enunciado diz que é um cilindro longo Então vamos fazer 𝐿 𝑎 𝐷 7𝐿 2𝑎𝐿 7 2𝑎 A resposta independe do comprimento do cilindro a Forma diferencial da Lei de Gauss 𝐷 𝜌𝑣 Carga total 𝑄𝑇 𝜌𝑣𝑑𝑣 𝐷 𝑑𝑣 Divergente de 𝐷 levando em conta que as componentes 𝐷𝜙 e 𝐷𝑟 são nulas 𝐷 1 𝑟 sen𝜃 𝜃 sen𝜃 𝐷𝜃 1 𝑟 sen𝜃 𝜃 sen𝜃 1 𝑎𝑟 sen𝜃 𝐷 1 𝑟 sen𝜃 𝜃 sen2𝜃 𝑎𝑟 1 𝑟 sen𝜃 1 𝑎𝑟 𝜃 sen2𝜃 𝐷 1 𝑟 sen𝜃 1 𝑎𝑟 2 sen𝜃 cos𝜃 2 sen𝜃 cos𝜃 𝑎𝑟2 sen𝜃 2 cos𝜃 𝑎𝑟2 𝑄𝑇 𝐷 𝑑𝑣 2 cos𝜃 𝑎𝑟2 𝑟2 sen𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜙 𝑎 0 𝜋 2 0 2𝜋 0 𝑄𝑇 2 cos𝜃 𝑎 sen𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜙 𝑎 0 𝜋 2 0 2𝜋 0 2 𝑎 𝑑𝜙 2𝜋 0 cos𝜃 sen𝜃 𝑑𝜃 𝜋 2 0 𝑑𝑟 𝑎 0 𝑄𝑇 2 𝑎 2𝜋 cos𝜃 sen𝜃 𝑑𝜃 𝜋 2 0 𝑎 4𝜋 sen𝜃 cos𝜃 𝑑𝜃 𝜋 2 0 Mudança de varável 𝑢 sen𝜃 𝑑𝑢 cos𝜃 𝑑𝜃 𝑢1 sen0 0 𝑢2 sen𝜋2 1 sen𝜃 cos𝜃 𝑑𝜃 𝜋 2 0 𝑢𝑑𝑢 𝑢2 𝑢1 𝑢𝑑𝑢 1 0 𝑢2 2 0 1 1 2 𝑄𝑇 4𝜋 1 2 2𝜋 b Lei de Gauss integral 𝑄𝑇 𝐷 𝑑𝐴 𝐴 Essa integral envolve um produto escalar Como 𝐷 𝐷𝜃 o produto interno só não se anulará se 𝐴 𝐴𝜃𝜃 Em coordenadas esféricas 𝐴𝜃 𝑟 sen𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜙 𝐷 𝑑𝐴 1 𝑎𝑟 sen𝜃 𝜃 𝑟 sen𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜙𝜃 𝑟 sen2𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜙 𝑎𝑟 sen2𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜙 𝑎 𝑄𝑇 𝐷 𝑑𝐴 𝐴 sen2𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜙 𝑎 𝑎 0 2𝜋 0 sen2𝜃 𝑎 𝑑𝜙 2𝜋 0 𝑑𝑟 𝑎 0 𝑄𝑇 sen2𝜃 𝑎 𝜙0 2𝜋𝑟0 𝑎 sen2𝜃 𝑎 2𝜋𝑎 2𝜋 sen2𝜃 Em 𝜃 𝜋 2 𝑄𝑇 2𝜋 sen2 𝜋 2 2𝜋12 2𝜋